Стационарные задачи и метод установления

Стационарные задачи и метод установления [c.51]

Неявные схемы. Применение неявных разностных схем для уравнений переноса тепла и завихренности позволяет повысить устойчивость алгоритма, что проявляется в увеличении допустимых значений шага т. Несмотря на то что при переходе к неявным аппроксимациям время счета на каждом слое возрастает, общий расход машинного времени на решение задачи может значительно сократиться из-за уменьшения числа расчетных слоев. Неявные схемы имеют более сложную конструкцию, чем явные, а значит, требуют дополнительных усилий и времени на составление и отладку программы для счета на ЭВМ. Они перспективны в первую очередь при решении стационарных задач по методу установления, а также при расчете крупномасштабных нестационарных процессов, когда выбор большого шага по времени не противоречит физическим представлениям. [c.94]

С ростом эффективности вычислительной техники основным методом решения обсуждаемых задач становится метод установления в различных вариантах. Идея метода состоит в решении нестационарных уравнений и нахождении искомого стационарного течения как предела при больших значениях времени. Преимущество состоит в том, что при таком подходе решаются уравнения гиперболического типа, для которых легче выполнить условия устойчивости. Существуют многочисленные реализации идеи установления основное их различие состоит в способах аппроксимации уравнений во внутренних точках. Одной из наиболее распространенных является схема Мак-Кормака, опубликованная в 1969 г. [28] (см. также [29]). [c.176]

Численное решение уравнений Навье - Стокса для течений химически реагирующих газовых смесей, особенно при больших числах Ке и большой протяженности области интегрирования, требует больших затрат времени и оперативной памяти ЭВМ. Как правило, на расчет простого газодинамического стационарного течения методом установления с помощью наиболее эффективных монотонных неявных схем затрачивается несколько сотен временных итераций [1-4]. В то же время во многих практически важных случаях, в частности при Ке > 1, описание поля течения с достаточной точностью возможно в рамках более простых математических моделей, требующих существенно меньших затрат ресурсов ЭВМ [5-9]. Преимуществом упрощенных моделей являются отсутствие вторых производных от неизвестных функций вдоль маршевой координаты, отсчитываемой в преимущественном направлении движения газа, и вследствие этого возможность нахождения решений стационарных задач маршевыми методами. [c.61]

В задачах газовой динамики метод установления обычно применяют для расчета стационарных течений газа в областях, содержащих зоны дозвукового и сверхзвукового течения. В этих случаях уравнения газовой динамики являются уравнениями [c.138]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

При создании этих моделей были достигнуты определенные успехи [3], однако обострились известные трудности и противоречия. Помимо того что уравнения высших приближений метода Чепмена - Энскога очень сложны, имеются и принципиальные "дефекты" [3]. Во-первых, в силу высокого порядка систем уравнений сохранения необходимы дополнительные граничные условия. Соответствующая теория не разработана, при численном решении применяются качественные соображения. Во-вторых, эти уравнения обладают ложными (посторонними) решениями, необходимость исключения которых усиливает требования к постановке задачи. В-третьих, данные уравнения неустойчивы к коротковолновым (Кп 1) возмущениям. При расчете стационарных задач методом установления для подавления неустойчивости вводились специально подобранные демпфирующие слагаемые более высокого порядка по Кп (см. [1-3]). Однако это усложняет проблему граничных условий, так как повышается порядок эмпирически полученных уравнений. [c.187]

При изучении кинематики жидкости очень важно уметь находить уравнения семейств линий тока и траектории жидких частиц, положение точек разветвления потока и т. п., что необходимо для установления особенностей обтекания тел различных конфигурации. Поэтому в настоящей главе большое внимание уделено рассмотрению таких вопросов и задач, которые позволят освоить методы исследования стационарных и нестационарных течений жидкости, представить их кинематический характер, найти уравнения линий тока и траектории жидких частиц для различных видов движения. [c.40]

