Принцип наименьшего действия в форме Якоби

Полученное равенство имеет такую же форму, как равенство (7.40), относящееся к одной материальной точке. Принцип, выражаемый уравнением (7.44), часто называют принципом наименьшего действия в форме Якоби. [c.258]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ФОРМЕ ЯКОБИ 547 [c.547]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби. Трудности, связанные с ограничением, накладываемым на вариации в принципе наименьшего действия, иллюстрированные выше, заставили искать новую форму принципа, свободную от упомянутого ограничения. Оказалось, что такая форма принципа получается достаточно просто. [c.547]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби показывает, что в случае натуральной системы функция [c.549]

Теорема Уиттекера ). Интересно попытаться дать элементарный вывод принципа наименьшего действия в форме Якоби для простого случая плоского движения частицы в поле консервативных сил. Рассмотрим в плоскости дугу С. Обозначим через s длину этой дуги между начальной точкой А и текущей точкой Р, а через 0 — наклон внешней нормали в точке Р к оси Ох. Будем предполагать, что вдоль кривой С угол 0 все время возрастает вместе с s и является дифференцируемой функцией от s. В частности, если кривая замкнута, то она выпуклая. [c.550]

Используем сначала эту формулу для вывода принципа наименьшего действия в форме Якоби в одном частном случае. Предположим, что дуга кривой С между точками А и В является частью траектории, и положим вариацию 8р = 8р (s) в точках А и В равной нулю. Обозначая скорость частицы через v, можем написать [c.551]

Пространство конфигураций. Как мы видели в 27.3, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет свести задачу об определении траектории частицы, движущейся в силовом поле, к простой вариационной задаче. Действительная траектория частицы доставляет минимальное [c.553]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби (27.3.2) для общего случая динамической системы принимает следующий вид [c.555]

Внутренний синтез аналитических аспектов динамики и геометризации в л-мерных пространствах, отражая глубокое родство выражения количественных связей материального мира в анализе и геометрии, привел к такой геометризации механики , которая в какой-то степени подготовила аналогичные, но гораздо более фундаментальные идеи теории относительности. Геометризация принципа наименьшего действия в форме Якоби д ]/2(U + h) 2. Щ ds] = О, определяющего траектории с одной и той же [c.841]

Из выражения, найденного Якоби для принципа наименьшего действия, видно, что если силовая функция и связи не зависят от времени, то и траектория определяется независимо от времени, что не очевидно в уравнениях Лагранжа, но ясно видно из рассмотрения канонических уравнений, которые показывают также, что если траектория известна, то время определяется квадратурой. В принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории, так как время в этот принцип не входит ни в явном, ни в неявном виде. Поэтому из этого выражения принципа можно получить уравнения движения изображающей точки только введя какой-либо параметр. [c.867]

Свойства механических движений могут быть выведены из других принципов. Из многих принципов, предлагавшихся до настоящего времени, представляет интерес принцип наименьшего действия в форме Якоби. [c.501]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби. Наиболее аккуратное изложение принципа наименьшего действия дал К. Яко би. В лекциях по динамике, которые он читал в 1843—1844 гг. говорится о том, что принцип наименьшего действия трудно понять так как при его формулировке обычно забывают об исключении времени при помощи интеграла живых сил. После такого исклю чения все рассмотрение сводится к пространственным элементам [c.506]

Переходя к изложению принципа наименьшего действия в форме Якоби, будем предполагать, что положение механической системы в каждый момент времени определяется лагранжевыми координатами 2, , Як, а наложенные на систему связи не зависят явно от времени. Будем, кроме того, предполагать, что силы, действующие на точки системы, консервативны. При сделанных предположениях живая сила системы будет однородной квадратичной формой относительно обобщенных скоростей [c.506]

Свойства механических систем определяются дифференциальными уравнениями движения системы, в качестве которых могут быть приняты уравнения Лагранжа второго рода. Покажем, как могут быть получены эти уравнения из принципа наименьшего действия в форме Якоби. [c.507]

Согласно принципу наименьшего действия в форме Якоби движения натуральной механической системы внутри области В являются геодезическими линиями метрики dp = [Н + + f)ds . [c.130]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ В ФОРМЕ ЯКОБИ. УРАВНЕНИЯ ЯКОБИ [c.152]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби и принцип Ферма в оптике позволяют установить аналогию между траекториями материальной точки, движущейся в консервативном поле, и световыми лучами, распространяющимися в неоднородной изо-, тройной среде. [c.154]

Якоби исходит из принципа наименьшего действия в форме, в которой он приводится и у Лагранжа [c.214]

Г. Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи— Эйлера—Лагранжа—Якоби. Пусть теперь функция Гамильтона Н (р, д) не зависит от времени. Тогда Н (р, д) есть первый интеграл уравнений Гамильтона (1). Спроектируем поверхность Н р, д) = h пз расширенного фазового пространства ( , д, i) в пространство (р, g) . Получится 2п — 1-мерная поверхность Н (Р, д) = h в R ", которую мы уже рассматривали в пункте Б и которую мы обозначили М . [c.215]

