Время как независимая переменная

Дифференциальные уравнения прямейшего пути, выраженные через рд, мы находим в уравнении (с) п. 158 В эти последние введем вместо длины пути время как независимую переменную, а также заметим, что по основному закону [c.535]

Постоянные интегрирования — время как независимая переменная. [c.381]

Иногда удобно выбрать векторный базис в одной координатной системе, в то время как независимые переменные задать в другой координатной системе. [c.9]

Для определения траектории точки, движение которой задано в координатной форме, применяют два метода. По одному из них в уравнениях движения дают аргументу t различные частные значения и вычисляют соответствующие значения функций (координат). Затем отмечают положения точки по ее координатам. Следовательно, кинематические уравнения движения точки можно рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время t как независимый переменный параметр. [c.22]

Будем рассматривать время 1, координаты qi и Qj как независимые переменные. Тогда на основании равенства (1) имеем [c.354]

Время как циклическая переменная принцип Якоби принцип наименьшего действия. Рассмотрим склерономную или консервативную систему с функцией Лагранжа, не зависящей явно от времени. Представим себе, что мы не используем время t как независимую переменную и что все п + 1 переменных q , и заданы как функции некото- [c.159]

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реоном-ны системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений t и pt. Можно действовать и другим методом, оставляя время t независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование qi, pi в Q/, Pi, не вводя время t в число активных переменных преобразования. Время t входит в -такое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Н не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Н для новой системы координат равна [c.273]

Уравнение (4.19) дает возможность определить условную плотность вероятности /(х, t ] Xq, t( как функцию начального состояния, так как независимыми переменными являются прошлое время и прошлое состояние Xq. [c.129]

Время является скалярной непрерывно изменяющейся величиной и рассматривается в задачах кинематики как независимая переменная величина (аргумент). Все другие величины, изменяющиеся с течением времени, рассматриваются как функции времени. [c.162]

Пусть задача решена в переменных Эйлера. Это значит, что гидродинамические величины известны в виде (2.6) и (2.7). Чтобы осуществить переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, надо прежде всего найти формулы вида (2.1), связывающие координаты х, у, г с переменными а, Ь, с, t. В формулах (2.1) величины а, Ь, с играют роль начальных координат, постоянных для каждой частицы, а время t — независимая переменная. Поэтому, рассматривая координаты частицы как функции времени, можем написать [c.11]

Так как мы всюду интегрировали по каждому р тл г независимо от остальных и вообще рассматривали р всегда как независимые переменные, мы, следовательно, все время предполагали, что обобщенные координаты р , р ,. .., не связаны никаким уравнением. Следовательно, а есть число независимых переменных, требующихся для определения абсолютного положения всех составных частей молекулы в пространстве и их относительного положения друг относительно друга, [х называют числом степеней свободы молекулы, рассматриваемой как механическая система. [c.386]

Аномалии как независимые переменные в уравнениях Лагранжа. Иногда может оказаться удобным принять за независимую переменную в уравнениях движения не время, а невозмущенные среднюю, эксцентрическую или истинную аномалию. [c.198]

В большинстве задач параметры, описывающие поведение дан-НОЙ системы, связаны между собой дифференциальными уравнениями или неголономными связями движение системы исследуется при помощи интегрирования этих уравнений с привлечением необходимого количества начальных условий. Во многих случаях число независимых переменных оказывается больше, чем число связей, и описать правильно движение невозможно, если не будет назначена какая-то программа изменения группы переменных, символизирующих дополнительные степени свободы системы. Такие переменные соответственно именуются управляемыми переменными . В большинстве случаев их можно опознать по тому признаку, что их дифференциальные коэффициенты, или производные по времени, если время считается независимым переменным, не входят в уравнения связи. В авиационной технике управляемыми переменными являются именно те параметры, которые подвергаются воздействию со стороны летчика в ракетной технике —это те параметры, которые управляются командными сигналами. [c.746]