Метод 1. В установленных выше соотношениях прямого и непрямого методов временная переменная трактуется фактически точно так же, как и пространственные. Поэтому плоскую задачу диффузии в соответствии с рис. 9.1 можно рассматривать как трехмерную , где третьей пространственной переменной является время, и строить решение ее непосредственно в момент времени t. Границы , образованные прямыми, параллельными оси времени, можно разбить на элементы, размеры которых, вероятно, могут увеличиваться со временем (например, логарифмически [17]) по мере приближения к стационарному решению. Основная идея метода граничных элементов сводится к полной дискретизации пространственных и временных границ (рис. 9.1) и определению всех неизвестных величин на границе, по которой могут быть вычислены любые значе- [c.254]

Хотя и можно получить полное решение отдельной задачи на собственные значения, для больших систем вычисления будут очень дорогостоящими, и поэтому в таких случаях часто выгоднее аппроксимировать решение уравнения (6.23) небольшим числом одних преобладающих компонент. Такие компоненты обычно очень слабо изменяются относительно изменений во времени и соответствуют наименьшим по модулю собственным значениям. Конкретные собственные значения вместе с соответствующими собственными векторами могут быть вычислены методом обратной итерации (Уилкинсон, 1965, стр. 534) значительно дешевле по сравнению с полным решением задачи на собственные значения, и поэтому такой подход обладает определенным преимуществом при условии, что аппроксимация немногими преобладающими компонентами адекватна решаемой задаче. Такая аппроксимация является особенно подходящей, если (I) Л О и необходимо сглаживать осцилляции или (II) А = О и требуется знать стационарное состояние, а не процесс его установления. [c.170]

О методе установления. Решение, удовлетворяющее (4.45), можно находить, решая при тех же граничных условиях систему полных нестационарных уравнений (1.15) в пределе i- oo. Такой способ получения стационарного решения называют методом установления. Организация счета в этом случае фактически не отличается от описанной в 4.2. Чтобы придать физический смысл вычислительному процессу, за начальное условие выбирают известное решение рассматриваемой задачи, найденное для другого значения числа Рэлея, например, при теплопроводности (Ra = 0). Счет по слоям ведется до тех пор, пока нестационарный процесс в достаточной степени не устанойится, и установившееся решение принимается за искомое. Важно, что метод не предполагает априорно существования стационарного решения, поэтому если оно в действительности отсутствует, установления не будет. Обратное, вообще говоря, неверно неуста-новление численных результатов при t- oo совсем не обязательно имеет физическую природу — оно может происходить из-за вычислительной неустойчивости примененного алгоритма. По этой причине расчетные значения критических чисел Рэлея, соответствующих возникновению турбулентности, могут оказаться заниженными. [c.105]

Частотные свойства датчика. Чтобы оценить границы линейности и частотные свойства датчика, функция Qx t) была исследована при внешних воздействиях простого вида. Сначала в задаче М принималось Fi = кЬо, Ьо = onst и разыскивалось ее стационарное решение. Оно находилось методом установления из начального состояния (5). В стационарном решении величина Qx постоянна, и интерес представляет характер ее зависимости от микроускорения Ьо. Значения функции Qx — Qx bo) при некоторых значениях аргумента приведены в табл. 1. [c.611]

С конца бО-х годов наряду с методом характеристик для расчета сверхзвуковых течений в ЛАБОРАТОРИИ интенсивно развивались методы расчета нестационарных течений, а на их основе с использованием процесса установления - стационарных смешанных (с переходом через скорость звука) течений. Для таких расчетов в качестве базовой была взята монотонная разностная схема, предложенная С. К. Годуновым в 1959 г. [15] для расчета нестационарных течений. В основе численной реализации этой схемы (далее схемы Годунова -СГ) лежит решение задачи о распаде произвольного разрыва, в силу чего СГ получила название раснадной . К концу бО-х годов в аэро- и газодинамических приложениях были известны лишь единичные примеры ее применения. К тому же полученные в них результаты не отличались высоким качеством по сравнению с результатами, полученными в те годы другими методами. В противоположность этому первая же выполненная в ЛАБОРАТОРИИ работа по применению СГ ([16, 17] и Глава 7.2) к решению прямой задачи теории сопла Лаваля продемонстрировала несомненные достоинства указанной схемы. Существенным моментом для успеха применения СГ для расчета смешанных течений стало обнаружение ситуаций, при которых в задаче о распаде разрыва граница разностной ячейки попадает в волну разрежения. Такие ситуации неизбежно возникают вблизи звуковых линий при расчете смешанных течений методом установления. Однако в двумерных задачах они, снижая точность результатов, оставались незамеченными. Указанная возможность была обнаружена при решении в одномерном приближении задачи о запуске ударной трубы переменной площади поперечного сечения ([18] и Глава 7.3). Предложенный тогда же элементарный способ учета подобных ситуаций стал неотъемлемой принадлежностью любых реализаций раснадных схем. [c.115]

