Аналитическое решение нестационарных задач теплопроводности

Аналитическое решение нестационарных задач теплопроводности [c.118]

В [130] проведен анализ, основанный на решении нестационарной задачи теплопроводности в ячейке (рис. 4.6 и 4.7) при определенных граничных условиях, и предложены следующие аналитические зависимости, аппроксимирующие полученные результаты для тетрагональной структуры [c.172]

В виде рядов выписывается решение в случае произвольно заданного распределения температур при т О для тел простейшей формы и одномерных задач (см. разд. 4.2). Однако и в этом случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались и численные методы решения нестационарных задач теплопроводности, причем с появлением электронных счетных машин эти методы приобрели решающую роль в проведении точных инженерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитных покрытий, камер сгорания и сопел ЖРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной формы. [c.91]

Итак, уравнение (2.54) и граничное условие (2.58) составляют содержание задачи о нестационарной теплопроводности твердого тела. Аналитическое решение этой задачи приводится в гл. 4. Здесь мы только рассмотрим способ составления комплексов и формы, в какой следует представить решение, с тем чтобы оно имело обобщенный характер. [c.31]

В связи с повышенными требованиями к теплотехническим расчетам вопрос о решении нелинейного уравнения теплопроводности становится исключительно важным. Этот вопрос приобретает решающее значение для тепловых устройств и установок, работающих в не- стационарном тепловом режиме. Аналитическое решение таких задач, как уже отмечалось, представляется сложным. Применение расчетных методов требует большой затраты времени. Принципиальная возможность решения нелинейного уравнения нестационарной теплопроводности на специализированных электрических моделях из сопротивлений, емкостей и индуктивностей была изложена в гл. 7 и 8. Решение нелинейных задач тепло-переноса может оказаться более перспективным и результативным, если будут найдены пути практической реализации нелинейности в электрических моделях с сосредоточенными параметрами. Практическая реализация нелинейности сводится к обеспечению переменности сосредоточенных параметров модели и может быть осуществлена двумя различными методами. [c.328]

Данная книга ни в коей мере не заменяет и не дублирует существующий справочник по теплотехнике и теплопередаче, так как, во-первых, методически она построена по иному принципу и, во-вторых, в основном рассматривает взаимосвязанные процессы тепломассопереноса и математическую теорию переноса, которая в одинаковой мере применима к переносу как тепла, так и массы вещества. Вследствие этого вопросы передачи тепла излучением, задачи чистого теплообмена и ряд других разделов теплопередачи в книге не рассматриваются. Большое внимание уделяется аналитической теории переноса тепла и массы, в частности нестационарным задачам теплопроводности (разд. 2), где путем введения обобщенных функций удалось одновременно описать одномерные температурные поля в телах классической формы, по-новому, в более простом виде, описать распространение температурных волн, дать обобщение регулярным режимам теплового нагрева тел и ряд других обобщений. На основе дальнейшего развития аналитической теории теплопроводности приведены последние работы по решениям системы дифференциальных урав- [c.4]

Точные аналитические решения краевых задач нестационарной теплопроводности. Решения первого класса. В случае трехмерной линеаризованной задачи нестационарной теплопроводности, в которой [c.73]

Рассмотрим точное аналитическое решение трехмерной задачи нестационарной теплопроводности для тела, состоящего из нескольких материалов с различными теплофизическими свойствами. [c.78]

Таким образом, получено точное аналитическое решение трехмерной задачи нестационарной теплопроводности при плоской границе раздела различных материалов тела. [c.79]

Запишем точное аналитическое решение трехмерной задачи нестационарной теплопроводности при краевых модифицированных условиях III рода. [c.79]

Для решения одно-, двух- и трехмерных задач нестационарной теплопроводности при заданных граничных условиях I—IV рода применяли измерительную схему интегратора ЭГДА-6/53 [9] с дополнительно изготовленными делителями напряжения на 100 и 200 точек-Результаты сравнения аналитических решений ряда задач нестационарной теплопроводности с решениями, полученными электрическим моделированием на 1 -сетках, приведены нами [3, 4] и показывают. [c.405]

