Разностная схема аппроксимирующая

Таким образом, на основе начальных значений координат и скоростей мы можем определить зависимость Я от времени. Разностная схема аппроксимирует дифференциальный оператор со вторым порядком. По определенным значениям координат на основе второго уравнения (10.28) находим скорости. [c.190]

Говорят, что разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком k, если имеет место неравенство [c.230]

Это так называемая пятиточечная центральная разностная схема, аппроксимирующая первую производную с точностью, пропорциональной четвертой степени шага. [c.78]

Сходимость алгоритма (3.3) следует из теоремы эквивалентности [67], утверждающей, что, если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость разностной схемы является [c.111]

Для построения разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальную задачу (8.21), введем квазиравномерную сетку и, т. е. сетку с шагом Л( ), равномерную на каждом из п участков стержня. В этом случае разностную аппроксимацию дифференциальной задачи представим в случае краевых условий первого рода следующим образом [c.197]

Для обеспечения близости решений разностной и дифференциальной задач необходимо, чтобы при стремлении шагов сетки к нулю разностная задача в пределе совпадала с дифференциальной. Если это требование выполняется, то говорят, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу. В дальнейшем будем говорить, что [c.33]

Консервативная схема для уравнения теплопроводности. Выше были рассмотрены некоторые способы построения разностных схем, аппроксимирующих систему одномерных нестационарных уравнений газодинамики без учета реальных диссипативных процессов. Обратимся теперь к случаю, когда в задаче присутствуют процессы теплопроводности. Изменится лишь уравнение энергии, которое для одномерного плоского случая имеет вид [c.143]

Необходимые условия устойчивости. В предыдущей глав было построено семейство разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности (см. (6.11) гл. II) [c.186]

Для того чтобы определить характер изменения функции Ь(г) на всем интервале изменения 2, необходимо решить систему уравнений (10.2.1) с граничными условиями (10.2.2) и (10.2.3). Эта система решена численно 231] с использованием неявных разностных схем, аппроксимирующих [c.183]

Разностная схема (1.86), (1.87) устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу (1.6) со вторым порядком точности относительно шага. Кроме того, она регулярна по направлениям осей X и у, что позволяет создавать быстродействующие алгоритмы решения результирующей системы алгебраических уравнений. [c.48]

Для одного и того же дифференциального уравнения могут быть построены различные разностные схемы. Например, дифференциальное уравнение (3.9) может быть также аппроксимировано разностным уравнением [c.59]

Метод разностной аппроксимации заключается в том, что все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют отнощением конечных разностей соответствующих величин, взятых в узлах сетки. Этим способом были составлены разностные схемы (3.10) и (3.12). Разностная аппроксимация дифференциальных операторов может быть представлена в разной форме. Например, производная йи/йх аппроксимируется схемами [c.62]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Если разностная схема (7.12) аппроксимирует задачу (7.11) с порядком k и является устойчивой, то решение ы ) разностной задачи сходится к точному [и]д, причем имеет место оценка [c.232]

Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и краевые условия заменяют (аппроксимируют) сеточными уравнениями, связывающими значения искомой функции в узлах сетки. Сеточные уравнения, так же как и сама сетка, зависят от шага h как от параметра. Эту совокупность сеточных задач называют разностной схемой. [c.75]

Систему уравнений (6.4) можно аппроксимировать с помощью рассмотренных в гл. 3 разностных схем. Наличие линий разрыва не сказывается на точности, если (что всегда будем предполагать) аппроксимация проводится раздельно для каждой из подобластей. На границах между подобластями должны быть заданы некоторые соотношения. Для схем (3.67), (3.68) рассмотрим все возможные случаи. [c.147]

Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76]

Для построения разностной схемы заменим в (3.33) производные разностными отношениями. Аппроксимация второй производной была рассмотрена в 3.1, соотношение (3.8). Первую производную в точке X Хп можно аппроксимировать левой или правой разностями с погрешностью О (Л) [c.84]

На первый взгляд схемы рассмотренные в главе 3, легко перенести на уравнение (5.2). Действительно, оно отличается от уравнения теплопроводности только членом uV i содержащим первые производные от температуры по координатам, которые можно аппроксимировать конечными разностями. Однако некоторые варианты такого естественного подхода приводят к неудачным численным схемам. Поэтому новый конвективный член вносит ряд существенных особенностей в процедуру выбора вида разностной схемы. Рассмотрим их на примере простейшего одномерного стационарного уравнения энергии [c.157]

Теорема. Пусть разностная схема (5.53), (5.54) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (5.50), (5.51). Тогда она сходится, причем из аппроксимации с т-и порядком следует сходимость с т-м порядком. [c.147]

Аппроксимируем краевую задачу (5.57), (5.58) разностной схемой [c.147]