Другой подход к решению смешанной задачи сверхзвукового обтекания тел дан С. К. Годуновым, А. В. Забродиным и Г. П. Прокоповым (1961). В этом методе установления решение смешанной задачи о стационарном обтекании тела находится как предел гиперболической задачи неустановившегося обтекания этого тела. На двумерные плоские и осесимметричные течения обобш ается метод решения задач о нестационарных одномерных движениях газа с разрывами, предложенный ранее С. К. Годуновым (1959). В методе установления уравнения плоского или осесимметричного неустановившегося движения в дивергентной форме записываются в виде интегралов по поверхности в трехмерном пространстве координат и времени. Такая форма записи в виде законов сохранения обеспечивает возможность рассмотрения течений со скачками уплотнения и другими разрывами. Далее в этом пространстве с учетом формы обтекаемого тела выбирается сетка и интегралы записываются в виде соответствующих сумм подынтегральных выражений в узлах этой сетки. Система координат не предполагается фиксированной. Интегралы, записанные для отдельной ячейки сетки, используются затем для получения разностных уравнений в подвижной координатной системе, причем в течение каждого шага по времени значения газодинамических величин на каждой границе ячейки считаются неизменными. Эта система конечноразностных уравнений, полученная из интегральных законов сохранения, служит аппроксимирующей системой для точных дифференциальных уравнений. [c.178]

Общий вид безразмерных уравнений Стокса в такого рода разномасштабных координатах будет лан в следующем параграфе, а сейчас, отметим еще одно важное обстоятельство, относящееся к численному интегрированию уравнении пограничного слоя. Как уже упоминалось в конце предыдущей главы, прн численных методах интегрирования уравнений Стокса оказывается более эффективным рещать стационарные задачи методом установления , заключающимся в рассмотрении таких нестационарных решений, которые при предельном переходе /—> 00 стремятся к искомым стационарным решениям. Этот прием может с усиехо.м применяться и при расчетах стационарных движений в пограничных слоях. В таких случаях полезно знать наперед условия, при выполнении которых указанный предельный переход буде г оправдан, т. с. предел при i оо полученного нестационарного решения будет существовать и окажется единственным решением интересующей нас стационарной задачи. В настоящее время этот вопрос исследован, и такого рода условия установлены ). [c.565]

Под лангранжевой механикой в настоящее время понимают совокупность методов решения задач механики свободных систем, в которых основное значение имеет функция Лагранжа или кинетический потенциал. Эти методы распространяются на механику несвободных систем с интегрируемыми, или голо-номными связями. Можно показать эквивалентность между решением таких задач и установлением условий стационарности некоторого функционала, называемого механическим действием Гамильтона — Остроградского. Эти условия имеют прямой и обратный смысл. [c.6]

Метод установления. В большинстве работ, посвященных численному решению прямой задачи теории сопла, используется метод установления (стабилизации), идея которого состоит в использовании для решения стационарной задачи нестационарных уравнений газовой дипамики [152]. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями, соответствующими граничным условиям стационарной задачи, не зависящим от временной координаты. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом Такой прием, повышающий на единицу размерность уравнений, тем пе менее для многих задач оправдай. К таким задачам относятся, например, задачи о течении газа в соплах и струях, задачи обтекания тел газом, когда движение газа описывается уравнениями смешанного эллиптико-гиперболического типа. Введением временной координаты задача сводится к решению гиперболических уравнений. [c.103]