В уравнении (1-1.3) второй член левой части представляет собой все силы, действующие на поверхности, ограничивающие систему, в то время как третий член — силы, например силу гравитации, которые действуют на каждый элемент системы. Среди переменных, фигурирующих в уравнении (1-1.3), вновь встречаются плотность и скорость, но появляются также и две новые переменные давление, которое действует через граничные поверхности и, следовательно, фигурирует во втором члене, и напряжение. Действительно, для того чтобы вычислить второй член в уравнении (1-1.3), необходимо иметь возможность вычислить силы, действующие на любую произвольную поверхность в материале при условии, что система, к которой применяют уравнение (1-1.3), может быть выбрана произвольно. Сила, действующая на любую заданную поверхность, не сводится просто к давлению, поскольку она не обязательно ортогональна к этой поверхности и ее величина не обязательно независима по отношению к ориентации этой поверхности в пространстве. Напряжение является тензором (точное определение будет введено в разд. 1-3), который связывает вектор силы с поверхностным вектором. Поверхность является вектором в том смысле, что для ее определения требуется задать не только ее величину, но и ориентацию в пространстве. [c.13]

В приведенных выше уравнениях числа молей отдельных компонентов считались независимыми переменными, а общее число молей раствора рассматривалось как зависимая переменная. Если число молей какого-либо компонента i изменилось, в то время как число молей всех других компонентов осталось постоянным, общее число молей раствора также обязательно изменится. Однако если общее число молей раствора принять постоянным, [c.214]

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т. е. как функции времени t. Отсчет временя ведется от некоторого начального момента (t 0), о выборе которого в каждом случае условливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального момента до данного разность между какими-нибудь двумя последовательными моментами времени называется промежутком времена. [c.96]

Из уравнений движения выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения (5) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У и Z, а нужно определить координаты точки х, у, и z как функции времени, решение сводится к интегрированию трех совместных дифференциальных уравнений, где независимым переменным является время. [c.116]

Уравнения (1.150) — (1.152), (1.153) — (1.155) представляют собой уравнения в частных производных и, как известно из общей теории краевых задач для систем уравнений с частными производными, для выделения единственного решения необходимо задать краевые условия (для ограниченных тел), условия на бесконечности (для неограниченных тел) и начальные условия, если независимая переменная — время t является существенной. Эти требования представляют собой математическое отражение того факта, что в одной и той же среде могут происходить различные процессы (деформации и др.) в зависимости от того, какие из искомых параметров и каким образом заданы на границе тела, на бесконечности и в момент начала развития процесса. [c.33]

Время в теоретической механике считается универсальным (абсолютным), т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета и не зависящим от движения одной системы по отношению к другой. При этом время рассматривается как непрерывно изменяющаяся скалярная величина I, играющая роль независимой переменной (аргумента). [c.220]

В настоящее время считается, что адекватное описание сверхпроводимости не может быть получено на основе модели индивидуальных частиц. Тем не менее интересно исследовать свойства вырожденного электронного газа, считая, что и 3 — независимые переменные и не связаны между собой, как в случае единственной зоны Бриллюэна. Большой диамагнетизм не получается даже при очень малых т , если только не предположить недопустимо большие значения Е . [c.720]

Неравновесные процессы возникают при наличии между различными частями системы конечных разностей значений таких параметров, как давление, температура, концентрации, электрический потенциал и др. С течением времени система возвращается в состояние термодинамического равновесия (dS = 0). Но классическая термодинамика не ответит на вопрос, как быстро термодинамическая система вернется в состояние равновесия. Для того чтобы термодинамика могла определить скорость процессов, необходимо расширить круг понятий и постулатов и ввести время в качестве независимой переменной. [c.234]

Все параметры, определяемые в процессе эксперимента, можно подразделить на две группы. К первой группе относят величины, которые находятся в результате прямых измерений, например длина, измеренная линейкой, время, измеренное секундомером, и т. д. Ко второй группе относят величины, которые определяются в результате вычислений и представляют собой функции некоторых аргументов. Определенным преобразованием функциональной зависимости, определяющей искомую величину, можно добиться, чтобы эта величина зависела от одной или нескольких из следующих разновидностей параметров от параметров, которые можно считать точными (независимые переменные, числовые коэффициенты, в том числе такие как я, основание натурального логарифма е, которые могут быть представлены со сколь угодно высокой точностью, и т. п.) от приближенных величин, определенных с ограниченной, но известной точностью, например табличных данных о теплофизических свойствах вещества от приближенных [c.37]

