Уравнения жесткости глобальные

Уравнения жесткости глобальные 72 -- для элемента 45 [c.424]

Существуют три основные группы методов построения алгебраических уравнений, отвечающих полному (глобальному) конечно-элементному представлению конструкций методы перемещений (жесткости), методы сил (податливости) и смешанные методы. Вид этих уравнений аналогичен виду уравнений для элемента, определенных в разд. 2.3. Данные группы методов соответствуют различным формам энергетических принципов, и в дальнейшем будет удобно разрабатывать эти методы, опираясь на энергетические подходы. В данной главе изучаются два различных подхода к построению одного и того же типа глобальных уравнений, а именно уравнений жесткости, в которых роль неизвестных величин играют перемещения в узлах. Чтобы реализовать эти подходы, требуется лишь знание алгебраической формы записи матрицы жесткости конечного элемента и обозначений, введенных в разд. 2.3. Сами же подходы заключаются попросту в учете условий равновесия и непрерывности перемещений в узлах для полной аналитической конечно-элементной модели. [c.69]

В гл. 7 мы вернемся к вопросам расчета конструкции в целом, где уравнения жесткости будут изучены с других позиций. Кроме того, здесь же будут объяснены некоторые свойства решений, которые не могли быть объяснены прежде, а также изучены альтернативные формы глобальных уравнений (например, глобальные уравнения податливости). Так как в данном тексте основное внимание уделяется вопросам, связанным с построением элементов, то детальному описанию примеров глобальных уравнений отводится мало места. Читателю, интересующемуся подобными вопросами, следует обратиться к многочисленным книгам по матричным методам расчета конструкций (см., например, [3.1—3.41). [c.70]

Операции, проведенные на шагах 2 и 3, повторяются для всех остальных степеней свободы В результате получают полный набор коэффициентов уравнений жесткости всей конструкции (глобальных уравнений жесткости), однако без учета условий закрепления. [c.73]

Выполняемые в процессе реализации алгоритма алгебраические преобразования запишем в матричном виде. Предполагается, что операции на шаге 1—4 выполнены и глобальные уравнения жесткости выписаны и имеют вид [c.75]

В предыдущих рассмотрениях не было уделено внимание некоторым основным свойствам глобальных уравнений жесткости. Во-первых, свойство симметрии коэффициентов жесткости элементов обеспечивает симметричность коэс ициентов глобальных уравнений жесткости, поэтому необходимо держать в памяти ЭВМ лишь диагональные элементы матрицы и элементы по одну сторону от диагонали. Во-вторых, как было указано, отвечающие данной степени свободы уравнения жесткости (уравнения равновесия) зависят от степеней свободы тех элементов, которые прилежат к узлу, где задана исходная степень свободы. [c.76]

Вычисление сил реакции опоры. Из первой, четвертой и пятой строк глобальной системы уравнений жесткости (с исключенными соответствующими столбцами) получаем [c.79]

При построении глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состояш,его из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с помощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объединим уравнения жесткости элементов [c.80]

Применим теперь эти соображения непосредственно для преобразования уравнения (3.10). Основываясь на введенной в разд. 2.7 методике преобразования, выпишем глобальные уравнения жесткости в обычном виде, т. е. в виде соотношений (3.5), где [c.82]

Силовые равенства (строки) в глобальных уравнениях жесткости преобразуются на базе аналогичных рассуждений. Так, согласно обычному преобразованию координат, имеем [c.100]

В гл. 6 изучался ряд подходов, альтернативных к традиционным и основанных на принципах минимума потенциальной и дополнительной энергии. Причем альтернативные подходы характеризовались смягчением условий непрерывности полей между элементами. Изложенные процедуры позволяли сформулировать для элемента самосогласованные соотношения, которые стыкуются с соотношениями соседних элементов, не требуя введения модификации в процедуру глобального анализа. Ниже описывается другой класс процедур, в которых условия на межэлементную непрерывность полей смягчены, но для реализации которых требуется выполнить специальные операции с глобальными уравнениями (и, в частности, наложить некоторые ограничения на глобальные уравнения жесткости). [c.215]

Итак, матрица системы уравнений (13.18) сформирована. Таким образом, основные этапы МКЭ продемонстрированы. Это — вариационная постановка задачи, вычисление глобальных матриц жесткости и массы через соответствующие матрицы элементов, решение в которых аппроксимируется линейными функциями, приведение нагрузки (правая часть уравнения) в узлы, обеспечение граничных условий. В результате исходная задача сводится к решению систем уравнений (13.18). [c.168]

