Усреднение динамических систем

С этого параграфа мы переходим к задачам усреднения динамических систем с помощью формул дифференцирования. Удобно начать с примера. [c.36]

Решаются задачи усреднения динамических систем при воздействиях, моделируемых телеграфными процессами более общего, чем в гл. 3, типа процессами кенгуру и суперпозицией простейших телеграфных процессов. Затрагиваются также вопросы аппроксимации гауссовских процессов телеграфными. [c.54]

Таким образом, поскольку, как мы видели в гл. 3, для процессов Кубо — Андерсона процедура усреднения динамических систем проводится точно и дает компактные результаты, аппроксимация гауссовских марковских воздействий телеграфными процессами Кубо —. Андерсона представляется удобной.-В зтом смысле аппроксимация марковского гауссовского процесса конечной суммой идентичных независимых дихотомических процессов в вычислительном плане значительно сложнее. [c.67]

В настоящей главе рассматриваются динамические системы при случайных воздействиях, представляющих марковские процессы — гауссовские, пуассоновские, процессы с распределениями Рэлея и Пирсона. Излагаются кратко сведения об этих процессах, приводятся формулы дифференцирования статистических средних и на их основе проводится статистическое усреднение динамических систем. [c.68]

УСРЕДНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.78]

Рассмотрим, как с помощью формул дифференцирования можно проводить усреднение динамических систем, возмущаемых случайными процессами описанных типов. j Изложение начнем с анализа систем вида [c.78]

Приводятся формулы дифференцирования кумулянтных средних и на их основе проводится усреднение динамических систем. Предварительно излагаются необходимые сведения о кумулянтах. [c.116]

В случае марковских гауссовских (и пуассоновских) воздействий а(<) возникает еще одно удобство оперирования с кумулянтами х , а не с моментами которое обязано установленным для таких моделей a t) формулам (8.25). С их помощью можно проводить усреднение динамических систем, представляющих собой динамические уравнения высокого порядка, довольно компактным образом, без предварительного сведения их к системе вида (8.25). [c.127]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

Идея исследования состоит в применении метода усреднения к стохастическому дифференциальному уравнению (6.2). Полученные при этом эволюционные уравнения также оказываются стохастическими. Далее, в соответствии с асимптотическими методами, изложенными в гл. IV, принимается, что из устойчивости эволюционных уравнений следует устойчивость исходной стохастической системы. При этом остаются справедливыми теоремы Н. Н. Боголюбова о близости решений обеих систем на интервале порядка (/ — 1/Ро). с тем лишь отличием, что близость решений понимается здесь в смысле почти наверное [94, 106, 107]. Это предположение позволяет, исследуя условия асимптотической Р-устойчивости, устойчивости по вероятности и Р-ограниченности по моментам решений эволюционных уравнений, получить условия соответствующего типа устойчивости для исходной стохастической системы. Для исследуемого класса динамических систем (6.2) можно показать, что близость (в асимптотическом приближении) исследуемых процессов в смысле близости по моментам означает и близость выборочных траекторий процессов, например, в среднеквадратичном. Такой подход особенно удобно использовать при исследовании динамической устойчивости параметрических систем по выборочным траекториям в условиях неполной статистической информации или неопределенности о действующих на систему возмущений. [c.233]

Решение уравнений (5) и (6) характеризуют некоторые усредненные показатели точности партии динамических систем, выполненных по одному проекту. Поэтому дифференциальные уравнения (5) и (6) описывают поведение динамических систем с расчетными значениями параметров их линейных и нелинейных частей. [c.36]

Разработка эргодической теории и наведение мостов между детерминированным и стохастическим описанием динамических систем. Эргодическая теория ведет свое начало от гипотезы эргодичности, выдвинутой еще Л. Больцманом. Согласно этой гипотезе в статистической механике усреднение по времени может быть заменено усреднением по ансамблю [56]. Дальнейшие попытки обоснования этой гипотезы привели к созданию сложной и разветвленной эргодической теории, основные этапы развития которой связаны с именами Д. Биркгофа, Дж. фон Неймана, [c.82]

Тогда понятно,что изолированному резонансу соответствует в 1, а перекрытие резонансов будет при в > 1. Что произойдет в этом случае Из (13.32) следует, что усредненное движение системы в изолированном нелинейном резонансе на фазовой плоскости ш 1), ф подобно поведению электрона в потенциальной яме . Нескольким резонансам соответствует несколько потенциальных ям (см. рис. 13.11). Перекрытие резонансов означает, что происходит такое сближение соседних ям , когда система может переходить из ямы в яму . При таких переходах проявляется новый вид неустойчивости динамических систем — стохастическая неустойчивость (см. гл. 22 и 23). [c.295]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Вернемся теперь к общему случаю процесса г t) вида (1.3.26), где а — случайная величина с заданным распределением вероятностей р (а). Как указывалось выше, в этом случае, вообще говоря, невозможно получить замкнутое уравнение для характеристического функционала и, следовательно, невозможно провести замкнутое описание динамических систем. Остается единственная возможность решения задачи, заключающаяся в том, чтобы рассматривать величину а как детерминированную. Если при этом удается написать явное решение такой задачи, то окончательный результат получается последующим усреднением по случайной величине а. [c.127]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