Чисто неявная двухслойная разностная схема отличается от явной тем, что в ней уравнение теплопроводности аппроксимируется не уравнением (5.65), а разностным уравнением [c.149]

Оказалось, что сетки на основе формул (1.1.6)-( 1Л. 8) [2] обладают рядом полезных свойств. Так в работе [3] показано, что hi 0 N ) при больших N, и это позволяет более точно аппроксимировать производные высоких порядков. В [4, 5] показано, что за счет выбора лишь граничных величин Л( , N), В е, N) построенные на основе таких сеток обычные разностные схемы при решении краевых задач для обыкновенных уравнений, содержащих малый параметр , обладают свойством равномерной по параметру сходимости при N оо. Таким образом, предложенная конструкция функционала в ряде случаев позволяет осуществить и адаптацию сеток к особенностям решения краевых задач за счет выбора граничных интервалов. [c.515]

Обращает на себя внимание неупорядоченность чередования выпуклостей и вогнутостей фронта пламени, что объясняется характером возмущений, которые не задавалгсь, а возникали при числовом решении вследствие того, что ссот-ветствующая разностная схема аппроксимирует решаемую краевую задачу с погрешностью 0 (Ат /if hi), где 1т, /ii и /i2 — шаги разностной сетки по времени и простраг ст-венным переменным. [c.344]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

О Брайен, Хаймен и Каплан [1950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений. [c.27]

Явная полностью консервативная схема. Разностная схема, аппроксимирующая дифференциальные уравнения газовой динамики, представляет собой систему алгебраических- уравнений относительно значений сеточных функций. Такие системы уравнений, являющиеся, как правило, нелинейными, приходится решать на каждом временном слое сетки. Число уравнений системы определяется количестиом узлов сетки по пространству (обычно оно составляет 30- 200). Таким образом, вопрос о практш1еской реализации разностной схемы в общем случае являотся достаточно сложной самостоятельной проблемой. [c.192]

Аппроксимация Y(<) должна быть обоснована с учетом различных факторов функциональных свойств Y(0, необходимой точности решения, методов и средств решения уравнений динамики и т. п. В данном случае надо учитывать, что составляющие Y(0 являются кусочно-непрерывными функциями, допускающими разрывы первого рода ( 2). Кроме того, важным является то об-, стоятельство, что задачи подобного рода, возникающие в инженерной практике, решаются, как правило, с помощью ЭВМ. При этом, как известно, дифференциальные уравнения аппроксимируются разностными схемами. [c.76]

В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется разностной схемой ). Методы решения системы разностных уравнений, возникаюхцей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. [c.268]

В теории разностных схем доказывается теорема если разно-ч тная схема аппроксимирует дифференциальные уравнения и она устойчива, то при уменьшении шагов ее разностное решение сходится к решению дифференциальных уравнений. Обладание свойством сходимости является обязательным требованием, предъявляемым к разностной схеме при численном решении дифференциальной задачи. Если сходимость имеет место, то с помощью разностной схемы можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого шаг к достаточно малым. [c.272]

Разностную схему для определения разностного решения будем по-прежнему строить, заменяя в уравнении (3.1) и граничных условиях (3.2), (3.3) производные конечными разностями. Рассмотрим аппроксимацию производной по времени. В принципе для построения соотношений, аппроксимирующих временную производлую, в /-Й момент времени можно использовать значения температур в различные моменты времени Т , Ti ,. ... Однако на практике в подавляюще.м большинстве случаев используются только значения температуры в /-й и (/ 1 -и моменты времени. Такие схемы называются двухслойными (повремени). Значительно реже учитывают значение температуры в (/ — 2)-й момент времени и получают трехслойные схемы. Дальше мы будем рассматривать только двухслойные схемы. В этом случае производную по времени аппроксимируют разностью назад [c.79]

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую логрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета. [c.84]

Общее дифференциальное уравнение теплопроводности (1.1), учитывающее зависимость теплофизических свойств тела от пространственных и временной координат [251, аппроксимируется разностной схемой, позволяющей реализовать в основном традиционный счет. При этом трехмерное тело произвольной формы схематизируется и заменяется его сеточной моделью с переменным шагом пространственной сетки (рис. 1.2). В узлах сетки сосредотачиваются массы элементов, ограниченных теплопередающими поверхностями, проходящими между узлами сетки на равном расстоянии от них. При такой модели тепловые сопротивления соответствующих масс элементов располагаются между узлами сетки. В методе и программе предусматривают возможность задания в каждом из узлов свойств как твердого, так и газообразного тела. [c.22]

Рассмотрим теперь семейство разностных схем с недивергентным уравнением энергии (7.47) при ф = 0. Следуя [21], аппроксимируем это уравнение разностным [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...