Метод уравнений Колмогорова—Фоккера Планке

Остановимся кратко на основных методах, которые используются в настоящее время при вероятностном исследовании нелинейных систем. Точное решение нелинейных уравнений статистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основании уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных [c.78]

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

Составление уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды. Для применения стохастических методов и замены обобщенного уравнения ФПК обычным уравнением ФПК необходимо, чтобы время корреляции флюктуаций возмущений т ор было значительно меньше релаксации Грел амплитуды и фазы процесса колебания на выходе системы < Грел или, что то же самое, время корреляции должно быть мало по сравнению с длительностью переходных процессов в системе. [c.186]

Отмеченные выше методы основаны на корреляционной теории. Поэтому основное внимание в них уделяется способам построения передаточных функций дифференциальных уравнений с переменными параметрами. По-нашему мнению, для оценки статистических параметров выхода системы можно успешно применить стохастический метод, основанный на составлении и решении уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. [c.138]

Общая схема приближенного решения этого уравнения пг> методу Бубнова—Галеркина приводится в следующей главе, где рассматривается наиболее общий вид уравнения Фоккера— Планка—Колмогорова. [c.144]

Стохастический метод дает возможность с помощью уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова исследовать стационарный и нестационарный режимы движения системы, а также рассмотреть практически важный случай, когда внещнее возмущение представляет собой произведение детерминированной и случайной функций времени. Оба эти метода позволяют получить приближенные рещения весьма сложных нелинейных задач. [c.146]

Отметим, что при нестационарном случайном возмущении функция распределения не может быть стационарной, а при стационарном возмущении функция распределения может быть и стационарной и нестационарной. Так, например, если мы рассматриваем движение системы при стационарном внешнем возмущении в стационарном установившемся режиме, не интересуясь переходным процессом, то функция распределения будет стационарной, а если рассматривается движение системы, начиная с какого-то момента времени, в котором она характеризуется определенными начальными условиями, то функция распределения будет нестационарной, но с течением времени, по мере затухания переходного процесса в системе, она будет стремиться к стационарной. Изучить переходный режим движения системы с помощью уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова затруднительно. В дальнейшем будет показано, что в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет уравнением в частных производных с переменными коэффициентами, для которых общих методов решения пока не существует. В дальнейшем будем предполагать, что внешнее возмущение стационарно и имеет нормальный закон распределения. [c.172]

Перейдем к построению решения в случае нестационарной задачи, когда возникает необходимость в исследовании переходного процесса и связанного с ним определения вероятностных характеристик движения системы. Для решения нестационарного уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова Р. Л. Стратонович рекомендует использовать метод разделения переменных и искать решение в рядах по собственным функциям. Этот классический метод решения уравнений приводит к тому, что нестационарное решение выражается в форме [c.176]

Если воспользоваться методом разделения переменных, то решение нестационарного уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова определяется выражением (4.112). Уравнение для собственных функций Хп и) (4.113) при аа = 0 имеет вид [c.211]

Функции Крылова 294—297 --марковских процессов — Методы 516, 517, 540—544 — Уравнение Понтрягина 543, 544 — Уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова 540— 542 — Уравнение Фоккера— Планка — Колмогорова для механических систем 542, 543 Теория оболочек — Применение 495 — Уравнения для динамического случая 418—421, 448, 454 — Уравнения упрощенные 424, 425 [c.566]

Изучение поведения при га- -оо конечномерных распределений fn p, 9), пол.учаел1ых на основе уравнения Колмогорова — Фоккера — Планка для конечномерных аппроксимаций цо методу Бубнова — Галеркина или Ритца основных линейных краевых задач нелинейной теории пологих оболочек. [c.350]

Следующая разновидность М. д. м. основана на изучении динамики ф-ций распределения координат и импульсов, а не отд. частиц. Это динамич. методы Монте-Карло, суть к-рых состоит в численном интегрировании кинетических уравнений Лолы мана (Ландау, Власова, Фоккера — Планка, Колмогорова, Смолуховского), основного кинетич. ур-ния, стохастяч. ур-ния Лиу-вилля к т. д. Кинетич. коэффициенты и нек-рые важные свойства ф-ций распределения можно получить при помощи описанного выше М. д. м. [c.197]

Кроме основных понятий и определений, относящихся к случайным процессам, будут изложены две основные теории исследований динамических систем корреляционная теория и стохастическая теория, связанная с теорией процессов Маркова и уравнениями Фоккера — Планка — Колмогорова. Корреляционная теория обычно используется при исследовании линейных систем с постоянными и переменными параметрами и нeлинeйньfx после предварительной их линеаризации (любым методом), а стохастическая теория весьма удобна для исследования нелинейных и параметрических (линейных и нелинейных) систем. [c.5]

Методы исследования динамических систем, основанные на замене реального процесса внещних возмущений эквивалентным б-коррелнрованным, с использованием уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, называются стохастическими. Эти методы тесно связаны с процессами Маркова. Широкое распространение стохастических методов в физике, астрономии, радиотехнике, автоматическом регулировании, а также в теории колебаний механических упругих систем объясняется тем, что сравнительно простыми средствами удается получить приближенные рещения сложных задач. [c.32]

Чтобы решить нестационарное уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (4.97), воспользуемся хорошо известным приближенным вариационным методом Бубнова—Галёркина [86]. [c.177]

Функцию х(0 считаем случайной функцией времени, статистические характеристики которой заданы. Реальный процесс изменения параметра х(0 заменяем на эквивалентный б-корре-лированный и используем стохастические методы, связанные с составлением уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения функций плотности вероятности искомых величин. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...