Бете решетка

Наиболее простой кристаллической решеткой у металлов является кубическая, имеющая две разновидности кубическую объемно-центрированную (ОЦК) и кубическую гранецентрированную (ГЦК) (рис, 1.1, а, б). У обоих типов этих решеток основу ячеек составляют восемь атомов, образующих куб и находящихся в его вершинах. Остальные атомы находятся или в центре объема куба (один атом на пересечении диагоналей в решетке ОЦК), или в центре каждой из его граней (шесть атомов в решетке ГЦК). Кристаллические решетки ОЦК имеют альфа-железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден, бета-титан и другие металлы. Решетку ГЦК имеют гамма-железо, алюминий, медь, никель, свинец и некоторые другие металлы. [c.7]

Ряд авторов [661—665] развивали теорию плавления как процесс перехода от порядка к беспорядку. При этом одноатомная решетка представляется в виде бинарного сплава узлов и междоузлий. Переход атома из узла в междоузлие нарушает степень порядка. Проблема анализируется с помош ью математического аппарата Брэгга-Вильямса или Бете—Пайерлса, первоначально развитого при рассмотрении бинарных сплавов. Метод заключается в определении критической температуры разрушения дальнего порядка, которую отождествляют с температурой плавления. Эту температуру вычисляют из условия минимума свободной энергии. Дополнительная энергия, идущая на образование дефектов решетки, компенсируется ростом конфигурационной энтропии благодаря увеличению числа мест размещения дефектов. Резкость фазового перехода объясняют уменьшением работы образования дефектов с увеличением их концентрации. Согласно этой теории при плавлении примерно половина всех атомов должна находиться в междоузлиях, а, следовательно, половина узлов решетки остается свободной в противоречии с ожидаемой концентрацией ( 10 ) дырок вблизи точки плавления [540]. [c.223]

Температуры, при которых происходят структурные превращения металлов или их сплавов, называются критическими температурами (точки Чернова). Чистое железо имеет четыре критические температуры (точки). При нормальной температуре оно имеет строение альфа-железа (а-Ре) с кристаллической решеткой в виде объемно-центрированного куба (фиг. 81, а). При нагреве до температуры 768° С альфа-железо превращается в бета-железо [c.147]

Р-Ге), имеющее ту же кристаллическую решетку, что и (а-Ге), но не обладающее магнитными свойствами. Бета-железо сохраняется в пределах температур от 768 до 910° С. При нагреве железа свыше температуры 910° оно превращается в гамма-железо ( -Ре). При этой температуре снова происходит изменение строения кристаллической решетки, которая превращается в куб с центрированными гранями (фиг. 81, б). Гамма-железо так же, как и бета-железо, немагнитно. При нагреве железа до температуры 1390° С гамма-железо ( -Ге) переходит в дельта-железо (б-Ре), строение которого такое же, как и у альфа-железа (объемно-центрированный куб [25], [28], 1311. [c.147]

В своей оригинальной статье Бете [22] принял во внимание то обстоятельство, что (особенно при дифракции электронов) условие, при котором в кристалле существуют только два пучка, никогда полностью не удовлетворяется. Всегда присутствуют некоторые слабые пучки, отвечающие таким точкам обратной решетки, для которых ошибка возбуждения велика, но не настолько, чтобы вклад их полностью исчез. Для специального класса отражений систематического ряда ошибки одинаковы, и систематические взаимодействия соответствующих слабых волн с сильными дифракционными волнами всегда одинаковы для любого направления падающего пучка, удовлетворяющего углу Брэгга для отражения h. Этот систематический ряд содержит ряд целых или почти целых кратных величин вектора решетки h, как показано на фиг. 8.5. [c.188]

Приемлемость этого подхода к рассмотрению рассеяния электронов в кристаллах была подтверждена массой данных, свидетельствующих о том, что для очень тонких монокристаллов могут возникать одновременно сотни дифракционных пучков и дифракционные условия более близки к условиям для двумерной фазовой решетки, чем к условиям для неограниченной периодической структуры, являющейся отправной точкой теории Бете. [c.234]

