Плоское поле перемещений

Плоское поле перемещений. Точечное преобразование 1 -объема в У-объем задается соотношениями [c.90]

К п. 6.2 гл. П. Построение тензора поворота в случае плоского поля перемещения указано Синьорини в работе [c.912]

В качестве первого примера рассмотрим так называемую плоскую деформацию, характеризуемую следующим полем перемещений [c.56]

В сил> того, что изменения в поле перемещений на оси, совпадающей с осью действия напряжений, незначительны, для сл чая плоского напряженного состояния поверхностного слоя изменения в распределении нормальных перемещений на главных осях определяются независимо компонентами главных напряжений и соответствуют только им. [c.67]

Выражение (10.9) показывает, что на каждой плоскости, перпендикулярной к оси хь при фиксированном t при переходе от точки к точке волновое поле не меняется и параллельно оси хь Если направление распространения плоской волны не совпадает с осью л 1, то поле перемещений будет описываться более сложными формулами, хотя физическая картина останется той же. Выведем соответствующие формулы. [c.251]

При рассмотрении винтовой дислокации ( 9.2) мы встречались с примером сингулярного решения уравнений теории упругости, соответствующего особенности во всех зонах прямой — оси Хз. Аналогичным образом можно построить сингулярное решение уравнений теории упругости для плоского деформированного состояния, которому соответствует неоднозначное поле перемещений. Будем называть краевой дислокацией такую дислокацию, для которой вектор Бюргерса перпендикулярен оси дислокации. Это значит, что если принять ось Хз за линию дислокации, перемещение при обходе контура, окружающего ось Хз, получает приращение, равное Ь. [c.331]

Будем называть плоской волной такое решение системы (13.4.1), которое описывает перемещение неизменной конфигурации в направлении единичного вектора п со скоростью с. Как оказывается, решения такого типа, соответствующие постоянной скорости с, не зависящей от конфигурации, возможны лишь в неограниченной упругой среде. Согласно определению поле перемещений, соответствующее плоской волне, дается следующими выражениями [c.439]

Рассмотренный случай конечного элемента пластины соответствует минимальному числу степеней свободы. Как и для рассмотренной ранее плоской задачи, здесь можно построить элемент повышенной точности. Для этого нужно добавить количество узловых точек в элементе, и в соответствий с этим повысить степень полинома, аппроксимирующего поле перемещений (3.111). [c.104]

Плоская деформация. Рассматривается поле перемещений, в котором декартовы координаты а точки деформированного призматического тела связаны с ее декартовыми координатами as в начальном состоянии соотношениями [c.774]

Исследуем осесимметричную задачу дифракции плоской гармонической волны на подвижном жестком сфероидальном включении, внедренном в упругую среду [74]. Поле перемещений в случае осевой симметрии можно записать в виде (см, главу 1) [c.114]

На рис. 48, а показана простая тонкостенная конструкция открытого профиля, находящаяся под действием кососимметричной нагрузки Р, что характерно для автомобильных конструкций. Жесткость и прочность этой конструкции в основном определяют изгибом боковых панелей, которые находятся в условиях плоского напряженного состояния (рис. 48,6). На рис. 49, а приведена консольная балка толщиной t, к свободному концу А которой приложена сила Р. Нагружение балки в этом случае аналогично нагружению боковой панели рассматриваемой конструкции. Балка моделировалась элементами четырех типов [11], На рис. 50, а представлены результаты численного эксперимента по определению прогиба свободного конца балки уа в зависимости от числа степеней свободы при идеализации балки треугольными элементами с постоянной деформацией (кривая 1) и линейной деформацией (кривая 2). Треугольный элемент с постоянными деформациями, что равнозначно постоянству напряжений, построен на описании поля перемещений полным линейным полиномом. Этот элемент часто называют С5Г-элементом [11], или симплекс-элементом [20]. Представление поля перемещений элемента полным квадратичным полиномом приводит к линейным распределениям деформаций или напряжений. Такой элемент обычно называют 57 -элемен-том [11], или комплекс-элементом [20]. Как видно из рис. 50, а, характеристики сходимости для треугольных элементов не очень [c.76]

Муаровый эффект в лаборатории механических испытаний чаще всего используется при исследовании деформаций плоских образцов. При этом порядок проведения исследования таков изготовление образца, нанесение системы полос на его поверхность, нагружение образца, получение и фотографирование муаровых картин—полей перемещения по двум ортогональным направлениям [c.187]

