Решение двумерных задач методом конечных элементов

Решение двумерных задач методом конечных элементов [c.96]

Четвертая глава посвящена важнейшему вариационно-разностному методу решения краевых задач — методу конечных элементов. Изложена основная идея метода и особенности его программной реализации на примере решения двумерного стационарного уравнения теплопроводности в области сложной формы. Материал данной главы не связан с последующей. [c.5]

Первый этап численного решения задачи методом конечных элементов включает выбор вида элементов и способа расположения в них узловых точек, разбиение области на элементы и размещение узлов, а также определение функций формы. Отметим, что эти функции существенным образом зависят от вида используемых элементов и способа расположения узлов. При решении двумерных задач [c.132]

Теория термоупругости и аналитические методы решения задач термоупругости достаточно подробно разработаны [5, 18, 34, 35]. Однако для реальных элементов теплонапряженных конструкций сложной формы, выполненных из разнородных материалов с зависящими от температуры механическими характеристиками, редко удается воспользоваться аналитическими методами для определения параметров напряженно-деформированного состояния, необходимых для последующего суждения о работоспособности конструкции. В таких случаях более гибкими и универсальными являются численные методы, в частности, построенные на интегральной формулировке задачи методы конечных элементов (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ), которые кратко рассмотрены в этой главе применительно к решению плоской, двумерной осесимметричной и пространственной задачи термоупругости. Помимо самостоятельного значения, связанного с анализом работоспособности теплонапряженных конструкций, материал которых вплоть до разрушения работает в упругой области, численные методы решения задач термоупругости также используются при анализе неупругого поведения конструкций, когда он проводится последовательными приближениями или последовательными этапами нагружения и на каждом приближении или этапе решается соответствующая задача термоупругости. [c.219]

Рассмотрим теперь решение задачи, поставленной в 28, без использования допущения об однородности напряженного и деформированного состояний по высоте цилиндра и гипотезы плоских сечений, т. е. рассматривая задачу как двумерную [72, 111]. Для решения ее применим метод конечных элементов в форме метода перемещений. Так же, как и в 27, примем условие прилипания , т. е. предположим, что в точках этой поверхности скорость радиального перемещения равна нулю (скорость окружного перемещения равна нулю по условию осевой симметрии задачи). Тогда кинематические граничные условия при расположении начала координат на оси цилиндра на половине высоты его при г = О = О, при z = h Vz — —v 2, = 0. [c.112]

Коробейников С. Н. Решение двумерных геометрически и физически нелинейных задач методом конечных элементов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности Материалы 10-й Всесоюз. конф. Новосибирск Ин-т теор. и прикл. механики СО АН СССР, 1988. С. 134-140. [c.248]

Существенным достоинством МКЭ является возможность составления программ численного расчета полей в областях сложной геометрической конфигурации, которые проще по логической структуре и по заданию исходных данных, чем программы, реализующие метод конечных разностей для таких областей. В данном подразделе рассмотрим в качестве примера структуру программы для решения двумерной задачи (4.1), (4.2) в областях произвольной формы при треугольных элементах разбиения. [c.147]

Часто перед инженером ставят задачу определить коэффициент интенсивности напряжений для трещин в конструкции сложного очертания после ее разрушения или при проектировании изделий с гарантированной безопасностью. Коэффициент интенсивности напряжений в такого рода сложных задачах обычно определяется нз уже имеющихся решений для идеализированных конструкций путем перехода от сложных задач к более простым на основе ряда дополнительных предположений, вытекающих из соображений здравого смысла. Если такого рода переход от сложного к простому нельзя осуществить с полной уверенностью в его допустимости, то для определения коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины можно использовать численные методы, например метод конечных элементов (что и составляет основное содержание данной книги). Однако иногда сложные задачи о трещинах в областях с высокой концентрацией напряжений можно свести к двумерным, что позволяет, не прибегая к громоздкому аппарату численных методов, найти готовые аналитические или численные решения в уже опубликованных книгах [40—42]. Ниже будет рассмотрена одна из таких простых методик определения коэффициента интенсивности напряжений для прямолинейных трещин в областях с высокой концентрацией напряжений. [c.31]