Рассмотрим группу А. Если элемент изоморфен а-титану, т. е. имеет гексагональную кристаллическую решетку, то он расширяет а-область (I класс) если элемент изоморфен р-титану, т. е. имеет кубическую объемноцентрированную решетку, то он расширяет р-область (II класс). Элементы I класса называют альфа-стабилизаторами, элементы второго класса — бета-стабилизаторами (распределение элементов по классам показано на фиг. 356). 1 [c.381]

Эти соотношения выражают L и а через одну переменную г. Поскольку энергия решетки зависит от и о, то, предполагая, что соотношения (16.52) и (16.53) справедливы по всей решетке, получаем выражение для энергии в зависимости от одного параметра z. Найденное выражение для энергии можно использовать затем для вычисления статистической суммы. Это завершает расчет по методу Бете — Пайерлса. [c.376]

Если число соседей бесконечно велико, система становится эффективно бесконечномерной. Примером может служить система, описываемая моделью среднего поля, которая обсуждается в гл. 3. В гл. 4 рассматривается модель Изинга на решетке Бете. Эта решетка обладает тем свойством, что число узлов, посещаемых за п шагов, растет экспоненциально с ростом п. Это более быстрый рост, чем независимо от значения поэтому такая модель также бесконечномерна. [c.20]

Значения критических показателей (1.10.2), (1.10.4), (1.10.7) называют классическими. Они удовлетворяют соотношениям (1.2.12) и (1.2.13) и совпадают со значениями, получаемыми для простой бесконечномерной модели среднего поля и модели на решетке Бете (гл. 3 и 4). Они не соответствуют точным значениям для модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями в случае двух и трех измерений, но, как сейчас полагают ([901, с. 607), являются правильными для четырех и более измерений. [c.39]

МОДЕЛЬ ИЗИНГА НА РЕШЕТКЕ БЕТЕ [c.55]

Еще одна простая модель, которая может быть решена точно, — это модель Изинга (или любая модель с взаимодействием между ближайшими соседями) на решетке Бете. Так же как и модель среднего поля, она эквивалентна приближенному рассмотрению некоторой модели, допустим, на квадратной или кубической решетке [53]. Но она может быть определена как точно решаемая модель, и это как раз то, что мы собираемся сделать. [c.55]

Вернемся теперь к рассмотрению решетки Бете. В этом случае определяется выражением (4.1.1). Подстановка его в (4.2.1) дает / = оо, так что в этом смысле решетка Бете является бесконечномерной . [c.57]

Если имеется три точки пересечения, то две внешние (А и С на рис. 4.2,б)являются стабильными предельными точками соотношения (4.3.13), в то время как расположенная между ними точка В нестабильна. Если Pq лежит слева (справа) от В, то Р стремится к А(С). Таким образом, снова Р стремится к пределу, определяющему намагниченность М решетки Бете. [c.60]

Первое из выражений (4.4.5) определяет второе намагниченность М. Такие же выражения получаются в результате применения аппроксимации Бете к решетке с координационным числом q (см. [74], с. 251 — 254). [c.60]

Это типичное поведение ферромагнетика, описанное в разд. 1.1. Таким образом, модель Изинга на решетке Бете соответствует ферромагнетику с критической точкой Я = О, Г = причем [c.62]

Обращение знака И эквивалентно замене х на обратную величину, что не меняет (4.6.8). Так как свободная энергия / должна быть четной функцией Нщ отсюда следует, что формула (4.6.8) верна при всех действительных значениях /7. Вместе с уравнением (4.5.1) для х она определяет свободную энергию на один узел в модели Изинга на решетке Бете. [c.63]

Все полученные выше результаты весьма похожи на результаты для модели среднего поля, найденные в гл. 3. (На самом деле они совпадают в пределе — оо дК — конечная величина.) Но в действительности модель на решетке Бете в значительно большей степени заслуживает доверия, чем модель среднего поля, поскольку в данном случае взаимодействия не зависят от размера системы, и каждый спин взаимодействует только со своими ближайшими соседями. [c.65]

