Схема 1-го порядка аппроксимации

Для определения порядка точности многих практических разностных схем достаточно определить порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным, так как порядки точности и аппроксимации для них совпадают. Однако разностная схема, для которой такое утверждение может быть доказано, должна обладать еще одним важным свойством — устойчивостью. Устойчивая разностная схема — схема, в которой не происходит наращивания малых ошибок округления, допущенных на начальных стадиях решения. [c.47]

Отметим, что имеется возможность повысить порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго с сохранением монотонности схемы ). [c.277]

Чем выше порядок аппроксимации, тем меньше при той же сетке погрешность, обусловленная заменой дифференциального оператора разностным, или тем более крупная сетка может быть использована при обеспечении той же точности. Однако при этом существенно усложняется и разностная схема, поэтому разностные схемы высокого порядка (р>2) используют редко. [c.60]

Порядок аппроксимации определяет таким образом и точность численного решения исходного дифференциального уравнения. Тем не менее для оценки качества разностной схемы с точки зрения возможности обеспечения на ее основе той или иной точности определения искомой величины служит и специальная характеристика, называемая порядком точности разностной схемы. Разностная схема имеет порядок точности р, если погрешность результатов численного решения исходного уравнения пропорциональна шагу сетки в степени р. [c.60]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Помимо схемы (7.51), имеющей второй порядок аппроксимации по времени, можно указать схему Дюфорта — Франкля, отличающуюся от (7.51) иной аппроксимацией второй производной по координате х, а именно [c.247]

Понятие погрешности аппроксимации можно ввести и другим способом. Для этого в соотношении ah = Rh u)—R u) под и следует подразумевать не обязательно точное решение краевой задачи, а произвольную достаточно гладкую функцию из некоторого функционального класса LI. Тогда говорят о погрешности аппроксимации схемы по отношению к классу функций U. Покажем на примере того же уравнения (3.3), что порядок аппроксимации для точного решения может быть выше, чем для класса функций, обладающих такой же гладкостью. Пусть г=, т. е. x = h. Если и — точное решение уравнения (3.1), то, дифференцируя (3.1), получаем [c.77]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Для общей квазилинейной системы (3.66) неявная схема прямоугольник , имеющая второй порядок аппроксимации, записывается следующим образом (см. п. 3 3.2, пример 6) [c.100]

Представляет интерес другая неявная схема, для которой не важно расположение характеристик. Для общей квазилинейной системы (3.66) в варианте, имеющем первый порядок аппроксимации относительно т, схема записывается так [c.105]

Отметим, что схема Годунова монотонна и переводит все монотонные функции в монотонные с тем же направлением роста. Схема Годунова, однако, обладает недостатками, поскольку это схема первого порядка аппроксимации, что приводит к невысокой точности вычислений и существенным ограничениям на шаги. Имеются модификации этой схемы, которые имеют второй порядок аппроксимации. [c.166]

Эта схема при > =1/2 имеет второй порядок точности. При "кф 1/2 порядок аппроксимации первый. При этом остаточный член содержит множитель (>i—1/2), так что при значениях, мало отличающихся от 1/2, схема по точности близка к схеме второго порядка. Функции А, В, Т содержат значения F, G и их производные по л на слоях п и п + Х. [c.168]

Неявная схема переменных направлений является абсолютно устойчивой. Однако прогонка по границе при задании условий 3-го рода и при Вр >1 может стать источником осцилляций и существенных погрешностей на, первых шагах по времени. В программе (см. п. 5.3.1) эта трудность обходится путем представления оператора, описывающего теплообмен на границе, всегда в неявной форме, хотя это и снижает порядок аппроксимации вследствие появляющейся несимметричности схемы. [c.36]

В этом случае говорят, что разностная схема (1.33) имеет первый порядок аппроксимации. Нетрудно убедиться, что неявная схема Эйлера (1.34) также имеет первый порядок аппроксимации. [c.30]

