Дифференцирование статистических средних

В монографии развивается новый методически простой и удобный вариант статистического подхода к анализу динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с флуктуирующими параметрами. Подход основан на правилах дифференцирования статистических средних от величин, зависящих от случайного процесса и его предыстории. Находятся точные замкнутые уравнения для вероятностных характеристик широкого класса динамических систем с флуктуирующими параметрами, представляющими собой распространенные в физике модели случайных процессов с нулевым и конечным временем корреляций. Рассмотрение ведется в рамках обычного дифференциального исчисления и не требует от читателя каких-либо специальных знаний. [c.2]

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СРЕДНИХ [c.13]

Во многих случаях проблема расцепления корреляций в стохастических уравнениях может быть успешно решена на основе формул дифференцирования статистических средних, которые мы рассмотрим в следующем параграфе. [c.26]

Эффективным приемом, как убедимся далее, являются формулы дифференцирования статистических средних. Определим нх общую структуру. [c.27]

Важной чертой формул дифференцирования статистических средних (далее иногда для краткости просто ФД) является то, что они выражают средние < (i, a(i))Фt[a]> через другие средние, явно содержащие параметры производящего оператора. Данное обстоятельство, как увидим, дает возможность для большого числа употребительных моделей случайных воздействий а( ) легко получать замкнутые уравнения для средних. [c.30]

Формула дифференцирования (4.13) совпадает, как увидим в гл. 5, с формулой дифференцирования статистических средних, зависящих от гауссовского марковского процесса с дисперсией о и временем спада корреляций Этот результат и следовало ожидать для предела суммы (4.7) в силу центральной предельной теоремы. Для рассматриваемого класса процессов здесь она легко доказана на языке формул дифференцирования. [c.58]

В настоящей главе рассматриваются динамические системы при случайных воздействиях, представляющих марковские процессы — гауссовские, пуассоновские, процессы с распределениями Рэлея и Пирсона. Излагаются кратко сведения об этих процессах, приводятся формулы дифференцирования статистических средних и на их основе проводится статистическое усреднение динамических систем. [c.68]

Формула дифференцирования статистических средних имеет вид (-5Г - -Й-) М> = -Й- ) + [c.71]

Формула дифференцирования статистических средних такова [c.76]

Соответственно формула дифференцирования статистических средних принимает вид [c.77]

Отметим, что если бы мы пытались вычислить непосредственно из уравнения (5.18) по известным часто применяемым итерационным схемам, т. е. записали бы сначала формальное решение x t) в виде хронологически упорядоченной экспоненты, а затем произвели ее усреднение по статистике a(f), то возникла бы проблема вычисления всевозможных многоточечных средних от процесса a(f) и многоточечных средних от a(f) и /(f). Задача же вычисления многоточечных средних непроста даже для гауссовских флуктуаций a(t), хотя для этого процесса существуют замечательные правила выражения многоточечных средних через двухточечные, т. е. через корреляционную функцию процесса. Изложенная процедура, основанная на комбинации формул дифференцирования статистических средних и идеи редукции, свободна от указанных трудностей. Существенно, что в уравнении (6ЛЗ) фигурируют наиболее простыв характеристики случайного воздействия параметр v, определяющий время спада корреляций процесса a(f), и параметр о, характеризующий интенсивность флуктуаций и лишь в не- [c.84]

Сравним правила стохастического дифференцирования Ито с общими формулами дифференцирования статистических средних, которые были получены в гл. 2. [c.112]

Целью данной книги было систематическое изложение средств статистического анализа динамических систем при случайных воздействиях, основанных на формулах дифференцирования статистических средних. В формулы дифференцирования входят непосредственно параметры, фигурирующие в уравнениях динамики (или кинетики) флуктуаций, и собственно оперирование с этими параметрами, а не с самими решениями уравнений динамики флуктуаций (т. е. с многоточечными распределениями, характеристическим функционалом) делает метод простым и экономичным. [c.155]

В заключение мы получим простое, но важное соотношение, которое является следствием уравнения Лиувилля. Мы покажем, что среднее значение производной по времени (1.1.28) любой динамической переменной А равно производной по времени ее среднего значения А) т. е. операции усреднения по статистическому ансамблю и дифференцирования по времени перестановочны. Чтобы доказать это утверждение, вычислим производную по времени среднего значения (1.1.8) и затем исключим dg/dt с помощью уравнения Лиувилля (1.1.19). Это дает [c.19]

Величину коэффициента режима можно достоверно определить на основании дифференцированного изучения условий и режимов эксплуатации и их влияния на долговечность, что составляет задачу статистической теории долговечности. При отсутствии уточненных данных можно в качестве самого грубого приближения принимать для средних условий эксплуатации Цре = 1 тяжелых = 1,2—1,5 легких т р = 0,7—0,8. [c.19]

Т.е., зная зависимость статистической суммы от температуры, мы можем получить значение среднего дохода системы дифференцированием. Эти соображения снова полностью соответствуют стандартным выводам статистической термодинамики. [c.48]

При анализе динамических систем со случайными воз действиями мы применяли аппарат формул дифференцирования, статистических средних. В математической литературе ранее, были описаны обш ие методы, которые по существу также опи- " раются на формулы дифференцирования, но не средних, а неусредненных (случайных) переменных систем с последующим [c.104]

Рассмотрим здесь более общий случай, когда А и В могут быть функциями времени, а /(i) зависит от а неупреждающим образом. Нам понадобятся формулы дифференцирования для статистических средних [c.65]

Ввести функцию распределения флуктуаций энергии и числа частиц w E N) в большом каноническом ансамбле. Найти эту функцию в гауссовом приближении и с ее помощью вычислить средние значения ((А ) ), ((АД/ ) ), AEAN). Сравнить результаты вычисления с теми, которые получаются дифференцированием логарифма статистической суммы для большого канонического распределения по Т и /х. [c.78]

Если g t) относится к классу рассматриваемых телеграфных процессов, то средние (3.35) с помош ью формул дифференцирования можно расцепить. Наиболее просто это можно сделать, когда g(t) = P(i)G(i), где P(i) — дихотомический процесс, статистически не зависяш ий от a t), G t) — некоторая неслучайная векторная функция. Фигурируюш ие в (3.35) средние, как Нетрудно убедиться, выражаются через среднее . Действительно, [c.45]

В статистическом анализе динамических систем широко применяются кумулянтные разложения (см., например, обзоры [7, 9] и монографию [27]). В данной главе речь пойдет о другом, новом применении аппарата кумулянтных средних на основе формул их дифференцирования. К числу первых публикаций на эту тему следует отнести работу Ч53] (отметим также [54]), где рассматривались динамическ 8 системы с гауссовскими флуктуациями параметров. Ниже мы представим более [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...