Мы знаем, что в случае системы с п степенями свободы имеется п уравнений Лагранжа. Поэтому может показаться странным, что для системы с бесконечным числом степеней свободы получено только одно уравнение (11.17). Следует, однако, помнить, что в обычные уравнения Лагранжа входит только одна независимая переменная — время, а в уравнение (11.17) входят четыре переменные j i, Х2, Xz, t. Поэтому уравнение (11.17) является уравнением в частных производных. Можно смотреть на него как на сумму обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при фиксированных значениях - 1, -> з- Тогда число этих уравнений будет бесконечно велико, что согласуется с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.383]

В ТО время как в уравнениях Лагранжа независимыми переменными являлись обобщенные координаты и обобщенные скорости в уравнениях Гамильтона которые мы теперь выведем двумя различными способами, независимыми переменными являются обобщенные координаты qk и обобщенные импульсы р/., причем последние определяются выражением (36.9а). Далее, в то время как в уравнениях Лагранжа характеристической функцией была свободная энергия Т — У, рассматриваемая как функция qk и qk, в уравнениях Гамильтона роль такой характеристической функции играет полная энергия Т + V, рассматриваемая как функция qk и pk- Назовем ее функцией Гамильтона и обозначим через H q, р), подобно тому, как мы называли свободную энергию функцией Лагранжа и обозначали ее через L q, q). Функции Н и L связаны соотношением (34.16), которое, учитывая определение р/., можно переписать в виде [c.288]

В эти уравнения должны входить три координаты и время, как независимые переменные, плотность, вязкость, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности, коэффициент поглощения и лучепрозрачность стекломассы как свойства жидкости, затем давление, скорость, ускорение силы тяжести, светимость пламени, распределение температур по факелу пламени, угловые коэффициенты между соответствующими плоскостями, физические свойства огнеупоров стен и дна бассейна и многие другие факторы. [c.609]

Время как независимая переменная. Известно, каким образом можно выразить составляющие возмущающей силы п ЧГ в виде частных производных от возмущающей функции. Однако вместо последней мы предпочитаем использовать другую функцию получаемую делением возмущающей функции на ц это позволяет нам избааиться от делителя ц, встречающегося в уравнениях и представляющего излишнее усложнение. Таким образом, мы будем пметь [c.376]

Для наших целей удобно заменить в данной системе дифференциальных уравнений (96) время t одной из координат q, рассматривая ее как независимую переменную, а t (наравне с п—1 остальными q) как функцию от нее. Это, конечно, можно сделать, так как при этом будут исключены только те возможные решения системы (96), которые соответствуют покою, т. е. в которых все q остаются постоянными. Исключая этот случай и изменяя, если необходимо, индексы, мы можем всегда предпо.чожить, что координата q не будет постоянной, т. е. что производная не будет тождественно равна нулю. Обращаясь к интервал) времени, в котором всегда q ф О, условимся вместо t принять за независимую переменную обозначая штрихами производные по этой новой независимой переменной, будем иметь [c.338]

Введем в рассмотрение две системы координат 1) абсолютную, неподвижную систему Oxyz и 2) относительную, подвижную, связанную с твердым телом систему 0 х у %. Если по ходу вывода отсутствует дифференцирование по времени, то время теряет свое значение как независимое переменное, а становится просто параметром, отмечающим следующие одну за другой пространственные картины явления. При этом, нисколько не нарушая общности, можно в любой фиксированный момент времени считать обе системы координат совпадаюпщми и пользоваться для описания явления либо координатами X, у, 2, либо X, у, г. [c.312]

Постоянные интегрирования — эксцентрическая аномалия как независимая переменная. В случае оскулирующих элементов порядок вычисления постоянных интегрирования в точности совпадает с порядком, опнсанным уже для того случая, когда независимой переменной является время, а вместо множителей os h и sin Я. появляются os е и sin е. В случае средних элементов постоянные к определяются аналогичным путем, что и ранее, однако величины, прибавляемые к интегралам для дополнения значений Wg и fi , выглядят несколько проще они сводятся к следующим значениям [c.387]