За счет введения в разностную схему значений функции / (т, и)вк точках, предшествующих искомой (/ + 1)-й точке, удается повысить порядок аппроксимации. Похожий прием использовался для повышения порядка аппроксимации в методе Рунге—Кутта, но там вычисление значений / (т, и) проводилось в точках интервала [т , [c.35]

Наиболее часто из линейных /г-шаговых схем используют схемы (1.49), (1.51), называемые схемами Адамса. Можно доказать, что явная схема Адамса имеет порядок аппроксимации равный k, а неявная — k + 1). При использовании метода предиктор—корректор обычно применяют предсказывающую и исправляющую схемы одного порядка точности. В частности, широко применяется метод предиктор—корректор со схемами Адамса четвертого порядка, в котором предсказание делается по формуле (1.52), а уточнение — по (1.53). [c.36]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

На первый взгляд явная схема предпочтительнее, так как она имеет такой же порядок аппроксимации О (Ат + К), как и неявная, но не требует решения на каждом шаге по времени систем N уравнений. Однако более подробный анализ показывает, что явная схема условно устойчивая, т. е. устойчивая при определенном ограничении на величину шага по времени Дт. Условие устойчивости для явной схемы (3.23) — (3.25) имеет вид [c.81]

Дополняя полученную систему уравнений (8.19) разностными аналогами двух граничных условий на левом и двух на правом краях оболочки в соответствии с выражениями (8,5), получаем полную систему (N + 2) нелинейных уравнений с зависящей от решения правой частью и с (IV + 2) неизвестными. При этом порядок аппроксимации дифференциальных операторов разностными понижается с О (t ) на равномерной сетке внутри области до О (1) на ее границах. Однако этого можно избежать, используя на краях оболочки или более мелкую сетку, или более точные по сравнению с (8.18) разностные схемы. [c.159]

Исходные реализации нестационарной и стационарной (сверхзвуковой) монотонных схем на гладких решениях и на регулярных разностных сетках обеспечивали первый порядок аппроксимации интегрируемых уравнений. Как показано в [26], при сквозном счете поверхностей разрыва для разностных схем любого порядка аппроксимации [c.116]

Сначала, не заботясь о монотонности и консервативности схемы, покажем, как на любой сетке можно обеспечить разностную аппроксимацию уравнений. Для этого рассмотрим произвольную ячейку, не ограничивая числа ее сторон в двумерном случае или граней - в пространственном. Наряду со значениями параметров в некоторой ее точке О на уже известном п-м временном слое способом, описанным ниже, найдем с погрешностями 0 Н) все их пространственные производные. Но ним с помощью отрезков рядов Тейлора найдем на том же слое с погрешностью 0 Ь ) отличия от параметров в точке О их значений в центрах тяжести (ЦТ) граней (сторон) ячейки. Найденные величины используем затем, взяв за О ЦТ ячейки, при записи для нее на временном интервале г интегральных законов сохранения. Анализ показывает, что при этом погрешности их разностной аппроксимации есть 0[т/г (/г+г)] с г/ = 2 и 3 соответственно в двух- и трехмерном случаях, а погрешности в имеющих порядок г приращениях параметров при переходе с п-го на (п + 1)-й слой - 0[т к + г)]. Нри установлении интегральные законы сохранения потоков, каждый из которых на отдельной грани есть 0(/г ), записываются с погрешностью 0(/г + ). Данные оценки показывают, что и в нестационарном случае, и после установления для любой сетки имеет место аппроксимация уравнений с первым порядком. Если сетка равномерна, то Н + г) из-за частичной компенсации ошибок заменится на (/г + ) что при установлении повышает порядок аппроксимации до второго. [c.203]

К недостаткам рассмотренных методов относятся невысокий порядок аппроксимации разностными схемами исходных задач и значительные затраты вычислительных ресурсов, что, в частности, не позволяет использовать методы для расчета полей в волноводах большой протяженности. [c.231]

Нетрудно показать, что схема (11)-(12) является диссипативной, т.к. проектирование (12) всегда уменьшает кинетическую энергию. Кроме того, она имеет первый порядок аппроксимации по т. Для построения полностью консервативной схемы второго порядка воспользуемся алгоритмом, аналогичным описанному в S1.2 [c.149]