В работе [194] для решения двумерной задачи прессования полосы через плоскую матрицу в условиях плоской деформации на основе степенной зависимости скорости деформации от напряжения использован метод конечных элементов, а в статье [148] эта задача решена методами верхней и нижней оценки. [c.146]

Вернемся теперь к обсуждению других численных методов решения двумерных упругопластических задач. Для решения таких задач широкое распространение получили методы, в которых разностные уравнения строились на регулярной лагранжевой сетке. В [14, 15] достаточно подробно изложены два близких метода. В обзорной работе [19] отмечается, что работа Уилкинса [15] была одной из первых работ такого типа. Здесь же обсуждаются достоинства и недостатки характеристических разностных методов, методов частиц и больших частиц и методов конечных элементов. [c.261]

Если функция удовлетворяет условию совместности, то напряжения автоматически определяются из уравнений (32), если выполняются одновременно и граничные условия. Последние являются как раз тем ограничением числа аналитических решений для напряжений в телах сложной формы. Однако для двумерного случая эти задачи довольно просто решаются численными методами конечных элементов или при помощи уравнений в конечных разностях. Для решений задач упругого поведения реальных тел и конструкций широко используются компьютеры (см. гл. П1, разделы 16 и 17). [c.30]

Для иллюстрации различий между этими двумя типами вычислительных приемов сопоставим методы граничных элементов с методами конечных элементов. Для простоты представим R двумерной плоской областью, ограниченной контуром С (рис. 1.1). Метод конечных элементов требует, чтобы вся область R была разбита, как показано на рис. 1.1 (а), на сетку элементов. При этом цель состоит в отыскании решения задачи в узлах сетки, решение же между узлами выражается в простой приближенной форме через значения в узлах. Связывая эти приближенные выражения с исходными дифференциальными уравнениями в частных производных, в конечном счете приходим к системе линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестные параметры— узловые значения в R — выражаются через известные величины в узлах сетки, находящихся на границе области. Эта система уравнений большая, но разряженная, т. е. хотя она и содержит [c.10]

При решении методом конечных элементов практических задач, связанных с достаточно сложной областью, важное значение имеет автоматизация подготовки входной информации. В работе [40] используется следующий метод. Заданная двумерная область разбивается вручную на крупные четырехугольные зоны, ограниченные прямыми линиями или отрезками парабол. Для каждой зоны задаются кратности разбиения по двум направлениям. Используя эти кратности, автоматически получаем разбиение зон на четырехугольные элементы, которые затем также автоматически делятся на треугольные. Стороны зон могут делиться равномерно или с заданной неравномерностью. [c.199]

Решения двумерных задач теории упругости были первыми удачными примерами применения метода конечных элементов [1, 2]. В гл. 2, где были получены основные соотношения метода, такие задачи уже рассматривались для иллюстрации его основ. Эти основные соотношения [(2.1) — [c.60]

Метод конечных элементов применяется и для решения трехмерных задач. Такие задачи охватывают почти все практические случаи, хотя иногда предположение о том, что напряженное или деформированное состояние двумерно, дает вполне приемлемую и более экономичную модель . [c.104]

Типичный пример дают двумерная и трехмерная задачи упругости. В каждой точке неизвестны перемещения по координатным направлениям, а решение Ф метода конечных элементов— вновь пробная функция, ближайшая к исходному решению в смысле энергии деформации, представляющей собой квадратичную функцию, содержащую все неизвестные. С помощью [c.151]

Математической основой, иа которой построен вычислительный аппарат этого программного продукта, является метод конечных элементов. Поэтому в первой части книги детально, с примерами, изложен метод конечных элементов. В определенном смысле эта часть имеет самостоятельное значение. Во второй части дано последовательное изложение действий пользователя прн решении задач сопротивления материалов и строительной механики, а также одномерных и двумерных задач теории упругости для тел произвольного очертания и схем нагружения. В третьей части дано описание основных команд, задание которых необходимо прн вводе-выводе данных и результатов счета. Приведенный материал далеко не исчерпывает все возможности программного комплекса, одиако авторы рассчитывают в дальнейшем на продолжение своей работы с целью расширения круга решаемых задач. [c.8]

