Метод Колмогорова

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Для решения с помощью метода Колмогорова из статистического распределения рассчитывается эмпирическая функция распределения (х) и наносится на вероятностную сетку [c.30]

Весьма важные результаты по устойчивости гамильтоновых систем были получены в большом цикле работ А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда методом Колмогорова (1954). Изложение этих результатов выходит за рамки настоящего очерка они изложены в обзоре В, И. Арнольда [c.38]

Отметим, что каждый шаг в методе Колмогорова оказывается намного сложнее, чем в обычной теории возмущений. Более того, на каждом шаге требуется проводить интегрирование вдоль новых траекторий системы. Возможно, что это есть выражение всеобщего закона сохранения на одну и ту же высоту можно взобраться либо за много мелких шагов, либо за несколько крупных Мы думаем, что метод Колмогорова не лучший способ выполнения практических вычислений ). С другой стороны, он совершенно необходим в теории KAM для получения сходящихся рядов вне резонансов. [c.167]

Наконец, заметим, что как показал Мозер [4], метод Колмогорова, модифицированный подходящим выбором числа членов, оставляемых в каждом приближении, остается сходящимся и при неаналитических отображениях. Действительно, Мозер [1] доказал теорему 21.11 для случая п = 1 (отображения плоскости) в предположении, что отображение В дифференцируемо 333 раза. Недавно Мозер [6] дал доказательство, которое требует ограниченное число производных. [c.251]

Пока еще нет физически ясной теории турбулентности. Из-за хаотичности пульсаций скоростей и других характеристик турбулентного потока при его изучении применяются статистические методы, в которых эти характеристики рассматриваются как случайные функции от точек пространства и времени. Основы такого подхода к теории турбулентности были впервые разработаны советскими учеными А. А. Фридманом и Л. В. Келлером в 1924 г. Важные результаты были получены советским ученым А. Н. Колмогоровым, открывшим закон /з. Этот закон устанавливает связь в каждый данный момент между значениями мгновенных скоростей VI и Уз в двух точках потока, отстоящих друг от друга на расстоянии г, небольшом по сравнению с размерами крупных вихрей в потоке, со средним квадратом разности пульсаций скоростей [c.147]

Упомянутыми выше гипотезами о турбулентных напряжениях далеко не исчерпываются предложения по этому вопросу, В последнее время успешно разрабатываются принципиально иные подходы к изучению турбулентности, в том числе основанные на идеях А, Н. Колмогорова и использующие теорию вероятностей и статистические методы. [c.106]

Состоятельность гипотезы о нормальном распределении и [g д проверялась аналитически критериями Пирсона и Колмогорова. Аналитически гипотеза подтверждена с вероятностью 60 и 95% по Пирсону и Колмогорову соответственно. Кроме того, эта гипотеза проверялась приближенным графическим методом — построением графиков зависимости и [c.142]

Существенно иное, статистическое направление теории оптимальных систем возникло примерно одновременно с теорией детерминированных систем. Статистическое направление, во всяком случае на начальной стадии, базировалось на математической теории Колмогорова — Винера. Кроме того, был создан другой метод — метод канонических разложений, часто оказывающийся более удобным для приближенного решения сравнительно сложных задач. Вначале работа в области статистических методов в автоматике велась главным образом в направлении развития статистических методов исследования стационарных линейных систем в установившемся режиме при стационарных случайных возмущениях, применения этих методов к задачам практики и их распространения на линейные импульсные системы. [c.250]

ПРИЕМОЧНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ (метод акад. А. Н. Колмогорова) [c.196]

Так, акад. АН СССР А. Колмогоров относит себя к числу тех кибернетиков, которые не видят никаких принципиальных ограничений в кибернетическом подходе к проблемам нашего века и полагают, что можно анализировать жизнь во всей ее полноте и сложности методами кибернетики. Вопрос о том, можно ли когда-то в дальнейшем создать настоящую жизнь, которая будет самостоятельно продолжаться и развиваться, по словам академика А. Колмогорова уже сейчас актуален и годен для серьезного обсуждения. [c.76]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