Здесь К — матрица жесткости системы, д — вектор узловых неизвестных (перемещений), а вектор Р представляет собой приведенную в узлы нагрузку от массовых и поверхностных сил. Для построения глобальной матрицы и глобальных векторов достаточно вычислить соответствующие объекты одного конечного элемента и, расположив их на соответствующих местах глобального массива, просуммировать. Это суммирование достигается формальными выкладками (таким же способом составляются, например, уравнения равновесия стержневых систем в строительной механике [179]). [c.632]

После анализа структуры уравнения равновесия в форме (3.83) можно отметить, что в правой части стоят внешние силы, действу- ющие в сечении / и сумма приведенных к узлу / поверхностных нагрузок, действующих на сопрягаемые элементы в левой части, стоят произведения матричных блоков МЖЭ и узловых степеней свободы. При формировании уравнений равновесия для /-го узла участвуют лишь блоки матриц жесткости элементов, у которых- первый индекс (по глобальной нумерации) равен /. Расположение этих блоков в /-Й матричной строке в общей системе уравнений рав- новесия (т. е. для всех узлов) определяется вторым индексом. [c.96]

Полученные таким образом уравнения равновесия всех сече- ний одномерной конструкции с учетом геометрических граничных условий задачи представляют разрешающую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Полученную матрицу системы называют глобальной матрицей жесткости или матрицей жесткости конструкции. Эта ма- [c.96]

Уравнение (3.106) записывается для г = 1, 2,. .., N N — суммарное число незапрещенных узловых степеней свободы в рассматриваемом теле), и таким образом формируется разрешающая система алгебраических уравнений. Полученная матрица коэффициентов системы носит название глобальной матрицы жесткости, или матрицы жесткости конструкции (МЖК). [c.105]

МЖК называется поэлементным. Рассылку коэффициентов матриц жесткости элементов и векторов приведенных нагрузок согласно глобальной нумерации следует рассматривать как формирование уравнений равновесия узлов, принадлежащих рассматриваемому элементу. [c.106]

При стыковке отдельных элементов с учетом однородных геометрических граничных условий формируются глобальная матрица жесткости и матрица приведенных начальных напряжений конструкции. При этом используются стандартные процедуры метода конечных элементов. Полученная система линейных уравнений, однородная относительно обобщенных перемещений для п-й гармоники разложения, представляет задачу на собственные значения. Для этой задачи ищется наименьшее по модулю собственное значение Ап. Критическое значение параметра нагружения Л определяется как наименьшее из всех Л , т. е. Л =min A . Соб- [c.147]

Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или со ) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений [см. (4.135)1, а следовательно, и коэффициенты матрицы жесткости [см. (4.136)1 будут иметь нелинейную зависимость от Л (или со ). В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по параметру собственного значения (см. 3.6)- и выделить для элемента матрицу, аналогичную матрице приведенных начальных напряжений (или матрице приведенных масс). В случае необходимости стыковки отдельных элементов в глобальной системе координат преобразования матриц и векторов выполняются в соответствии с зависимостями (4.103), (4.109), которые были приведены в предыдущем параграфе. [c.159]

После сложения энергии всех трещинных элементов с энергией элементов, моделирующих оставшуюся часть конструкции, получаем глобальную энергию, которая становится функцией глобальных перемещений узлов и одновременно коэффициентов интенсивности напряжений каждого из трещинных элементов. Алгебраические уравнения, описывающие как узловые перемещения, так и коэффициенты К всех сингулярных элементов, получают непосредственно из условия минимума глобальной энергии. С другой стороны, существует возможность исключить те коэффициенты интенсивности напряжений, которые являются общими для элементов, окружающих данный отрезок фронта трещины, и сформировать матрицу жесткости суперэлемента [16,17]. Полученный суперэлемент можно использовать в стандартных конечно-элементных программах обычным способом. [c.193]

После формирования глобальной матрицы жесткости [/<"] и вектора нагрузки [Р теми же способами, что и в случае плоской задачи термоупругости (см. 6.2), решаем матричное уравнение (6.40), а затем по найденным узловым значениям перемещений вычисляем деформации в каждом элементе с узлами I, т, п [c.243]

В процессе решения задачи исходная система линейных уравнений рассматривалась с корректировкой глобальной матрицы жесткости. Количество [c.235]