Поэтому данная книга ни в коей мере не заменяет и не дублирует существующий справочник по теплотехнике и теплопередаче, так как, во-первых, методически она построена по иному принципу и, во-вторых, в основном рассматривает взаимосвязанные процессы тепломассопереноса и математическую теорию переноса, которая в одинаковой мере применима к переносу как тепла, так и массы вещества. Вследствие этого вопросы передачи тепла излучением, задачи чистого теплообмена и ряд других разделов теплопередачи в книге не рассматриваются. Большое внимание уделяется аналитической теории переноса тепла и массы, в частности нестационарным задачам теплопроводности (разд. 2), где путем введения обобщенных функций удалось одновременно описать одномерные температурные поля в телах классической формы, по-новому, в более простом виде, описать распространение температурных волн, дать обобщение регулярным режимам теплового нагрева тел и ряд других обобщений. На основе дальнейшего развития аналитической теории теплопроводности приведены последние работы по решениям системы дифференциальных уравнений тепломассопереноса (разд. 6), подробно рассмотрены гиперболические уравнения диффузии тепла и массы с учетом конечной скорости распространения. Установлена связь этого нового направления в описании явлений тепломассопереноса с работами американской школы по диффузии массы в пористых средах. [c.4]

Достоинство метода конечных разностей заключается в его простоте и чрезвычайной универсальности. Этим методом можно решать всевозможные задачи, связанные с нестационарным тепловым потоком. В расчете можно принимать любые изменения температуры внутреннего и наружного воздуха во времени, а также изменения величин а и а, а также коэффициентов теплопроводности во времени, что совершенно невозможно при аналитическом решении дифференциальных уравнений теплопроводности. [c.109]

Нестационарное уравнение теплопроводности для тел сложной формы не всегда возможно решить аналитически даже в случае одномерного поля. В тех случаях, когда задачу нельзя решить аналитически, применяют численные или графические методы и метод аналогии ( 3.4), которые дают приближенные решения. [c.83]

Во второй части приведены основные способы переноса теплоты теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. Теплопроводность стационарная и нестационарная исследованы аналитически, методом аналогий и численно на ЭВМ. Конвективный теплообмен стационарный исследован методом теории пограничного слоя и экспериментально, а нестационарный — путем решения сопряженной задачи на ЭВМ. Рассмотрены различные методы расчета процессов аналитический, полуэмпирический, эмпирический и численный на ЭВМ. Описан теплообмен при кипении и конденсации. Рассмотрены примеры расчета теплообменных аппаратов. [c.4]

Рассмотрим аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности на примере охлаждения (нагревания) неограниченной стенки (пластины) при граничных условиях третьего рода (рис. 14.2). В начальный момент времени (т == 0) температура в пластине распределена равномерно и равна t . Заданная температура окружающей среды < /д, теплообмен на обеих сторонах пластины происходит при постоянном заданном коэффициенте а. Известны также постоянные физические параметры пластины с и р. Полагаем, что размеры пластины вдоль осей Оу и Ог настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. [c.178]

Аналитическое решение процессов нестационарной теплопроводности весьма сложно, так как дает общее решение задачи. Практически аналитически удается решить задачу только для твердого тела простейшей формы. [c.373]

Решить задачу нестационарной теплопроводности — это значит найти зависимости изменения температуры и количества переданного тепла во времени для любой точки тела. Такие зависимости могут быть получены путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (см. 2-2). Аналитическая теория ставит себе целью получение общего решения задачи. Такие решения получаются достаточно сложными даже для тел простой формы пластины, цилиндра и шара. Для ряда тепловых задач такие решения имеются в [Л. 19, 60 и др.]. [c.206]

Для аналитического определения температурного поля в стенке трубы при ее охлаждении водой необходимо решить уравнение нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода Наиболее часто при расчетном определении нестационарных температурных полей в телах применяется решение задачи теплопроводности в виде бесконечных рядов Фурье. При быстром изменении температуры металла и высоких тепловых потоках, как это имеет место в стенке трубы в цикле водной очистки, для получения необходимой точности решения уравнений теплопроводности приходится учитывать большое количество членов указанного ряда. Расчеты затруднены и тем, что в справочниках обычно приводится не более шести первых корней характеристического уравнения теплопроводности. [c.205]