Известно, что компоненты тензора деформаций в условиях плоской задачи однозначно определяются полями перемещений по двум ортогональным направлениям. При малых удлинениях и малых поворотах и при обычных для этого случая допущениях деформации выражаются через перемещения следующим образом [c.189]

Во многих книгах по сопротивлению материалов и теории упругости плоской деформацией называют состояние с плоским полем коэффициентов длины (тензоров Коши или Грина), когда это поле одно и то же во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению нулевого главного удлинения. Для плоской деформации, перпендикулярной к оси Хд, вектор перемещения является функцией только XI и Хг. Соответствующие компоненты перемещения для этого случая обозначим так [c.132]

В общей формулировке деформация называется однородной, если она задана полем перемещений вида = АцХ,-, где Ац — константы или, быть может, функции времени. Доказать, что при такой деформации а) плоские сечения остаются плоскими, б) прямые линии остаются прямыми. [c.137]

Показать, что поле перемещений щ = Axi + ЗХа, г = = 3xj — ВХ2, 3 = 5 дает состояние плоской деформации. Найти связь между А к В, при которой деформация будет изохорической (отсутствует объемное расширение). [c.153]

Равновесие хрупких тел с трещинами. Построение теории разрушения хрупких материалов связано с изучением напряженного состояния в окрестности поверхности разрыва поля перемещения ( трещин ) в упругом теле. Наиболее простой является задача о плоском напряженном состоянии в плите с прямолинейным разрезом, нагруженной силами, перпендикулярными разрезу, концы которого достаточно удалены от краев плиты. В линеаризованной постановке классическое решение, получаемое предельным переходом из решения задачи о напряженном состоянии в окрестности эллиптического отверстия, приводит к бесконечным напряжениям в концах трещины (угловых точках области). Без добавочных предполо- [c.69]

Рассмотрим, например, квадратичные поля перемещений в плоском случае [c.120]

Так как идеи построения элементов с помощью гибридных методов и метода обобщенной потенциальной энергии иллюстрировались на простых примерах, то приведенные построения не обладают общностью. Это отчетливо видно из замечаний относительно построения некоторых полей перемещений и граничных усилий (см. текст, следующий за (6.56)). Однако в главах, касающихся расчета плоского напряженного состояния и изгиба конструкций, мы вновь [c.186]

Выпишите матрицу жесткости прямоугольного элемента для плоского напряженного состояния, введенного в задаче 5.2, используя приведенное там же поле перемещений и принцип минимума потенциальной энергии. Сравните полученные результаты с результатами, приведенными на рис. 9.13. [c.203]

Формулировки треугольных элементов плоского напряженного состояния в принципе основаны на задании предполагаемых полей перемещений и интеграла потенциальной энергии. В данной главе предложено несколько альтернативных формулировок различной степени сложности для треугольных элементов. Здесь обсуждаются также аспекты практического построения треугольных элементов и, в частности, вопросы интерпретации результатов расчета полей напряжений. Представлены численные решения в зависимости от измельчения сетки разбиения для двух задач, для которых имеются аналитические решения. Приводятся замечания относительно роли смешанных вариационных принципов и принципа минимума дополнительной энергии при построении треугольных конечных элементов. [c.266]

В этом разделе рассматриваются плоско-напряженные треугольные элементы, построенные в предположении, что поля перемещений представлены соответственно полными линейными, квадратичными [c.270]

Если для поля перемещений A=[N] А функции формы ( N J приводят к согласованному представлению, то простейшей и наиболее естественной согласованной аппроксимацией напряжений может служить соотношение а =[М (о), где — согласованное поле напряжений, а о включает значения напряжений в заданных точках. Будем называть это представление совместимым с перемещениями. Конечно, можно выбрать согласованное представление напряжений, которое не является совместимым с перемещениями, однако для этого требуются дополнительные рассмотрения, не использующие результаты проведенных вычислений. Стандартный расчет сопряженных напряжений основан на том, что напряжения согласованы и совместимы с перемещениями. Заметим, что может включать три компоненты в случае плоского напряженного состояния (а , а , т у), поэтому [N] — прямоугольная матрица. [c.281]