Линии решетки Бете можно сгруппировать в классы 1, д так, чтобы каждый узел лежал на одной линии каждого класса. Тогда разным классам линий можно присвоить различные значения коэффициента взаимодействия К. Пусть — значение этого коэффициента для класса г (где г = 1,. .., ) тогда мы приходим к анизотропной модели, которая также может быть решена описанными выше методами. [c.66]

Этот результат качественно отличается от того, что дают классические модели среднего поля и на решетке Бете. Когда < 4, восприимчивость при Я = О бесконечно велика при всех температурах ниже Г . Обычное определение (1.1.7) критического показателя у теряет смысл. [c.76]

АНАЛОГИЯ С ФОРМУЛАМИ ДЛЯ РЕШЕТКИ БЕТЕ [c.308]

Полученные результаты для анизотропных плоских решеток очень похожи по форме на результаты разд. 4.9 для анизотропной решетки Бете. [c.308]

Удивительно, что существуют такие соответствия между анизотропными моделями Изинга без внешнего поля на двумерных решетках и на бесконечномерной решетке Бете. Я использовал разложения в ряд, пытаясь найти подобные свойства для трехмерных моделей и для плоских моделей во внешнем поле, но без успеха. [c.308]

В моделях Изинга и на плоских решетках и на решетке Бете критическая точка имеется в том случае, когда величины л, и - бесконечно близ- [c.308]

С другой стороны, используя (11.8.34) и (11.8.37), легко проверить, что для решетки Бете в таком пределе [c.309]

Соответствующие критические значения К = 1/к Т даны в табл. 11.2 вместе с численными оценками для трехмерных решеток [98, 224] и значениями для решетки Бете. Поскольку решетка Бете является бесконечномерной (в смысле, определенном в разд. 4.2), при заданном координационном числе оценки, сделанные для трехмерных решеток, должны лежать между значениями для плоской решетки и решетки Бете. Они действительно лежат в этом интервале. [c.310]

В первое время поело завершения разработки теории Зоммерфельда полагали, что наблюдаемое на опыте влияние магнитного ноля на сопротивление металлов может быть приписано тепловому разбросу скоростей электронов, т. е. к Г (см., например, [105]). Однако расчет показал, что такое предположение может объяснить только малую часть наблюдаемого в действительности влияния магнитного поля на сопротивление металлов и не способно интерпретировать ряд других особенностей этого явления. Бете [106] и Пайерлс [107] предположили, что вариации электронных свойств различных металлов могут быть связаны с характерным для каждого из них отступлением от идеальной изотропной модели свободных электронов. Так, с одной стороны, влияние периодического поля решетки может привести к тому, что электроны, обладающие одинаковыми энергиями (фермиевскидш), будут иметь при движении в разных направлениях различные скорости. Это означает, что поверхность Ферми (поверхность постоянной энергии электронов) в простраистве импульсов отличается от сферической. [c.198]

Особую группу среди решеток с регулярной топологией составляют псевдорешетки, не содержащие циклических конфигураций (решетки Бете или деревья Кайлея). Разработаны методы рандомизации решеток, в результате использования которых, варьируя параметр рандомизации, можно получить целый спектр рандомизированных решеток. Широко применяются случайные решетки, представление о которых введено в работах А. Н. Колмогорова 1937 г. по расчету скорости кристаллизации в среде с хаотическим распределением затравки. [c.22]

При регенерации и отмывке фильтров, включаемых в работу первыми, естественно, приходится несколько отступать от указанных выше требований, но при этом следует всегда пользоваться наиболее чистой водой из имеющихся в распоряжении и включать в работу оборудование в технологической последовательности. Пуск и включение следующей группы фильтров можно производить только тогда, когда предыдущая группа или хотя бы один из ее фильтров включены в работу и выдают воду, пригодную для регенерации, отмывки и работы фильтров следующей группы. Пуск новых фильтров частично уже работающей установки не требует соблюдения такой последовательности, так как имеется вода нужного качества. Когда от обессоливающей установки будет получена зода нужного качества, ее направляют потребителям, а воду, не вполне отвечающую требованиям, используют для менее требовательных потребителей, для отмывки и регенерации других фильтров или подают в голову процесса обработки для повторного обессоливания. Пуск декарбонизаторов заключается в загрузке их кольцами Рашига принятых в проекте размеров ( ( =25, Л=25, бет—3 мм). Кольца загружают на решетку в беспорядке, но ровным слоем необходи- [c.134]