С математической точки зрения задачи нестационарной теплопроводности и термопластичности относятся к классу краевых задач. Их аналитические решения получены лишь дня некоторых элементов конструкций (оболочек, пластин, стержней). При решении этих задач для элементов со сложной геометрией необходимо привлекать численные методы, ориентированные на использование ЭВМ. [c.15]

Для установления безразмерных величин, специфических для краевой задачи того или иного рода, нет необходимости в наличии завершенного аналитического решения достаточно располагать дифференциальными уравнениями процесса и формулировками конкретных условий единственности. Обратимся в связи с этим к основной цели — к построению тех безразмерных величин, которые отвечают случаю нестационарной теплопроводности при наличии внутренних источников тепла. С этой целью, прежде всего, необходимо привести к безразмерному виду дифференциальное уравнение (1-9), закладываемое в основу анализа. [c.47]

Приведена система точных аналитических решений трехмерных краевых задач нестационарной теплопроводности, упругости при сложных полях температур, характерных краевых условиях. Эти решения используют в качестве тестовых. Предложена система классификации краевых задач и система критериев для оценки погрешности численных решений с учетом геометрических параметров тела, надреза, общей и локальной неравномерности сетки, граничных условий. [c.18]

Постановка задачи. Обеспечение надежной работы программных комплексов для современных ЭВМ — одна из сложнейших научно-технических задач. Важной составной частью этой проблемы является разработка эффективных тестов. Актуальна также проблема влияния топологии сетки на точность результатов. Решение этой проблемы требует использования удобных для реализации, эффективных и точных решений. Число известных точных аналитических решений трехмерных краевых задач нестационарной теплопроводности и термоупругости невелико. При этом в большинстве случаев способ их представления (в рядах или в интегральной форме) вызывает затруднения при использовании в инженерной практике. Приведенные в параграфе формулы удобны для практического использования. С их помощью при заданных краевых условиях можно найти точное решение задачи при сложных законах изменения трехмерного поля температуры, моделирующего поля температур в роторах и корпусах турбин, в том числе в зонах конструкционной концентрации напряжений. [c.69]

Решения второго класса. Приведем точное аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности, получаемое с учетом зависимости теплофизических свойств тела от температуры. [c.75]

Многие развиваемые в настоящее время прогрессивные методы комплексного определения теплофизических характеристик материалов, базирующиеся на научной теории тепло- и массообмена, основаны на закономерностях нестационарного температурного поля. Разумеется, применение дифференциального уравнения теплопроводности с постоянными теплофизическими коэффициентами для раскрытия механизма тепло- и массообмена в материалах, подвергаемых термической обработке, в некоторых случаях может привести к значительным ошибкам. Исключительная трудность аналитического решения задач нестационарного тепло- и массообмена в телах с переменными теплофизическими коэффициентами известными классическими методами приводит к необходимости применения приближенных аналитических и графоаналитических методов. [c.183]

Таким образом, для аналитического исследования нестационарного термического режима контактов вакуумного выключателя в общем случае необходимо решить систему нелинейных уравнений теплопроводности со свободными членами и неоднородными краевыми условиями. В связи с математическими трудностями, возникающими при аналитическом решении задачи, был сделан ряд упрощений. Задача решалась в двух приближениях. [c.457]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для элементов конструкций сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известна и табулирована [42, 56] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобразований. При однородных граничных условиях и одинаковой во всех точках тела начальной температуре решение многомерной задачи для тел простой формы удается представить в виде произведения решений соответствующих одномерных задач [42, 55]. [c.203]

Точное аналитическое решение линейной или предварительно линеаризованной многомерной задачи нестационарной теплопроводности удается получить лишь для тел сравнительно простой геометрической формы, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной системе ортогональных координат. Для большинства таких тел известны и табулированы [25] система собственных функций и спектр собственных значений соответствующей однородной задачи. Поэтому для подобных тел удобно использовать достаточно универсальный метод конечных интегральных преобра- [c.160]