Альтернативой методу конечных элементов для получения приближенных решений уравнения Пуассона является конечно-разностный метод, в котором производные аппроксимируются конечными разностями. В этом случае исследуемая область разбивается на большое число двумерных прямоугольных ячеек. Электростатический потенциал в изучаемом приборе вычисляется в точках пересечения границ прямоугольных ячеек, называемых узловыми точками (рис. 16.3). Необходимая для расчетов плотность узлов в любой области непосредственно связана с градиентом потенциала в данной области. Недостатком конечно-разностного метода является то, что все узлы в системе должны располагаться в углах смежных ячеек. Из-за этого ограничения приходится увеличивать плотность узлов в областях, не представляющих большого интереса, только потому, что эти области оказались по горизонтали (либо по вертикали) в одном ряду с областями, в которых существенно изменяется потенциал. Так как процессорное время, необходимое для получения решения, зависит от числа узлов, то желательно иметь такую систему дискретизации, в которой можно было бы изменять плотность узлов в разных областях прибора в зависимости от градиента потенциала и которая, в то же время, не зависела бы от взаимного расположения узлов. Именно метод конечных элементов позволяет непрерывно и независимо изменять плотность ячеек, что приводит к уменьшению числа узлов, требуемого для решения данной задачи [16.16]. [c.467]

Hhk" "kqb ГЛ1.,Чердыш ТД,- Капву А.Бj Автоматическая подготовка исходных данных для решения двумерных задач методом конечных элементов. - Государственный фоцд алгоритмов и программ, [c.118]

При решении двумерных плоских задач методом конечных элементов прежде всего необходимо рассматриваемую область (рис. 3.1) разбить на конечные элементы. Вершины элементов носят названия узлов. Выберем на рис. 3.1 для рассмотрения какой-либо элeJ Ieнт (pи . 3.2). На этот элемент действуют внешние силы и Yv, под действием которых происходит деформация элемента, рассматриваемого как упругое тело. В данном случае можно соответствующим образом установить узлы конечных элементов и определить усилия, действующие в узлах, полагая, что внешние силы, действующие на элементы, передаются лишь через узлы. Форма элементов, на которые разбивают тело, может быть самой разнообразной. Часто используют элементы треугольной формы, три вершины которых выбираются в качестве узлов (рис. 3.3). [c.52]

До сих пор рассматривались только двумерные и трехмерные задачи. Для одномерных задач метод конечных элементов не-применялся, поскольку для них, как правило, можно получить точное решение. Однако во многих встречающихся на практике случаях Ь10гут по- требоваться и такие элементы, поэтому желательно рассмотреть их с тех же позиций, что и остальные. При решении задач упругости одномерными элементами можно аппроксимировать армирующие волокна (в двумерных и трехмерных задачах) или тонкие листовые обшнвки в осесимметричных и трехмерных телах. При исследовании задач теории поля, типа рассматриваемых в гл. 15, они могут аппроксимировать дренаж в пористой среде меньшей проводимости. [c.134]

Предложен и реализован в составе САПР подход к определению установившихся электромагнитных процессов, использующий метод конечных элементов для расчета распределения магнитного поля в поперечном сечении машин. Кроме того, разработаны цифровые модели явнополюсных машин классической конструкции, с гребенчатым ротором, неявнополюсных синхронных машин, индукторных машин с пульсирующим и постоянным потоком, машин с внешне- и внутризамк-нутым потоком и др. на основе инженерных методов расчета. Созданы проблемно-ориентированные пакеты программ Модель и Поле , включающие программы, соответствующие названным математическим моделям электрических машин, программные модули аналитической аппроксимации одно- и двумерных функций, набор программных средств численного решения нелинейных задач и графического отображения распределения магнитного поля. [c.287]