Здесь возникает проблема, поскольку обычно отношение числа граничных узлов к числу внутренних узлов решетки становится малым в термодинамическом пределе большой системы. В данном случае это не так, поскольку оба числа растут экспоненциально как q — 1) . Чтобы преодолеть эту трудность, мы рассмотрим только локальные свойства узлов, расположенных глубоко внутри графа (т. е. бесконечно далеко от границы в пределе п оо). Такие узлы должны быть эквивалентны друг другу. Каждый из них характеризуется координационным числом q, и все они в совокупности образуют решетку Бете. (Это различие между деревом Кейли и решеткой Бете терминологически полезно, хотя и не всегда подчеркивается. Я благодарен профессору Нейглу за то, что он обратил мое вниман ие на это обстоятельство и указал на соответствующую работу [67].) [c.56]

Если рассматривать полную статистическую сумму, то мы приходим к модели Изинга на дереве Кейли . Эта задача была решена [77, 172, 203], и оказалось, что она имеет весьма необычные свойства. Тем не менее мы не будем рассматривать эту задачу. Вместо этого мы рассмотрим только вклад в Z, происходящий от узлов, лежащих глубоко внутри графа, т. е. от решетки Бете. [c.56]

Как-то мотивировать сделанный выбор можно, рассматривая разложения в ряд статистической суммы. Если произвести низкотемпературное разложение для любой регулярной решетки подобно тому, как это сделано в разд. 1.8, то для вычисления членов до второго порядка включительно нужно знать только такие характеристики решетки, как число узлов и координационное число. В третьем порядке уже потребуется число треугольников на решетке, в четвертом — число тетраэдров (т. е. кластеров, состоящих из четырех связанных узлов) и других высокосвязных четырехточечных графов и т. д. Интересен простой случай, когда замкнутые цепочки узлов отсутствуют и поэтому нет треугольников, тетраэдров и т. п. Тогда мы получаем модель Изинга на решетке Бете, как мы ее здесь определили. [c.56]

Рассмотрим модель Изинга на полном дереве Кейли (ниже мы отбросим члены, связанные с граничными узлами, и возвратимся к решетке Бете). Статистическая сумма дается выражением (1.8.2), т. е. [c.57]

Возможны две ситуации либо кривая у = у(х) пересекает линию у = х один раз, либо имеется три пересечения (рис. 4.2). В первом случае точка Р всегда будет монотонно приближаться к точке пересечения А при л — 00, как показано на рис. 4.2,а. Таким образом, как и следовало ожидать, х и М стремятся к некоторому пределу, когда число п становится большим. Это значение представляет собой локальную намагниченность узла, расположенного глубоко внутри дерева Кейли, т.е. намагниченность на узел в решетке Бете. [c.59]

Как уже отмечалось выше, трудность, связанная с деревом Кейли, состоит в том, что оно неоднородно, т. е. имеет значительное число граничных или соседних с границей узлов, свойства которых отличаются от свойств внутренних узлов. Но все узлы, расположенные глубоко внутри графа, имеют одинаковую локальную намагниченность М и потому одну и ту же локальную свободную энергию /, определяемую выражением (4.6.5). Таким образом, эта свободная энергия является свободной энергией модели Изинга на решетке Бете. Она вычисляется путем приравнивания д. = д, [c.63]

Для ферромагнитной модели на решетке Бете при температуре ниже критической должны выполняться неравенства (11.8.31). (Выше критической температуры х = =. .. = н =1и модель на решетке Бете становится более тривиальной ф = -1п2 - /2 созЬ/Г и Л/ = 0.) [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...