Решение на каждом временном шаге происходит в два этапа. Сначала с шагом 0,5 т решаются уравнения (6.31), неявные по направлению г и явные по направлению Я. Полученное промежуточное решение Т +>/2 дает начальные значения для решения уравнений (6.32), явных по 2 и неявных по Я. Поскольку в отличие от локально-одномерной схемы здесь используется информация о поведении температурного поля на предыдущем полушаге, то схема переменных направлений имеет повышенный порядок аппроксимации по т О (т + I /г ). Сравнение показывает, что схема переменных направлений обеспечивает требуемую точность расчета конечного температурного поля при меньшем числе шагов по времени. Выигрыш по времени счета не столь значителен по сравнению с локально-одномерной схемой из-за больших, чем у последней, затрат машинного времени на каждый временной шаг. Целесообразно различные способы численного решения уравнения теплопроводности с внутренними источниками оформлять в виде стандартных подпрограмм с унифицированным входом и выходом. Это позволяет легко их вписывать в общую структуру цифровых моделей индукционных нагревателей. [c.220]

Выбор метода исследования. Выбор конечно-разностной схемы интегрирования уравнений (У.64) определялся характером изучаемой задачи. Особенность поставленной задачи связана с возникновением, движением и взаимодействием ударных волн, причем установление процесса колебаний пузырьковой жидкости может проходить в течение длительного времени. Отсюда вытекает ряд требований к конечноразностному алгоритму. Последний должен быть одно- или двухшаговым для обеспечения простоты, скорости и экономичности расчета обеспечивать малую численную диссипацию и дисперсию при больших временах расчета описывать ударную волну как резкий разрыв и не давать при этом осцилляций перед скачком и за ним иметь не менее, чем второй порядок аппроксимации. [c.144]

Аппроксимация динамической части. Большинство уравнений динамической части аппроксимируется по явной схеме. Это объясняется эффективностью ее применения к гиперболической системе, которую образуют уравнения движения и неразрывности. Используется первый порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной. [c.168]

Схема (3.24) имеет порядок аппроксимации 0 т) + 0(/г ). Оператор 3 в условии (3.21) имеет вид [c.24]

Из (4.2) следует, что схема (4.1) имеет порядок аппроксимации 0 т в точке (jh, пт [c.30]

Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. Аппроксимация имеет порядок р, если ее погрешность, обусловленная заменой дифференциального уравнения разностным, пропорциональна шагу сетки в степени р. Можно показать, что разностная схема (3.10) имеет первый порядок аппроксимации О (Ах), а (3.12)—второй порядок аппроксимации 0(Дх2). Здесь буква О представляет сокращение слова Order, что в переводе означает порядок . [c.60]

Схема Rh Uh)=0 называется аппроксимируюи ей (по отношению к точному решению краевой задачи R(u)=0), если aft ->0, при /1->0. Если НалИ = 0(/г ), то говорят, что порядок аппроксимации равен к. [c.76]

При практической реализации численных методов. существенным является анализ порядка аппроксимации и устойчивости расчетной схемы. Понятие аппроксимации определяет, переходят ли в пределе (при т- -0 и Л- -0) конечно-разностные соотношения в точные исходные диф-, ференциальные уравнения и какова точность такого приближенного представления. Приведенные выше конечно-разностные формулы имеют второй порядок аппроксимации по пространственным переменным. Это означает, что допускаемая погрешность — величина порядк/ № и быстро (по квадратичному закону) убывает с уменьшением шага сетки. Аппроксимация по времени для явной схемы (1.1)—первого порядка, для схемы переменных направлений (1.4), (1.5) —второго порядка. [c.36]

Рассмотренные нами схемы Эйлера имеют первый порядок аппроксимации. Для построения схем с более высоким порядком в разложении (1.32) нужно оставить члены более высокого порядка малос- [c.31]