Составление уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды. Для применения стохастических методов и замены обобщенного уравнения ФПК обычным уравнением ФПК необходимо, чтобы время корреляции флюктуаций возмущений т ор было значительно меньше релаксации Грел амплитуды и фазы процесса колебания на выходе системы < Грел или, что то же самое, время корреляции должно быть мало по сравнению с длительностью переходных процессов в системе. [c.186]

Целью выравнивания статистических распределений является установление по экспериментальным данным теоретического закона распределения для рассматриваемых характеристик ремонтопригодности. Для решения задачи используются методы проверки гипотезы о виде закона распределения. Обычно для этой цели используются непараметрические критерии (критерий Пирсона) и X (критерий Колмогорова). При наличии достаточного объема наблюдений (например, п > 40+50) следует отдавать предпочтение х Критерию, который позволяет получать более достоверные суждения о виде закона распределения случайной величины. [c.341]

В соответствии с общепринятым методом подобия, по Прандтлю и Колмогорову, размерные уравнения (1) — (8) преобразуют в безразмерные обобщенные, заменяя переменные по соотношениям [c.179]

Вариационные уравнения по-прежнему имеют вид б/ = О, но I ФО на действительном напряженном состоянии. Итак, действительное поле тензора напряжений отличается от всех статически возможных полей тем, что сообщает функционалам (XIV.60), (XIV.61) минимальные значения. В этом и состоит принцип возможных изменений напряженного состояния. Примеры применения этого принципа для решения задач обработки металлов давлением, в том числе с использованием метода разрывных решений, приведены в монографии В. Л. Колмогорова. [c.321]

Остановимся кратко на основных методах, которые используются в настоящее время при вероятностном исследовании нелинейных систем. Точное решение нелинейных уравнений статистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основании уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных [c.78]

Методы оценки деформируемости получили свое развитие главным образом в работах Л. Д. Соколова, Г. А. Смирнова-Аляева, В. Л. Колмогорова. Наиболее простой метод заключается в следующем. Предполагается, что деформирование происходит без разрушения, если накопленная деформация удовлетворяет неравенству [c.142]

Рассмотрим примеры применения метода моментных соотношений. Движение безмассовой системы под действием сил типа белого шума описывается дифференциальным уравнением первого порядка й F (а) = %, t), где F и) — нелинейная функция ) — дельта-коррелированный случайный процесс с интенсивностью S. Прямое уравнение Колмогорова для плотности р и, t) имеет вид [c.26]

После усреднения за период получаются укороченные дифференциальные уравнения относительно Л ( и г ) (О, на основании которых составляются соотношения теории марковских процессов. Благодаря введенным упрощениям уравнения типа Колмогорова можно проанализировать при помощи приближенных аналитических или численных методов. Подробное изложение этой методики приводится в ряде работ [18, 29], посвященных решению этого специального класса задач. В отличие от указанных работ в данной монографии развиваются подходы к исследованию нелинейных случайных колебаний без ограничений на интенсивности, масштабы и скорости изменения флуктуаций входных и выходных функций. [c.38]

Приближенные решения нелинейных задач статистической динамики могут быть построены, как показано выше, двумя способами. Первый способ основан на непосредственном анализе уравнений относительно моментных функций фазовых переменных. Моментные соотношения выводятся путем интегрирования уравнений типа Колмогорова при этом не используются какие-либо априорные предположения о распределении выходных функций. Для дальнейшего анализа применяется метод редукции с привлечением дополнительных гипотез о свойствах старших моментов [2]. [c.88]

Идеи Л. Прандтля, К. Тейлора и А. Н. Колмогорова о существовании некоторых внутренних масштабов турбулентности позволили создать полуэмпирические методы, являющиеся пока единственно оправдавшим себя способом распространения эмпирических сведений в этой области за непосредственные рамки экспериментальных данных. [c.3]