К несомненным достоинствам метода следует отнести, во-первых, простую дискретизацию получаемых уравнений при численном, асимптотическом и т.д. (приближенном) решении, а во-вторых, возможность представления интересных с точки зрения приложений физических величин через искомое решение интегрального уравнения. Действительно, практика решения прикладных задач показывает, что при использовании метода всегда оказывается так, что как глобальные, скажем жесткость упругой системы, так и локальные величины, нанример, коэффициент интенсивности напряжений, непосредственно выражаются через искомое решение уравнения Фредгольма. [c.116]

Глобальная матрица жесткости [/С] и глобальный вектор-столбец Р в матричном уравнении [c.86]

В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов [УУН] при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод прямой жесткости . Применение этого метода исключает необходимость хранения больших матриц элементов, содержащих всего несколько отличных от нуля коэффициентов. Процедура кодирования, которая описывается ниже, представлена в работе [4]. [c.106]

Все программы, реализующие метод конечных элементов, должны содержать предварительную информацию о числе уравнений, числе элементов и ширине полосы матрицы. Сведения о числе уравнений необходимы для того, чтобы в исходном состоянии глобальную матрицу жесткости и глобальный вектор нагрузки можно было заполнить нулями (предварительная чистка матриц), поскольку в процессе счета эти матрицы составляются путем суммирования. [c.116]

Применяя полученные формулы к глобальным уравнениям в виде тройного произведения [Г,]" [к] [Г,], получаем редуцированную матрицу жесткости, относящуюся только к А, , а также редуцированный вектор сил [c.95]

Альтернативным к описанному выше подходу, основанному на методе обобщенной потенциальной энергии, является подход [6.9, 6.101, в котором основные матрицы жесткости элементов [ко] определяются численно и суммируются, образуя глобальную матрицу жесткости без какой-либо корректировки соотношений, отражающих разрывность перемещений для отдельных элементов. Далее в виде ограничений выписываются соотношения, отражающие выполнение в среднем условий межэлементной непрерывности, и эти ограничения при помощи метода множителей Лагранжа добавляются к глобальным уравнениям. Так как этот подход правильнее отнести к процедуре анализа конструкции в целом, возвратимся к нему снова в гл. 7. [c.186]

Существует много различающихся деталями вариантов построения глобальной системы уравнений жесткости. Рассматриваемые в данной главе подходы — это прямые методы жесткости и методы конгруэнтных преобразований. Изложив эти методы, в разд. 3.4 задержимся для того, чтобы сделать обзор преимуществ (и некоторых ограничений) метода конечных элементов как общей процедуры расчета конструкций. В разд. 3.5 перейдем к изучению специальных операций над глобальными уравнениями, при этом часть операций необходима, а часть полезна. Сюда входят разбиение на подконструкции, наложение ограничений и использование координат узлов. [c.70]

Уравнения связи — это соотношения между степенями свободы, задаваемые дополнительно к основным уравнениям жесткости. Простое задание условий закрепления, т. е. А =0, приводит к ограничениям, но, как было видно, его легко учесть непосредственно после построения глобальной матрицы жесткости. Целям настоящих рассмотрений более соответствует показанный на рис. 3.10 случай изгибаемого элемента, соединенного с твердым телом. Ясно, что на смещение узлов 1—5 наложены связи, препятствующие установлению линейного закона для смещения ш, которое диктуется угловым смещением нормали к срединной поверхности оболочечного элемента. Связи возникают и во многих других случаях, включая обсуждаемую в следующем разделе схему метода редуцированных подконструкций, некоторые подходы к расчету не- [c.93]

Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткост элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента изображенного на рис. 5.3 и 5.4. Элемент имеет постоянную тол щину 1, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения эле мент расположен так, чтобы одна из его сторон лежала на оси л Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, та как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состоя нне (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткост приводят к приближенным решениям дифференциальных уравне ний, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изу чаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областя практических приложений. [c.134]

НИИ ничто не препятствует, поэтому предположение, что 6 =0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают 8г=сопз1 (случай обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы построить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10 3), связывающие напряжения с деформациями, полагая Ухх=Уцх=0 и Бг=соп51. Деформации Ех, Ву и Уху выражаются через предполагаемые поля перемещений ы и и обычным образом. Результирующие глобальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин ы и и и одной константы е . [c.328]

Программный комплекс EUFEMI состоит из восьми основных блоков 1) ввода исходных данных 2) обработки входной информации (геометрия области, свойства материала и т. д.) 3) перенумерации узлов 4) формирования глобальной матрицы жесткости и вектора нагрузки 5, 6, 7) решения системы алгебраических уравнений, подготовки результатов к печати 8) вывода результатов. [c.53]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Глобальная матрица жесткости делится на квадратные или прямоугольные блоки, каждый из которых запоминается отдельно на устройстве внешней памяти с прямым доступом. Очень эффективный фронтальный метод решения систем линейных алгебраических уравнений используется в комплексе FEMLIB-80. [c.59]