Метод конечных элементов применяется не только при решении двумерных задач прикладной теории упругости (пластины, оболочки и конструкции, составленные из пластинчатых и оболочечных элементов), но и объемных (трехмерных) задач теории упругости. Для лучшей аппроксима-цпи сложной формы копструкцип применяются наряду с прямоугольными конечными элементами также конечные элементы других форм. Этот метод может применяться не только в форме метода перемещений, когда за неизвестные принимаются узловые перемещения и определяются они из уравнений равновесия, но и в форме метода сил, когда за неизвестные принимаются узловые внутренние усилия а определяются они из условия совместности перемещений в узловых точках. [c.228]

Метод конечных элементов получил значительное раз витие с 1950-х годов, когда появились большие ЭВМ. В на-стояшее время этот метод находит широкое применение при решении различных технических задач, к которым можно отнести задачи сопротивления материалов, гидромеханики, теплотехники, электротехники и др. При рассмотрении конечных элементов используются различные методы метод перемещений, метод напряжений, комбинированный метод и т. д. При исследовании механизма поведения композитов методом конечных элементов обычно ограничиваются анализом двумерной задачи. Ниже будет рассмотрена двумерная задача методом перемещений. Для более детального ознакомления с методом конечных элементов следует обращаться к специальной литературе [3.1, 3.2]. [c.51]

Алгоритмы решения системы линейных уравнений не являются предметом исследования в методе конечных элементов, этому вопросу посвящена обширная специальная литература. Здесь мы хотим коснуться проблем хранения и решения систем уравнений в связи с тем, что этот этап решения задачи оказывает исключительное влияние на эффективность вычислений. Например, типичная двумерная задача приводит к матрице А=1000 с шириной ленты Я=100. Если проводить решение системы уравнений такого порядка методом Гаусса без учета симметрии и ленточности матрицы, а затем учесть эти факторы, то во втором случае для хранения матрицы требуется объем памяти в 10 раз меньший, чем в первом случае, и примерно в 100 раз меньше времени ЭВМ. [c.57]

Для определения значений / по большой группе однотипных корпусов найдены основные характеристики трещин (см. 2.5). Максимальные значения /С и У определены двумя способами. В первом случае осуществлен численный эксперимент, в котором решались осесимметричные двумерные задачи упругости для корпуса, содержащего трещину. Решения получены методом конечных элементов. Результаты вычислений показали, что для всех характерных режимов термомеханического нагружения только компонента Ki существенна. Во втором случае коэффициенты интенсивности напряжений найдены по методике определения К в телах с дву- и трехмерными трещинами (см. гл. 3). Результаты, полученные двумя способами, отличались менее чем на 10 %. При этом для корпусов стопорных клапанов турбин К-200-130 ЛМЗ, изготовленных из стали 15Х1М1ФЛ, получено, что / находится на уровне 95 МПа м. [c.134]

Будучи по своей природе вариационным, метод конечных элементов хорошо приспособлен для решения двумерных и трехмерных задач прикладной механики со сложными граничными условиями. В СССР благодаря работам А. Ф. Смирнова, А. Р. Ржа-ницына, А. П. Филина, Л. А. Розина, А. В. Александрова, Б. Я. Лащеникова, Н. Н. Шапошникова, В. А. Постнова, В. Г. Корнеева и ряда других авторов этот метод получил четкое математическое обоснование и стал признанным инструментом в расчетах сооружений, в том числе таких элементов транспортных сооружений, как плиты, балки-стенки, оболочки, многослойная проезжая часть или грунтовые массивы, взаимодействующие с конструкциями. [c.3]

Как известно, для двумерных областей в настоящее время имеется ряд алгоритмов автоматического расчета сеток при сложных формах границ областей [1 7]. В основе этих алгоритмов лежат различные подходы, в частности, подходы, основанные на те-ории конформных или квазиконформных отображений [1, 2, 7], использующие те или иные геометрические конструкции [5], подходы, позволяющие строить сетки со специ-альными свойствами, например, близкие к равномерным, ортогональным [3, 4]. В то же время алгоритмы автоматического построения трехмерных сеток для широких классов областей (для каждой конкретной области обычно можно придумать индивидуальный способ построения сетки) развиты очень слабо, несмотря на то, что решение слож-ных трехмерных задач математической физики разностными методами или методом конечных элементов стоит в повестке дня. [c.499]