Если бы матрицы Ь, Qj (/ = 1,и) были бы попарно коммутативны, то операторы Су совпали бы с операторами Су , а сумма Qj в (3.6) членов в правой части (3.28) — с обращаемым оператором в схеме (3.14). В этом случае схема (3.29) отличалась бы от схемы (3.14) членами второго порядка малости относительно шага т и совпадала бы с последней при установлении решения (и " = и ). Если матрицы некоммутативны, то различие этих схем имеет первый порядок, а погрешность аппроксимации схемы (3.19) представляется в виде 0(т + й + /г + . . + Ь%) независимо от значения а. Однако на стационарном решении зависимость этой погрешности от шага г исчезает, что существенно при решении стационарных задач методом установления. Практическая реализация алгоритма (3,29) сводится к обращению одномерных операторов Bx L + тa x, Qj, причем вычислительный процесс может быть организован при помощи дроб- [c.88]

Итерационные маршевые алгоритмы. Во многих задачах с преимущественным направлением стационарного течения оказывается желательным сохранить определяемый градиентом давления механизм распространения возмущений вверх по потоку, не учитьшая диффузию в этом направлении. Тогда, как и в случае сжимаемого газа, выгодно применять не метод установления, а итерационный метод, в котором для определения решения при х = х,- = onst (х - маршевая координата) используется уже найденное в течение текущей итерации решение при х < и значения давления при х > х,-, найденные в результате предыдущей итерации. Этот метод, как и для сжимаемого газа, часто называют методом глобальных итераций (см., например, [98, 99]), хотя, по существу, он является известным методом блочной релаксации, или методом релаксации в линиях, применяемым при численном решении краевых задач для уравнений эллиптического типа. В принципе, его можно было бы использовать и при решении полных уравнений Навье—Стокса, однако тогда пришлось бы запоминать после каждой итерации не только поле давления, но и поле скоростей. [c.208]

Уравнения движения в стационарной постановке имеют смешанный эллиптико-гиперболический тип вблизи передней части затупления, поэтому необходимо решать смешанную задачу для уравнений типа уравнения Трикоми. Эта задача является нелинейной, так как положение и форма ударной волны, звуковой поверхности и предельных характеристик заранее неизвестны и зависят от решения в дозвуковой зоне. Если искать решение методом установления, то введение новой независимой переменной (времени) приводит к тому, что уравнения движения становятся уравнениями гиперболического типа и можно применять конечно-разностные методы, разработанные для уравнений гиперболического типа. [c.198]

Для расчета установившихся плановых течений с помощью решения уравнений Сен-Венана используют так называемый метод установления, сущность которого заключается в том, что решается н тационарная задача при начальных и граничных условиях, которые стремятся к граничным условиям стационарной задачи при 1 со. Нестационарная задача решается до тех пор, пока результаты решения практически перестанут изменяться с увеличением времени. [c.303]

Возможный способ решения смешанных задач состоит в рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени при неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динамики может быть найдено как предел при 1- о° нестационарного-решения при стационарных (не зависяш их от времени) граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эффективные численные методы решения. Начальные условия могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. [c.268]

Для нахождения Мдф воспользуемся хорошо известным в настоящее время методом, описанным в работах 5 и 8] и состоящим применительно к нашей задаче в установлении стационарной структуры распределения вектора М в пределах доменной границы, определении величины средней энергии единицы объема невозмущенного полидоменного ферромагнетика ( д) и последующем вычислении плотности энергии возмущения дри его намагничивании полем Н. Аналогичная задача уже решена в связи с определением эффективной массы единицы поверхности границы С1, 5, 8 и 9], и, поскольку, математическое развитие этого вопроса не является целью данной работы, ниже мы намеренно будем следовать работе С8,1, чтобы одновременно облегчить сравнение результатов. [c.48]

Задачи на собственные значения, которые мы будем записывать в виде Ьи = Ки или, более общо, Ьи = ХВи, очень часто встречаются в приложениях. Назовем здесь лишь задачи о продольном изгибе стержней и выпучивании оболочек, колебании упругих тел и о многогрупповой диффузии в ядерных реакторах. К счастью, как и для стационарных уравнений Ьи = Д для этих задач также полезна идея Рэлея — Ритца. В самом деле, эта идея исходит из описания Рэлея основной частоты как наименьшего значения отношения Рэлея. Поэтому шаг, который был предпринят в последние 15 лет, вполне евтествен и неизбежен применить новые идеи метода конечных элементов к этой давно установленной вариационной форме задачи на собственные значения. [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...