Порядок аппроксимации схемы (2.2), (2.4), (2.5) по пространственным переменным зависит от выбора операто.ра /-, в то время как независимо от способа дискретизации по времени погрешность этой схемы относительно шага т будет иметь порядок 0(т) из-за членов с рассматриваемых либо на -м, либо на ( + 1)-м времс1шых слоях. При реснении стационарных задач методом установления это не столь существенно, однако в случае нестационарных задач может оказаться желзг тельным использовать схемы с погрешностью, не большей, чем О(т ). [c.199]

Математические модели деталей и процессов на микроуровне отражают физические процессы, протекающие в сплошных средах и непрерывном времени. Независимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты и время. В качестве зависимых переменных выступают фазовые переменные, такие как потенциалы, напряженности полей, концентрации частиц, деформации и т. п. Взаимосвязи переменных выражаются с помощью уравнений математической физики — интегральных, интег-родифференциальных или дифференциальных уравнений в частных производных. Эти уравнения составляют основу ММ на микроуровне. [c.154]

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям па метауровпе. [c.38]

Уравнения (5.20), (5.21) справедливы для любой закрытой равновесной системы вне зависимости от того, происходят в ней химические или фазовые превращения или нет. Поскольку внутренние переменные, выражающие состав системы, не входили в набор независимых переменных U и Q, пользуясь этими уравнениями, нельзя отделить влияние состава системы на ее свойства от влияния независимых переменных Т, V, что является недостатком термодинамической модели, скрывающим характерные особенности систем с изменяющимся химическим или фазовым составом. Например, при атмосферном давлении и температуре 25° С газообразный диоксид азота, NO2, имеет мольную теплоемкость 37 Дж-моль К , а его димер, N2O4,— 77 Дж-моль -К , в то время как экспериментально измеренная теплоемкость равновесной смеси NO2 и N2O4 при тех же условиях составляет 518 Дж-моль- -К М Теплота при нагревании смеси затрачивается, следовательно, в основном на диссоциацию димера, а не непосредственно на нагревание составляющих смеси [7]. [c.46]

Совсем иной подход к решению задачи предложила С. В. Ковалевская. Она впервые в истории механики рассматривала время t как комплексную независимую переменную. Анализируя задачи, рассмотренные Эйлером и Лагранжей, можно заметить, что закон движения твердого тела в этих случаях определяется посредством эллиптических функций времени. Следовательно, на плоскости комплексной переменной t закон движения в двух классических случаях определяется мероморф-ными однозначными функциями. Поэтому, обобшая этот факт, С. В. Ковалевская поставила такую обшую проблему [c.449]

В механике пространство, в котором происходит движение материальных точек и тел, рассматривают как трех.иерное евклидово пространство. Время рассматривают как непрерывно изменяющуюся величину и с математической точки зрения оно является независимым переменным, обозначаемым t. Время удобно представлять в виде числовой оси, отдельные точки которой соответствуют строго определенным моментам времени. [c.130]

Всякое движение тел совершается в пространстве и во времени. Движение тел в пространстве рассматривается относительно произвольно выбранной системы координат, которая, в свою очередь, связана, с каким-либо телом, называемь1м телом отсчета. Тело отсчета и связанная с ним система координат называются системой отсчета. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается одни метр. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается одна секунда. Время является скалярной непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики его принимают за независимое переменное. Все другие величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как функции времени. В дальнейшем при изучении кинематики и динамики часто используются понятия момент времени / и промежуток времени А/ . Под моментом времени I будем понимать число единиц из.мерения времени 1 (напри.мер, секунд), прошедших от некоторого начального момента (начала отсчета времени), например, от начала движения. Про.нгжутком времени будем называть число единиц времени At = — П, отделяющих два каких-нибудь [c.89]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени при неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при 1- о° нестационарного-решения при стационарных (не зависяш их от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

В кинематике независимым переменным, аргументом, в функции которого определяются все другие величины, является время t. Механическим движением называют изменение с течением времени положения в пространстве точек и тел относительно какого-либо основного тела, с которым скреплена система отсчета. Кинематика изучает мез ащческое движение точек и тел независимо от сил, вызывающих эти движения. Другими словами, кинематика изучает геометрию движения. Всякое движение, как и покой, относительно и зависит от выбора системы отсч< та. [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...