Марковский процесс гауссовский

В настоящей главе рассматриваются динамические системы при случайных воздействиях, представляющих марковские процессы — гауссовские, пуассоновские, процессы с распределениями Рэлея и Пирсона. Излагаются кратко сведения об этих процессах, приводятся формулы дифференцирования статистических средних и на их основе проводится статистическое усреднение динамических систем. [c.68]

Вычислим спектральную плотность стационарного гауссовского марковского процесса. Временная корреляционная функция этого процесса определяется формулой (5.63). Подставляя ее в (5.68), находим [c.77]

Для гауссовского марковского процесса (0. используя (5.72), найдем [c.77]

Докажем теорему Дуба о том, что временная корреляционная функция К (At) гауссовского стационарного марковского процесса ( ( )=0, имеет экспоненциальный вид [c.218]

Флуктуации коэффициента постели будем по-прежнему полагать случайной стационарной функцией гауссовского типа с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем искать решение уравнения (6.44), удовлетворяющее некоторым условиям закрепления балки при л = 0. Воспользуемся для решения поставленной задачи методом моментных уравнений, вывод которых в одномерном случае можно осуществить на основе соотношений теории марковских процессов с непрерывным временем t = х. [c.183]

Укажем, что алгоритмы решения уравнений Понтрягина (56) и (58) сравнительно просты [80]. По ним можно составить стандартные программы, которые позволяют определить вероятностные характеристики времени первого достижения границ для широкого класса одномерных и двумерных марковских процессов при вполне допустимых затратах машинного времени. Оценка среднего времени с помощью решения интегрального уравнения типа (61) с автоматическим выбором шага интегрирования в рассмотренном примере требует больших затрат машинного времени (с учетом изменения начальных условий). Однако уравнение (61) позволяет получить оценку времени первого достижения переменных во времени границ для произвольного дифференцируемого гауссовского процесса [60]. [c.195]

Развитый метод позволяет также (для определенного класса задач и случайных процессов) получить замкнутые уравнения для плотности вероятностей решения задач с учетом конечности времени корреляции случайных воздействий [18—23]. Это прежде. всего системы с флуктуациями параметров в виде процессов телеграфного типа и гауссовских марковских процессов. С помощью теории инвариантного погружения удается также исследовать и стохастические краевые задачи [24]. Другие методы и подходы к решению стохастических уравнений описаны в ряде обзорных работ, появившихся за последнее время (см., например, [25—27]). [c.7]

В частном случае постоянства коэффициента В (г, I) и прп Вх (г, t) = —В г процесс г (i) является гауссовским марковским процессом с корреляционной функцией [c.36]

Отметим, что можно доказать и обратное утверждение, а именно гауссовский процесс с экспоненциальной корреляционной функцией является марковским процессом. [c.36]

В заключение отметим, что для гауссовского марковского процесса может быть получена простая формула, описывающая корреляцию функционалов [г (Т1)] [г (Та)]>, где Т1 1 < 2 (см. следующий параграф, формулу (4.5 )). [c.56]

Как было показано в конце первой главы, при N - оо (если положить <2 > = оУМ) процесс (3.44) переходит в гауссовский марковский процесс с корреляционной функцией [c.131]

Уравнение вида (3.54) для марковских процессов z (г) рассматривалось в работе [55], где было получено в случае постоянных во времени ai t) и Ьц 1) выражение для преобразования Лапласа среднего значения <ж)р в виде цепной дроби (конечной или бесконечной) для различных марковских процессов. Получим этот результат для гауссовского марковского процесса, используя развитые выше методы. [c.135]

Если теперь положить = a jN и устремить iV к оо, то получим решение хУр для гауссовского марковского процесса 2 (i) в виде бесконечной цепной дроби (3.59) с параметрами Ai(p) L ip + al), [c.136]

Полагая решение задачи в случае 2 (Z) = g (i) — , где I (Z) — гауссовский марковский процесс, в виде бесконечной цепной дроби [c.136]