Таков принцип наименьшего действия в той форме, которую ему дал Лагранж. Якоби значительно уточнил этот принцип, показав, что он приводит к дифференциальным уравнениям траекторий и позволяет определить их независимо от времени, в течение которого они описываются (п°431 и 432). [c.322]

Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной. [c.825]

Значение принципа наименьшего действия, по мнению Якоби, состоит, во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правило, неизвестно, где его искать. Поэтому в то время, как самое интересное в этом принципе то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует ). [c.828]

Зато Якоби не только развил теорию интегрирования дифференциальных уравнений динамики, но и нашел такую форму выражения для принципа наименьшего действия, в которой его глубокая связь с геометрией обобщенного пространства делается особенно прозрачной, а связь с законом живых сил видна еще более отчетливо, чем у Лагранжа. [c.214]

Лагранж в Аналитической механике рассматривает именно эту узкую форму принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму принципа содержится в его ранней работе где в 13 прямо указывается на то, что полученное Лагранжем в 8 этой статьи соотношение, тождественное с уравнением для изоэнергетической вариации, применимо в случае произвольных сил. Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь Гельмгольц рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа эквивалентны уравнению Даламбера и в силу этого являются следствиями друг друга. Тем не менее это не дает права отождествлять их, так как варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится совершенно различными способами. Оба эти принципа получаются из соотношений при различных специализациях общего способа варьирования. [c.221]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби. [c.484]

В той форме, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, связь его с законом живых сил видна еще более резко, чем у Лагранжа.. В оценке принципа в той форме, в которой время исключено, а именно [c.828]

Якоби также во многом очень близок Лагранжу. Он говорит, что трудно найти метафизическую причину для принципа наименьшего действия, когда он, как это необходимо, выражен в этой истинной форме (46) ). [c.828]

Форма, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, выражает собою тот факт, что траектория консервативной, склерономной, голо-номной системы является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид [c.841]

Эта теорема аналогична принципу наименьшего действия, но отличается от него, так как последний не зависит от рассмотрения времени. В классической механике принцип Гамильтона выражает свойство движения, зависящее от времени, а принцип наименьшего действия (особенно отчетливо это видно в форме, приданной ему Якоби) — свойство, не зависящее от времени. В случае, когда Z7 = О, имеем Г = Л, и из принципа наименьшего действия получаем [c.868]

Следует подчеркнуть, что в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории dp и не содержит времени /, так как Н = onst, а V зависит только от Qi. Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки. Это лучше всего сделать посредством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет записать в виде [c.259]

Определение траектории с помощью принципа наименьшего действия в форме Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстре- [c.868]

Сравнение принципа Якоби с принципом Гамильтона. Принцип наименьшего действия в форме Якоби не является непосредственным следствием принципа Гамильтона, так как экстремали е обоих принципах определяются при совершенно различных предположениях. Тем не менее, принцип Якоби может быть получег из принципа Гамильтона, если наложить определенные ограничени5 на рассматриваемую систему. [c.510]

Интефал (4.2) выражает длину кривой р в метрике Якоби р, а принцип наименьшего действия утверждает, что действительный путь системы из положения Рд в положение Р, есть кривая наименьшей длины, геодезическая в римановом пространстве К с метрикой Якоби, так как его вариация равна нулю на действительном пути. Другими словами, принцип наименьшего действия в форме Якоби позволяет найти действительный путь среди всех гладких кривых, соединяющих начальную и конечную конфигурации системьг, при условии, что движение происходит с заданной полной энергией И. [c.153]

Все это побудило Якоби видоизменить принцип, исключив время с помощью интеграла энергии. Принцип наименьшего действия стал в руках Якоби чисто геометрическим принципом, приобретя при этом необыкновенную ясиосгь и прозрачность. Поэтому принцип наименьЕюго действия в форме Якоби обычно называют принципом Якоби. [c.257]

Д Аламбер, конечно, не мог остаться в стороне от этой дискуссии ни как механик, ни как философ. Действительно, в Энциклопедии, редактором которой он был вместе с Дидро, Д Аламбер в ряде статей, посвященных различным вопросам, с большей или меньшей подробностью рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия. С плохо скрытой иронией он отводит претензии Мопертюи на открытие универсального закона, являющегося якобы непосредственным выражением могущества бога. Что же касается чисто механического значения принципа, то он указывает прежде всего, следуя Эйлеру, на его глубокую связь с принципом живых сил и на возможность его применения для решения отдельных частных задач механики. Д Аламбер вполне в духе своих взглядов на механику в целом отмечает, что можно найти различные математические выражения для одних и тех же явлений и что отыскивать в этих выражениях какой-либо иной смысл, кроме того, который заключен в их математической форме, — задача ненужная и даже вредная. По сравнению с принципом причинности, который отразился в механике Ньютона и самого Д Аламбера, говорит он, попытки телеологически обосновать науку на принципе наименьшего действия производят впечатление чахлого дерева. Все эти глубокие замечания Д Аламбера сопровождаются весьма вежливыми и явно внешними для сущестйЬ разбираемых вопросов упоминаниями о всемогущем творце и т. п. [c.786]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...