Метод марковских процессов позволяет (теоретически) получать точные законы распределения компонент вектора состояния нелинейной динамической системы любой размерности и точные значения вероятностных характеристик компонент вектора состояния в любой момент времени. На практике, к сожалению, это далеко не так. Получить точное решение уравнения Колмогорова, особенно когда надо учитывать реальные случайные возмущения (а не белый шум), для реальной нелинейной механической системы с несколькими степенями свободы практически невозможно. Поэтому опять остаются только приближенные методы решения уравнения Колмогорова, требующие введения в алгоритм решения упрощений и предположений, что приводит, как и в методе статистической линеаризации, к несоответствию приближенного и точного решения. Оценить это несоответствие нельзя, так как нет точного решения. Свободным от этих недостатков является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод основан на численном решении исходных нелинейных уравнений без их упрощения. [c.231]

Наконец, имеются отдельные статьи, в которых для теории турбулентных движений используются статистические методы. Наиболее успешно в этом направлении развита теория турбулентности в работах А. Н. Колмогорова ), А. М. Обухова ), Л. Г. Лойцянского ) и др. [c.458]

В методе Колмогорова гамильтонианы и производящие функции выбирают иначе. Основное правило состоит в том, что одновременно решаются все те уравнения, правые части которых не содержат ш,-. При этом, как и прежде. Я выбирается таким образом, чтобы устранить секулярности в ш,-. Во всех оставшихся уравнениях ш/ (/>-1) полагаются равными нулю, после чего из них определяются Я/. Выполнение всей этой процедуры является единич. ным шагом разложения. [c.165]

Непараметрическая и параметрическая оценки показателей надежности (программы NPAR, PAR и DSN) проводятся методами, рекомендованными ГОСТ 27504-84. Параметрическая оценка показателей надежности метолом динамики частостей (программный модуль DSN) дает практически приемлемые результаты прогноза. Метод динамики частостей является одним из приближенных способов исследования многократно цензурированных выборок малого объема. Суть метода заключается в том, что по эмпирическим значениям частостей, определяемым в моменты возникновения отказов, выбираются теоретический закон распределения и наилучшие оценки его параметров. Вид закона распределения вероятностей наработок на отказ подбирается по критерию минимума среднего квадратического отклонения эмпирических частостей от плотностей теоретического закона по критерию Колмогорова [16]. [c.381]

Высокого развития достигли работы советских математиков Л. В. Канторовича — в области нахождения оптимальных решений многовариантных задач в экономике и технике Б. В. Гнеденко, Н. А. Бородачева, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчи-на — в области приложения методов теории вероятностей и математической статистики к вопросам анализа качества и организации производства работ А. А. Макарова, А. А. Ляпунова, В. М. Глушкова, М. А. Гаврилова и других — в области развития теории алгоритмов, программирования, математической логики и методов постановки инженерных задач на электронных вычислительных машинах и т. д. [c.9]

Следующая разновидность М. д. м. основана на изучении динамики ф-ций распределения координат и импульсов, а не отд. частиц. Это динамич. методы Монте-Карло, суть к-рых состоит в численном интегрировании кинетических уравнений Лолы мана (Ландау, Власова, Фоккера — Планка, Колмогорова, Смолуховского), основного кинетич. ур-ния, стохастяч. ур-ния Лиу-вилля к т. д. Кинетич. коэффициенты и нек-рые важные свойства ф-ций распределения можно получить при помощи описанного выше М. д. м. [c.197]

Метод подобия. В случае сильной турбулентности важные результаты могут быть получены в рамках феноменология. методов, одним из к-рых является метод подобия, или размерностный анализ, применённый, напр., А. Н. Колмогоровым и А, М. Обуховым при изучении спектра пульсаций в турбулентной жидкости. [c.185]

В 80—90-е гг. в теории одномерных отображений получили распространение методы, связанные с понятием ренорм группы и с теорией К AM (Колмогорова — Арнольда—Мозера). В целом одномерная динамика пока далека от завершения. Последнее в ещё большей степени относится к теории многомерных не всюду растягивающих отображений, к-рая делает только первые шаги. [c.634]