Замечательно, что существует ряд весьма общих моделей случайных воздействий с конечным временем спада корреляций, с которыми можно эффективно проводить точное усреднение, минуя процедуру рассмотрения расширенных динамических систем. К числу таких моделей относятся марковские процессы телеграфного типа (дихотомические, Кубо — Андерсона, кенгуру) и другие. Далее мы подробно остановимся на моделях этого типа, применяя новые математические приемы, отличающиеся простотой и стандартностью полз ения уравнений для средних, а также удобством приближенного анализа, когда воздействия обладают коротким временем спада корреляций. [c.12]

Ранее мы проводили статистическое усреднение на основе формул дифференцирования динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого по пере- [c.50]

Проведем усреднение линейных динамических систем, вида (4.23) [c.64]

Если сравнить эту формулу с таковой для процессов Кубо — Андерсона (3.8), то видно, что характер зацепления корреляций в (5.7) более сложен, поскольку здесь <а Ф(> связывается не с <Ф4>, а с <а - Ф >. Для других процессов, рассматриваемых ниже, характер зацепления также относительно сложен. Соответственно анализ динамических систем при таких моделях случайных воздействий значительно сложнее, чем в случае телеграфных процессов. Тем не менее и здесь применение формул дифференцирования для статистического усреднения оказывается полезным (впервые это отмечалось нами в [15], где были получены формулы дифференцирования для рассматриваемых классов процессов и предложены приводимые далее методы их применения). [c.72]

В предыдущих главах, для описания вероятностных характеристик динамических систем, находящихся под действием случайных воздействий, с конечными временами 1с спада корреляций, мы пользовались аппаратом формул дифференцирования. Однако часто используется другой общий подход (о нем мы говорили в части I), основанный на рассмотрении расширенных динамических систем. Суть его заключается в том, что в число динамических переменных включается и само случайное воздействие, которое моделируется как отклик некоторой дополнительной динамической системы на белый шум той или иной статистики. Тем самым в рамках расширенной динамической системы мы уже имеем дело с задачей о воздействии белого шума, т. е. с задачей вероятностного описания расширенной системы в диффузионном приближении. Уравнения усредненной динамики в таком приближении получаются просто с помощью самых разнообразных методов, в том числе и методом формул дифференцирования, но анализ этих уравнений, конечно, не прост. [c.102]

В рамках метода получаются точные замкнутые уравнения для статистических средних, для решения которых можно применять обычные математические средства. Единым образом охватываются модели дельта-коррелированных воздействий и воздействий с конечным временем спада корреляций, причем удается расширить класс рабочих моделей, включив в него, в частности, широкий класс процессов с распределениями Пирсона. Много внимания мы уделили воздействиям телеграфного типа, которые привлекательны как с точки зрения адекватности различным реальным физическим процессам, так и с точки зрения успешности математического анализа. В частности, они представляют идеальный инструмент для выявления роли конечности времени спада флуктуационного воздействия на осред-ненную динамику систем. В многочисленных исследованиях по вероятностному анализу динамических систем с телеграфными воздействиями использовались методы, связанные с анализом динамики системы на отдельных скачках с последующим усреднением по статистике скачков. Мы же развили другой подход, позволяющий автоматически, не вникая в рассуждения о скачках и их статистике, проводить точное усреднение более широкого, чем ранее было рассмотрено, класса систем. [c.155]

Выполненные теоретические и экспериментальные исследования функциональной зависимости перемещений при неполном проскальзывании от сдвигающей силы, удельного давления, качества поверхностей деталей и наличия смазки указывают на ее чрезвычайно сложный характер [341. Поэтому при расчетах колебаний сложных механических систем приходится пользоваться некоторыми усредненными значениями коэффициентов вязкого трения или поглощения, определенными на близких по конфигурации и нагруженности деталях. Так, в работе Д. Н. Решетова и 3. М. Левиной [35] приводится коэффициент поглощения энергии в плоском сухом стыке направляющих токарного станка ф=0,15 на частотах 15—100 Гц. Смазка контакта увеличивает коэффициент поглощения в три — четыре раза, причем одновременно увеличивается его динамическая жесткость в 1,5—2 раза. [c.82]

В табл. 11 приведены модели Z для общей и типовой компоновок силовых установок с ДВС (двигатель расположен в середине и в начале системы). Эти модели представляют собой систему нелинейных дис еренциальных уравнений движения силовой установки в пусковых резонансных зонах, записанную в стандартной форме метода усреднения. Именно в этих режимах существенно проявляется динамическое взаимодействие двигателя, как ограниченного по мощности источника энергии с колебательной системой установки. [c.374]

Большая часть измеряемых в теплотехнике величин нестационарны, их измерения носят случайный характер. Тем не менее для каждой из измеряемых величин, характеризующих различные технологические объекты, характерно наличие определенного диапазона частот их изменений. Часть этого диапазона является областью рабочих частот систем регулирования и контроля, а часть, как правило высокочастотная, — помехой для них. Для снижения влияния помехи производятся фильтрации и усреднение сигналов первичных преобразователей. Для исключения динамических погрешностей измерения величин полоса пропускания средств измерения должна соответствовать диапазону рабочих частот систем регулирования и контроля. [c.328]