Выписывая подробно первую матрицу жесткости для прямоугольного элемента, выберем поля перемещений и н v, которые изменяются линейно вдоль сторон элемента. Условие межэлементной непрерывности перемещений будет выполнено, если можно полностью представить такими элементами плоскую конструкцию или если данный элемент соединяется с ST-треугольными элемен-гами. В разд, 8,4 было показано, что выбираемые поля перемеще- [c.290]

В дальнейших построениях удобно поместить начало координат в центре элемента и выразить все координаты в безразмерном виде, причем указанные координаты т] и задаются согласно методике разд. 8.7 (см. рис. 10.5(Ь)). Аналогично случаю плоских элементов, описанному в разд. 8.4, для полей перемещений при интерполяции [c.315]

Постройте для несжимаемого упругого изотропного материала матрицу жесткости, основанную на девиаторных компонентах деформации. Используйте простой (с линейным полем перемещений) треугольный элемент при условиях плоской деформации. [c.342]

И наконец, следует отметить, что упоминавшиеся выше трудности в выборе адекватных полей перемещений возникают из-за того, что изгиб тонких пластин описывается дифференциальным уравнением четвертого, а не второго порядка, как в случае плоских [c.343]

В качестве заключительного замечания, касающегося потенциальной энергии, отметим, что для изотропного материала уравнение (12.6) является уравнением Эйлера для функционала потенциальной энергии. Значение этого обстоятельства заключается в том, что то же уравнение (с функцией напряжений Эри Ф в качестве неизвестной переменной) определяет растяжение пластины при применении формулировок, базирующихся на принципе минимума дополнительной работы. Следовательно, рассуждения, касающиеся выбора полей перемещений, непосредственно справедливы и для формулировок, соответствующих плоской задаче. [c.349]

В обеих задачах —о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях —поле перемещений однозначно определяется перемещениями и и о в направлениях осей х и у прямоугольной системы координат. В обоих случаях рассматриваются только по три компоненты напряжения и деформации в плоскости X, у. В случае плоского напряженного состояния все остальные компоненты напряжения равны нулю по определению и, следовательно, не совершают внутренней работы. В случае плоской деформации напряжение в направлении, перпендикулярном плоскости X, у, не равно нулю. Но поскольку в этом направлении деформация равна нулю по определению, это напряжение также не дает вклада во внутреннюю работу. При желании его можно определить через значения главных компонент напряжения. [c.60]

Применение логарифмической меры в задаче о плоской деформации. В плоском поле перемещений (6.2.1) гл. II главные значения тензоров или О равны 1-Ь б = е " (а = 1, 2), бз = 0, < 1 (см. п. 3.5 гл. VIII). Через % обозначается угол [c.765]

Показать, что поле перемещений ui=Axi + 5x2 U2=5xi+Bxi- U3= onst дает состояние плоской деформации. [c.77]

Мы уже видели, что любой потс1щиал перемещений соответствующий заданному распределению температу ]ы Т и дающий непрерывное поле перемещений, приводит задачу к виду, в котором имеется лишь нагрузка на границе тела. Следовательно, если найден соответствующий потенциал перемещений, то можно воспользоваться комплексными потенциалами i i (г) и Х(г), как это делалось в главе 6 для плоской деформации и плоского наг[ряженного состояния. [c.486]

Мы будем исследовать плоскую деформацию тел, армированных первоначально прямолинейными волокнами, параллельными оси X. Будем предполагать, что поперечные сечения тела плоскостью 2 = onst не зависят от z. Поле перемещений бесконечно малой плоской деформации имеет вид [c.292]

Итак, исходя только из принятых ограничений, мы установили, что кинематически допустимое поле перемещений при плоской деформации должею иметь вид [c.292]

Этот вывод справедлив только для односвязных тел в плоских задачах, так как уравнения совместности, которые удовлетворяются при У ф = О, обеспечивают непрерывное поле перемещений только для одпосвязных тел. Для многосвязных тел (пластины с отверстиями) сделанный выше вывод, вообще говоря, не точен. Если же равнодействующая всех внешних сил, приложенных на контуре каждого отверстия, равна нулю или если такие силы приводятся к моменту, то напряжения не зависят от упругих констант (условие Леви) [8]. [c.229]