Было проведено детальное исследование с целью сравнить возможности моделирования задач о трещинах в программе PESTIE и в ориентированной на пользователя программе, реализующей метод КЭ для двумерных задач и использующей элементы, в пределах которых деформация постоянна. Было выбрано пять характерных контрольных примеров различной степени сложности, в которых рассматривались внутренние и поверхностные трещины при однородном нагружении, изгибе и действии сосредоточенных сил. Разбиения области на конечные элементы выполнялись таким образом, чтобы число и расположение граничных узлов было примерно то же, что и в выбранных схемах разбиения границы при решении методом ГИУ. Коэффициент Ki вычислялся по значению G, при этом смещения Аа узловых точек, расположенных на линии трещины, [c.144]

Пока достаточно отметить, что метод конечных элементов особенно хорош при решении задач со сложными жесткостными свойствами материала. Из дальнейшего будет видно, что матрица [Е (или обратная к ней матрица) легко обрабатывается в алгоритмах численного интегрирования. Ограничения, накладываемые на сложность и представления жесткостных характеристик материала, часто диктуются практикой для большинства практических за ач трудно располагать большей информацией о механических характеристиках материала, чем полученной в результате эксперимента информацией о зависимости напряжений от деформаций для орто-тропного материала в двумерном случае. Исключение составляют слоистые пластины с ортотропными слоями (механические характеристики слоев можно определить экспериментально, а затем вычислить характеристики всей слоистой пластины) и композитные материалы (например, стекло-волокнистые композиты). Благодаря особой роли композитов как ортотропных материалов, прихменяе-мых на практике, публикации, касающиеся их разработки и использования, представляют отличный источник информации для детального построения вполне общих соотношений, задающих жест-костное поведение материала (см. [4.81). [c.118]

С помощью обычного метода конечных элементов можно решать любые двумерные и трехмерные (или даже четьтрехмер-ные) задачи ). Однако добавление каждого нового измерения увеличивает необходимое для расчета время, и иногда решение задачи выходит за рамки возможностей машины. Поэтому желательно искать пути сокращения объема вычислений. Ниже будет рассмотрен один класс таких методов, имеющих широкое применение. [c.274]

Если размеры области контакта сравнимы с характерными размерами одного или обоих тел, коэффициенты влияния, вычисленные на основе интерпретации тел как полупространств, неприемлемы. Бенталл и Джонсон [32] определили коэффициенты влияния для тонких слоев и полос, однако, вообще говоря, для решения контактных задач необходимо использовать другие подходы. Метод конечных элементов применительно к контактным задачам с учетом эффектов трения успешно использовался Фредрикссоном [115]. Более перспективным является метод граничных элементов, примененный для решения двумерных контактных задач Андерссоном и др. [10]. [c.175]

Особое внимание уделено смешанным вариационным формулировкам двух типов. Первая соответствует смешанному вариационному принципу Рейссиера, вторая — задачам на экстремум полной потенциальной энергии системы при наличии дополнительных условий в виде дифференциальных уравнений связи между перемещениями и их производными. Для одномерных задач предлагается вариационно-матричный способ вывода канонических систем разрешающих дифференциальных уравнений. Для двумерных задач рассматриваются вопросы реализации решений с использованием проекционных методов типа Рэлея—Ритца и конечных элементов с учетом специфики смешанной вариационной формулировки. [c.5]

Целью этой книги является обсуждение тех аспектов метода ко нечиых элементов, которые связаны с решением задач механики сплошных сред, в частности задач переноса тепла, гидромеханики, двумерных и трехмерных яадач теории упругости. Наряду с ошовами теории рассматривается реализация метода на ЭВМ, так как конечной целью является получение численного решения физических задач. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...