В настояш ее время широкое распространение получили четырехэтапные схемы Рунге—Кутта, имеющие четвертый порядок аппроксимации и называемые в связи с этим схемами Рунге—Кутта четвертого порядка. Наиболее употребительная из них имеет вид [c.33]

Кроме предельных случаев явной (ст = 0) и чисто неявной (а=1) схем достаточно часто применяют схему с весом а =1/2, называемую схемой Кронка — Николсона. Эта схема имеет более высокий (второй) порядок аппроксимации по времени Нт Н = = О (Ат + Л ), а также является безусловно устойчивой. Однако схема Кранка — Николсона имеет недостаток, который мы обсудим далее, в конце 3.3. [c.83]

Построенная разностная схема, как уже отмечалось в Гл. 7.4, есть стационарный аналог нестационарной разностной схемы, предолжен-ной в [2] для расчета двумерных нестационарных течений. Па гладких решениях она, как и двумерная схема, описанная в [1], имеет первый порядок аппроксимации. Исследование ее устойчивости проводит- [c.162]

На примере уравнений одномерной нестационарной газовой динамики для гиперболических систем с двумя независимыми переменными предложена модификация схемы Г одунова, повышающая при сохранении монотонности порядок аппроксимации дифференциального оператора до второго и уменьшающая размазывание контактных разрывов и скачков малой интенсивности. [c.186]

От аналогичных уравнений из [1, 2] уравнения (3.1) отличаются переменой ролей целых и нолуцелых индексов. В (3.1), как и в [1, 2], большими буквами (правда, не с целыми, а с нолуцелыми индексами) обозначены пока не определенные значения Ь на боковых границах ячейки (при X = ж 1/2). Порядок аппроксимации (3.1) зависит от способа определения В 1/2 В схеме Годунова, называемой ниже схемой 1 (или С1), В 1/2 находятся из решения задачи о распаде произвольного разрыва по параметрам (/ = (рп-1 и = (рп для левой границы и по (/ = (/ и = рп+1 для правой. При равномерном или близком к равномерному разбиении по ж, когда различие между Нп-1, Ьп и /гп+1 величина порядка /г , С1 дает первый порядок аппроксимации. Первый порядок (но не только при равномерном разбиении по х) реализуется и в ее модификации [3]. В этой схеме, называемой далее схемой 2 (или С2), решению задачи о распаде предшествует интер- или экстраполяция величин слоя в нолуцелые точки того же слоя, причем каждому по луце лому индексу, например п — 1/2, ставятся в соответствие две точки, с параметрами (/ и (/ +. Для п — 1/2 значение (/ находится экстраполяцией по (рп-2 и рп-1 [c.190]

Стационарное течение вырабатывается установлением по времени с помощью раснадной, монотонной, консервативной разностной схемы второго порядка по координатам и первого по времени. Эта схема является развитием известной схемы первого порядка [5]. Второй порядок аппроксимации по пространственным переменным достигается в ней применением процедуры реконструкции , основанной на принципе минимальных значений производных или приращений [6-9]. В задаче о распаде разрыва, важном элементе схемы, почти всюду использовалось идентичное для нормального и фиктивного газа акустическое приближение. Исключение - ситуации с попаданием границы ячейки в центрированную волну. Нри их возникновении, аналогично [c.251]

А. П. Крайко и С. К. Щипиным с использованием принципа минимального приращения функций на ячейке, предложенного в [21]. Авторами она была обобщена на случай многокомпонентной среды. Указанная схема обеспечивает второй порядок аппроксимации по продольной и по поперечным координатам на регулярной сетке и сохраняет порядок аппроксимации на произвольной нерегулярной сетке. При расчете течений с химическими реакциями источниковые слагаемые в правых частях уравнений для массовых концентраций компонент аппроксимировались неявным образом. Система конечно-разностных уравнений относительно концентраций и газодинамических параметров решалась итерациями (относительно концентраций компонент - методом Гаусса-Зайделя). Неявный способ аппроксимации химических источников приводит к снижению порядка аппроксимации по продольной координате до первого. [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...