Вычисление глобальной матрицы жесткости [X] осуществляется в два этапа. Вначале вычисляются матрицы жесткости каждого конечного элемента. Затем матрицы элементов [X ] объединяются путем суммирования коэффициентов Kf. с совпадающими индексами. Этот способ отличается от вывода уравнения (1.2) только алгоритмически. [c.25]

Подобное соотношение получают для каждого элемента, на которые разбита конструкция. После приравнивания узловых перемещений и суммирования уповых сил соседних элементов можно построить глобальную матрицу жесткости и вектор узловых сил всей системы. Для узлов, совпадающих с фанич-ным KoinypoM, удовлетворяются краевые условия. Полученная система уравнений однозначно определяет перемещения в ухтах, которые, в свою очередь, позволяют провести расчет напряженного состояния. [c.178]

В совокупности эти соотношения удовлетворяют всей необходимый в иеханике оболочек уравнениям и поэтому функционал (2.2) можно использовать. Главным достоинством такой постановкш явлнется то, что большинство неизвестных функций определяется локально для каждого элемента, а глобальными неизвестными являются только граничные перемещения. Это очень удобно при сборке элементов и составлении глобальной матрицы жесткости. [c.217]

Итак, при построении алгоритми складчатой системы необходимо выделить особые узлы, трансформировать по типу (5) матрицы жесткости элементо.в, примыкающих к этим узлам. Последующая процедура обычна с учетом лишь того обстоятельства, что особым узлам будут соответствовать по три уравнения, и вследствие этого элементам, содержащим такие узлы, будут отвечать части глобальной М атр(ицы жесткости системы с 1несколько увеличенной шириной ленты. После решения системы уравнений задачи необходимо перейти от компонент смещений особых узлов по осям Xi к их компонентам по X/, связанным с каждой ячейкой, примыкающей к линии контакта пласвинок. Тогда при вычислении напряжений можно пользоваться матрицами напряжений для плоской области. [c.50]

После обработки всех элементов и установления связей векторов реакций с перемещениями (t = K q —Р , где — вектор-столбец реакций К — мартица жесткости q — вектор-столбец узловых обобщенных перемещений Р — вектор-столбец приведенных узловых сил е —номер конечного элемента) можно приступить к составлению уравнений равновесия узлов конструкции. В каждом узле сумма вкладов реакций от отдельных элементов, окружающих узел, должна равняться нулю. Причем должна равняться нулю любая составляющая обобщенных суммарных реакций, направление которой соответствует направлению обобщенного перемещения. Для обобщенного перемещения с номером ( (в глобальной нумерации) прирасняс , и лю ветствующую составляющую суммы реакций от окружающих данный узел элементов [c.283]

Существование симметрии в матрице ленточного типа позволя ет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на фиг. 7.2, в прямо угольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений. Чтобы проиллюстрнро вать преимущество такого представления матрицы, допустим, что мы решаем задачу, которая включает 200 узловых неизвестных. Обычно при этом получается глобальная матрица жесткости, для хранения которой требуется 200X200, т. е. 40 000 единиц машинной памяти. Однако, если эта ленточная матрица имеет ширину полосы, равную 40, и хранится в виде прямоугольного массива, требуется уже только 8000 единиц машинной памяти для запо минания 40 столбцов по 200 элементов в каждом. Таким образом, загрузка машинной памяти сокращается на 20% по сравнению с загрузкой, требуемой при хранении квадратной матрицы. [c.110]

Цель указанных рассмотрений состоит в обеспечении читателя достаточными средствами для построения глобальных уравнений на основе соотношений для элементов, устанавливаемых в последующих главах, а не в тщательном обзоре возможных средств построения уравнений в методе конечных элементов. Жесткостные представления выбраны для описания потому, что, с точки зрения автора, это наиболее простые и эффективные из известных представлений. Кроме того, необходимо добавить, что использование жест-костных представлений налагает мало ограничений (или вообще не вносит ограничений) на характер задания конкретных уравнений для конечного элемента. Это объясняется тем, что, как показано в разд. 2.6, если уравнения выведены в одной форме (например, в форме уравнений податливости), то их можно преобразовать к другому виду (в данном примере возможно преобразование в уравнени>1 жесткости). [c.69]

Построенне глобальной матрицы жесткости. Суммируя полученные уравнения, имеем [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...