Мы рассмотрим переход от уравнений микроскопической динамики к макроскопическим уравнениям сохранения, о которых говорилось в лекциях проф. де Гроота. Таким путем мы, например, выразим тензор напряжений и поток тепла через молекулярные переменные. Эти выражения будут включать неравновесные функции распределения, нахождение которых является центральной проблемой при рассмотрении задачи о переносе энергии. Далее будут получены эмпирические кинетические коэффициенты, связывающие между собой потоки и силы. Вначале мы рассмотрим однокомпонентные системы. Однако наши результаты без труда можно обобщить на случай многокомпонентных систем и таким образом определить эмпирический коэффициент диффузии и аналогичные ему величины при помощи микроскопических характеристик системы. Используя это определение, мы получим в дальнейшем доказательство соотношений взаимности. При доказательстве этих соотношений нам не понадобится вводить макроскопические усредненные переменные, как это делалось в лекции проф. Мазура. В своих рассуждениях мы будем исходить непосредственно из описания системы при помоши молекулярных динамических переменных. Некоторое усреднение, сглаживающее микроскопические неоднородности, необходимо только для получения необратимости. Мы будем применять сглаживающее усреднение только по времени. [c.220]

Динамические процессы большой продолжительности часто встречаются в приложениях [1,5,81,96,104]. При численном решении задач оптимального управления такими процессами приходится неоднократно интегрировать на больших промежутках прямые и сопряженные системы, что связано с серьезными трудностями вследствие накопления ошибок усечения. В задачах с малыми управляющими воздействиями эффективным средством преодоления этих трудностей могут оказаться асимптотические методы типа усреднения [1,5,84,96]. Асимптотический подход, который предлагается ниже, опирается на результаты по оптимизации сингулярно возмущенных систем, полученные в предыдущем параграфе. Он применим к устойчивым системам, но в отличие от методов усреднения не требует малости управляющих воздействий. [c.117]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Другой путь — рассмотрение непосредственно решений динамических систем при произвольных реализациях воздействий с последующим усреднением по статистике реализаций. Искомое решение представляют в виде того или иного разложения по степеням параметра, характеризующего влияние случайных воздействий на систему. Осуществить такую программу в полном объеме, за исключением линейных уравнений с постоянными коэффициентами и случайной правой частью, конечно, невозможно, и к соответствующим разложениям после усреднения применяют приближенные способы обрыва разложений или их частичного подсуммирования. По существу, это теория возмущений обычно по малости — масштаба времени спада корреляций случайных воздействий. Средние борновские приближения, различные модификации метода последовательных приближений, кумулянтные (или кластерные) разложения (см. [5—111 и цитированную там литературу) относятся к этой категории. [c.6]

Обсуждается задача статистического описания динамических систем неэволюционного типа с двухточечными краевыми условиями. Приводятся универсальный, а также некоторые специальные приемы, сводящие краевые задачи к задачам эволюционным, к которым применимы развитые ранее методы статистического усреднения. [c.131]

Таким образом, мы приходим к идее статистаческого описания системы многих тел. Здесь математический объект, представляющий систему,— это уже не некоторая точка в фазовом пространстве, а совокупность точек в фазовом пространстве, причем каждая из них характеризуется определенным весом, выраженным некоторым числом. Такая совокупность точек, каждой из которых приписывается определенный вес, будет далее называться ансамблем. Наблюдаемое значение динамической функции отождествляется со средним по ансамблю значением микроскопической функции. Значение, полученное таким способом, интерпретируется как усредненный результат большого количества идентичных экспериментов. [c.50]

Такое поведение результатов, найденных для систем твердых дисков методами Монте-Карло и молекулярной динамики, наряду с аналогичными свойствами результатов расчетов для систем твердых сфер позволяет предположить наличие фазового превращения первого рода жидкость (газ) — твердое тело в этом интервале значений плотности или вблизи его. Наиболее определенным подтверждением этого пока служат уже упоминавшиеся результаты метода молекулярной динамики (Олдер и Вайнрайт [7]) для N = 870 твердых дисков, указывающие на существование вандерваальсовой петли на ф — т-изотерме (фиг. 7). Принципиальная неопределенность связана с вопросом о полноте динамического усреднения по всем возможным состояниям при каком-либо одном значении плотности, лежащем на петле. [c.336]

Далее, отказавшись от предположения о динамической нейтральности примеси, мы рассмотрим дисперсию неоднородных жидких систем в неоднородной пористой среде, используя для этого полную систему уравнений для скорости фильтраций суммарного потока, давления и насыщенности (концентрации). Поскольку свойства жидкости в общем случае зависят от реализуемого течения, а оно, в свою очередь, определяется характеристиками жидкости, полная система оказывается нелинейной. Для ее исследования и последующего усреднения применим метод возмущений в форме, несколько отличной от испо ьзовавшейся ранее. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...