Применение, методов математической статистики ставит своей конечной целью распространение установленных характеристик ряда на будущее. Таким образом выводы для короткого наблюденного ряда (выборки) распространяются на все неограниченное будущее (генеральную совокупность). Необходимо доказать представительность выборки. Очевидно, чем короче ряд, тем амплитуда отклонений от характеристики большого ряда (генеральной совокупности) будет больше. А. Д. Гостев, пользуясь критерием Колмогорова, показал, что при численности членов ряда от 10 до 50 (что мы имеем в лучшем случае изученных рек) отклонения настолько велики, чтО практически все возможно , т. е. полученные характеристики никак не могут характеризовать генеральную совокупность. На фиг. 7-16 показаны пределы возхможных отклоненнй при числе наблюдений 10 и 50. Малочисленность выборки ряда наблюдений является серьезным недостатком всего метода применения математической статистики к гидрологическим расчетам, Строго говоря, при числе членов ряда меньше 20 обработка вообще недопустима. [c.79]

Метод уравнений Колмогорова — Фоккера — Плаика. Разработка эффективных методов определения статистических характеристик случайных процессов в нелинейных системах — актуальная проблема. [c.133]

Рассмотрим применение метода статистических испытаний при исследовании случайных колебаний многомассовой системы (рис. 3.9) при движении по дороге со случайными неровностями (проведено А. И. Котовым и Ю. Ю. Олешко). Одним из возможных путей снижения ускорений и ударов, действующих на транспортируемые грузы, является вторичная амортизация, т. е. введение в систему груз — транспортное средство дополнительных упругих элементов и демпферов (амортизационных узлов). Основным внешним воздействием для наземных транспортных средств является кинематическое возмущение со стороны дороги, имеющее случайный характер (высота Н и длина волны дорожных неровностей X — случайные функции). В случае неустановившегося движения для решения задачи о выборе параметров вторичной амортизации нельзя использовать спектральную теорию под-рессоривания, так как требуется определить вероятность пробоя системы амортизации, что можно сделать только, зная законы распределения перемещений. Получить законы распределения выходных величин можно решением соответствующего данной многомерной задаче уравнения Колмогорова, что сделать для системы со многими степенями свободы очень сложно. Кроме того, при решении уравнения Колмогорова получается многомерный закон распределения вектора состояния системы, который менее удобен при решении ряда задач (определение вероятности достижения заданной границы и т. д.), чем одномерные законы распределения компонент вектора состояния, получаемые методом статистических испытаний. [c.101]

Фактически область применимости вариационного принципа в стохастических задачах динамики механических систем более широка, так как здесь, как и в статистической физике, не используется марковское свойство рассматриваемых процессов. Для вывода моментных соотношений, помимо уравнений типа Колмогорова, мбгут быть использованы и другие методы. В гл. 4 показано применение спектрального и корреляционного способов составления уравнений относительно моментных функций для нелинейных систем. [c.46]

Особую группу среди решеток с регулярной топологией составляют псевдорешетки, не содержащие циклических конфигураций (решетки Бете или деревья Кайлея). Разработаны методы рандомизации решеток, в результате использования которых, варьируя параметр рандомизации, можно получить целый спектр рандомизированных решеток. Широко применяются случайные решетки, представление о которых введено в работах А. Н. Колмогорова 1937 г. по расчету скорости кристаллизации в среде с хаотическим распределением затравки. [c.22]

Статистические теории турбулентности. Статистические методы исследования турбулентности состоят в применении к изучению турбулентных явлений методов теории вероятности. Первые работы в этой области сделаны в СССР акад. Колмогоровым А. Н. [17] и его учениками в конце 30 годов, а также акад. Ландау Л. Д. [18] и Лой-цянским Л. Г. [41], а за рубежом Дж. Тейлором в 1935 г. [24]— [26] и Бюргерсом в 1929—1933 гг. Обзорными работами по турбулентности являются работы Дж. Бэтчелора— [21] и акад. Л. И. Седова — [22]. [c.238]

Так как задача контроля надежности значительно проще задачи определительных испытаний, то, по-видимому, по этой причине методы планирования, проведения и обработки результатов контрольных испытаний развиты достаточно глубоко. Здесь достаточно сослаться на работы в области приемочного контроля и контроля изделий на надежность А. Н,. Колмогорова, А. Вальда, Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляева, Д. Коудена, Ю. Г. Заренина, Я. Б. Шора и др. Научное направление, посвященное разработке проблемы определительных испытаний на надежность, освещено в литературе очень мало. На пути решения проблемы определи- [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...