Если теперь г ( ) — квадрат гауссовского марковского процесса, то, используя конечномерную аппроксимацию (4.45), получаем [c.152]

Если теперь в (2.17) положить = a /N и перейти к пределу при N- 00, то, согласно результатам гл. 4, получаем решение задачи в случае гауссовского марковского процесса 2 ( ) с корреляционной функцией [c.191]

Аналогичные решения можно получить, как указывалось в четвертой главе, и в случае, когда г t) — квадрат гауссовского марковского процесса. [c.192]

Уравнение (4.17) соответствует уравнению (3.4.49) для данной задачи. Очевидно, что уравнение для усредненной плотности вероятностей перехода марковского процесса q (х), ф х) также имеет вид (4.17). Отсюда с.ледует, что случайные процессы q х) и ф (х), входящие в формулу (4.11), являются гауссовскими независимыми процессами со средними значениями [c.214]

Гауссовский случайный стационарный марковский процесс 145 [c.145]

Формула дифференцирования (4.13) совпадает, как увидим в гл. 5, с формулой дифференцирования статистических средних, зависящих от гауссовского марковского процесса с дисперсией о и временем спада корреляций Этот результат и следовало ожидать для предела суммы (4.7) в силу центральной предельной теоремы. Для рассматриваемого класса процессов здесь она легко доказана на языке формул дифференцирования. [c.58]

Результат (5.6) мы уже получали ранее, рассматривая предел суммы, состоящей из бесконечного числа идентичных статистически независимых телеграфных процессов Кубо — Андерсона с исчезающе малыми амплитудами. В более общем случае, для суммы большого числа статистически независимых процессов малой амплитуды, мы будем в пределе получать гауссовский марковский процесс, если характер спада корреляций для членов суммы является экспоненциальным с одинаковыми V. Часто окружение динамических систем может быть смоделировано именно таким образом, что обусловливает физическую распространенность модели марковских гауссовских процессов. [c.71]

Для рассмотренного в предыдущих параграфах гауссовского марковского процесса коррелятор K(t, т) = а ехр (—vif —т )., Используем (6.21) для вывода кинетического уравнения для одноточечного распределения Р(х, t) динамической системы [c.88]

В заключение параграфа сделаем еще одно замечание. Выше для получения замкнутого уравнения для средних использовался явный вид характеристического функционала, который известен лишь для гауссовских и пуассоновских процессов. На самом же деле для получения компактных уравнений для средних нужно знать не сам характеристический функционал, а лишь детерминированное уравнение для него. В этой связи отметим, что для класса марковских процессов можно [c.89]

Определим динамику средних <х(0>, опираясь на аппарат формул дифференцирования кумулянтных средних. Начнем со случая, когда а (1) — гауссовский марковский процесс с <а> = О и корреляцией < а 1 )а у = а ехр —г] — г ]. При непосредственном усреднении (8.29) получаем [c.125]

Под гауссовским белым шумом, как и в 5 гл. 6, будем понимать гауссовский марковский процесс с характеристиками <а(7 )> = О, = ехр (—vjr — fjl), когда [c.135]

Усредняя (9.25) в рамках диффузионного приближения, будем, как и в 2, под a(i) понимать предельный в смысле (9.11) случай Гауссовского марковского процесса. [c.140]

Теория гауссовских процессов проще, чем общая. Поскольку распределение Гаусса определяется двумя своими моментами, то для них определение стационарности процесса полностью эквивалентно приведенным после него соотношениям (5.16). Далее, гауссовский случайный процесс с независимыми приращениями всегда является марковским. [c.65]

Стационарный марковский гауссовский процесс определяется условием [c.597]

Показать, что в случае марковского гауссовского процесса корреляционная функция р(т), определенная выражением (26.9.6), имеет такой же вид (Р — постоянная), как и в задаче 23.3, т. е. [c.597]

Постоянная р выбирается положительной во всех представляющих физический интерес случаях, так что корреляционная функция не стремится к бесконечности при т-> оо. Корреляционная функция для важного класса стационарных марковских гауссовских процессов является поэтому простой экспоненциально убывающей функцией времени. [c.598]