В оболочке возникает два вида напряженного состояния мембранное и изгибное. Мембранное напряженное состояние соответствует плоской задаче теории упругости. Для решения плоской задачи теории упругости наиболее распространены два типа прямоугольных конечных элементов элемент Мелоша [4 ] (поле перемещений задается в виде линейчатой поверхности) и элемент Клафа [5] (нормальные напряжения изменяются по линейному закону, касательные напряжения постоянны). Элемент Клафа не удовлетворяет условию совместности по перемещениям между соседними элементами, но соответствующее ему поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия. При использовании элемента Мелоша условие совместности перемещений между элементами удовлетворяется, но не удовлетворяется условие равновесия внутри элемента. [c.224]

Как и плоскую задачу термоупругости (см. 6.2), осесимметричную задачу при постоянных значениях Ghvh /г = /г = 0 можно сформулировать через потенциал перемещений и представить искомое поле перемещений в виде суммы частного решения, учитывающего неравномерное распределение температуры, и решения изотермической задачи теории упругости [5]. Но в случае сложной формы тела с переменными термоупругими характеристиками материала методы аналитического решения задачи практически неприменимы и целесообразно ориентироваться на численные методы решения. [c.242]

Пусть в момент / = О тело с симметрично расположенной трещиной подвергается действию нагрузки на границе Г, реализующей условия плоской деформации и нормального разрьюа (при /<0 материал находится в покое). Если для данной системы нагрузок известна зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины и времени А (/, /), а также поле перемещений на границе и(/, х, /), то для любой дф)той симметричной системы зависящих от времени нагрузок преобразование Лапласа козффищ1ента интшсивности напряжений будет следующим [c.62]

Плоские поля смещений или скоростей. В тонкой плас-стинке, растягиваемой силами, действующими в ее плоскости, или в вытянутом теле, перемещения точек которого ограничены параллельными плоскостями, составляющие смещений или скоростей зависят от двух координат. Если плоскость х, у совпадает со срединной плоскостью диска или с одной из параллельных плоскостей вытянутого тела, то компоненты смещений (или скоростей) и, V ъ направлениях осей х w у определяют плоское поле векторов. Рассмотрим две точки Р х,у) и Q x + dx, уЛ-dy), отстоящие друг от друга на бесконечно малое расстояние dr = = dx- -jdy, и предположим, что две оси, проходящие через точку Р параллельно осям х и у, перемещаются вместе с телом во время его движения. Малый элемент dxdy материала будет испытывать малые деформации и малые вращения относительно осей X, у, Z, которые предполагаются фиксированными в пространстве. Компоненты перемещений и и v при переходе от точки Р к точке Q получают приращения [c.223]

Если принять простейшие гипотезы Фойхта об однородности поля перемещений для продольного направления в однонаправленном композите и Рейсса об однородности поля обобщенных сил для сдвиговых напряжений и напряжений, нормальных волокнам, то выражения для напряжений в компонентах при плоском напряженном состоянии примут вид II [c.253]

Выведите, используя метод взвешенных невязок с критерием Галеркина необходимые интегральные соотношения для непосредственного построени матриц жесткости элементов в плоском напряженном состоянии, если известнь поля перемещений. [c.150]

Е]. Двойственные функции напряжений могут быть определены и для других ситуаций (например, функции напряжений Саусвелла для изгибаемых пластин двойственны смещениям в плоскости для плоского напряженного состояния). Из этого следует, что многие аспекты построения матрицы жесткости элемента, сформулированные сначала в терминах предполагаемых согласованных полей перемещений, переносятся и на метод сил (податливости). Мы еще вернемся к этому вопросу в последующих главах. [c.191]

При рассмотрении прямоугольных плоско-напряженных элементов вначале изучаются формулировки, полученные с полющью межэлементно согласованных полей перемещений. Для этих элементов приводятся результаты расчетов, откуда становится ясно, что задачи, которые должны описывать состояние изгиба, лучше моделируются с помощью элементов, содержащих дополнительные функции перемещений. Изучению указанных функций отводится специальный раздел. При формулировке элементов гибридный метод напряжений имеет определенные преимущества в отдельных задачах плоско-напряженного анализа. Этот подход к построению элементов описывается в заключительном разделе главы. [c.266]

НИИ ничто не препятствует, поэтому предположение, что 6 =0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают 8г=сопз1 (случай обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы построить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10 3), связывающие напряжения с деформациями, полагая Ухх=Уцх=0 и Бг=соп51. Деформации Ех, Ву и Уху выражаются через предполагаемые поля перемещений ы и и обычным образом. Результирующие глобальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин ы и и и одной константы е . [c.328]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...