Важной особенностью спектральногоХметода я вляется возможность его обобщения на двумерные и трехмерные случайные поля, не поддающиеся описанию при помощи соотношений теории марковских процессов. Кроме того, гипотеза о гауссовском характере спектров исследуемых процессов снимается при вариационном методе решения нелинейных задач. Сочетание вариационного подхода со спектральным методом вывода моментных уравнений будет продемонстрировано ниже на конкретном примере. [c.98]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

Полагая = а Ш и переходя к пределу /V -> оо, получаел( массовую функцию для гауссовского марковского процесса [c.151]

Полагая в (4.59) ТУ = 1, мы возвращ,аемся к случаю одного телеграфного процесса, и формула (4.59) переходит в (4.33). Полагая теперь <2 > = и переходя к пределу N - оа, получаем вершинную функцию для гауссовского марковского процесса в виде бесконечного ряда [c.152]

Результаты д.ля случая, когда флуктуирующими параметрами являются гауссовские марковские процессы пли функции от них, можно получить, исходя из предельной теоремы о переходе суммы независимых те.чеграфных процессов с увеличением числа членов в гауссовский дгарковский процесс. [c.330]

Отметим, что применительно к динамическим системам с воздействиями, моделируемыми гауссовскими марковскими процессами, мы в части III разовьем другую технику статистического анализа. Касаясь же идеи аппроксимации марковских гауссовских воздействий другими моделями случайных процессов, представляется интересным и другой вариант аппроксимации — не суммой дихотомических, а одним телеграфным процессом Кубо — Андерсона с гауссовским распределением значений а. Такие процессы точно переходят в гауссовские в пределе белого шума (v -> с , o /v = onst) и в противоположном пределе (v ->-0, = onst). Можно думать поэтому, что и в промежуточной области значений v указанные процессы близктг по характеру своего действия. Действительно, как показано в [6] на примере осциллятора Кубо [c.66]

Во многих физических задачах характер случайных воздействий существенно отличается от телеграфных марковских (см. часть II). Здесь рассмотрен ряд других часто встречающихся в физических задачах моделей случайных воздействий. Это марковские процессы непрерывного типа — гауссовские, рэлеевские, пирсоновские — и скачкообразного типа — пуассоновские процессы. Многие полезные сведения и свойства, касающиеся указанных процессов, можно найти в книге [42]. [c.68]

Заметим, что гауссовские марковские процессы (см. п. 1.2 можно трактовать как предельный тип рассматриваемых пуас соновских, когда в последовательности (5.13) амплитуды z -малы (т. е. распределения p z) сконцентрированы вблизи значения z = 0), а частота [х появления импульсов велика, [х V. Это легко увидеть из формулы дифференцирования (5.16). в пределе -> О, [х -> оо, но так, чтобы оставались конечными значения fi и исчезали fi при п> 2, формула (5.16 переходит в формулу дифференцирования (5.6) для гауссов- ских процессов в дисперсией (5.14). [c.78]

Прежде чем переходить к усреднению уравнения (6.34), следует договориться, что будет пониматься под белым гауссовским шумом, поскольку фактически в литературе имеется несколько различных моделей. Мы исходим из принятого в физике определения белого гауссовского шума как предела гауссовского процесса с <а(<)> = О и конечным временем tg спада корреляций при стремлении последнего к нулю так. что5ы оставалась конечной спектральная интенсивность флуктуаций (фурье-образ от функции корреляции). Конкретно, будем рас-сматривать белый гауссовский шум как предел гауссовского марковского процесса с характеристиками = 0 a(t)a t + т)> = а ехр (—vjrl) при [c.99]

Смотреть страницы где упоминается термин Марковский процесс гауссовский : [c.43] [c.65] [c.121] [c.132] [c.132] [c.31] [c.58]

Задачи по термодинамике и статистической физике (1974) -- [ c.9 , c.26 ]

ПОИСК

Гауссовский случайный стационарный марковский процесс

Процесс марковский

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...