Но собственные функции и собственные значения можно найти приближенно для линейной задачи теплопроводности в теле любой формы и на их основе построить приближенное аналитическое решение. Рассмотрим путь построения такого решения для процесса нестационарной теплопроводности в неоднородном теле объемом V с зависящими от координат точки М V удельной объемной теплоемкостью с (М) и теплопроводностью X М). Пусть распределение температуры описывается уравнением [c.161]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Задание 6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ <РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ) [c.321]

Методы исследования внутреннего тепломассопереноса. Задачи исследования тепловой и холодильной обработки продуктов относятся к так называемым сопряженным задачам [24], когда необходимо учитывать взаимное влияние теплоносителя и продукта, иначе говоря, когда изменение температуры либо плотности теплового потока на поверхности раздела заранее неизвестно. Однако известные решения сопряженных задач даже для более простых случаев нестационарного теплообмена настолько сложны [24], что их нельзя рекомендовать для практических расчетов. Обычный путь аналитического этого исследования — это решение задачи теплопроводности либо до конца, но только для одного этапа обработки (выпечка хлеба — начальная фаза прогрева, холодильная обработка — замораживание охлажденного до криоскопиче-ской температуры продукта) [2, 10, 54, 36], либо до момента, когда из уравнений можно выделить безразмерные комплексы, характеризующие отдельные стороны процесса, с дальнейшим использованием методов теории подобия НО, 22]. [c.44]

Большинство задач нестационарной теплопроводности связаны с определением температурного поля тела и полного количества теплоты, отданной или полученной телом по истечении определенного промежутка времени. В других задачах требуется найти длительность процесса, по завершении которого температура тела примет определенное, наперед заданное значение. Решения этих задач могут быть получены аналитическим путем, т. е. путем решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.44) с учетом к]заевых условий. Заметим, что таким путем решаются сравнительно простые задачи. Для решения же более сложных задач применяются приближенные методы. [c.177]

Существующие экспериментальные методики и аналитические методы оценки теплового и напряженного состояний рабочих и сопловых лопаток газовых турбин основаны на рассмотрении, как правило, натурной лопатки или модели, геометрически ей подобной. Весьма сложная геометрическая форма лопатки не позволяет использовать методы точного аналитического решения задач нестационарной теплопроводности и термоупругости. Вследствие этого в настоящее время анализ термонапряженного состояния лопаток газовых турбин проводят на основании термометрирования их при весьма сложных, трудоемких и дорогостоящих экспериментах в натурных условиях либо в условиях, близких к натурным, на специальных стендах с использованием приближенных методик численных расчетов. [c.202]

В математическом отношении задачи, относящиеся к общим случаям теплопроводности, несравненно более сложны, чем излагавшиеся выше. Каждый новый тип задания краевых условий привносит свою специфику в метод аналитического решения, вследствие чего вопросам нестационарной теплопроводности посвя-шены целые монографии и многочисленные статьи в периодической литературе. В данном курсе ставится ограниченная цель в самых общих чертах обрисовать классический метод решения применительно к одному простому случаю, после чего продемонстрировать сооответствующие типовые номограммы, удобные для расчетной практики. [c.58]

Более современный подход к разработке математической модели теплового режима изложен в [4]. Основной акцент сделан на анализ аналитических решений [39] и применение интегральных преобразований для решения уравнений стационарной и нестационарной теплопроводности. Авторами [4] разработаны методы решения одно- и многомерных задач, приведены программы, реализующие основные алгоррггмы, оценивается сходимость численных методов, включая и метод конечных элементов, изложенный в [28]. Анализ работы [49] позволяет сделать вывод, что на основе общего подхода для каждой сложной задачи, какой является задача теплового режима, необходимо, используя особенности объекта исследования, конструировать собственную методику, удовлетворяющую поставленным целям и требованиям разработки. [c.79]

Методам и средствам решения этих задач и посвящена настоящая книга. В гл. 1 дана характеристика проблемно-ориентированного комплекса алгоритмов, программная реализация которого позволила получить необходимые решения краевых задач нестационарной теплопроводности, упругости, пластичности, задач оиределения ресурса на стадии возникновения и развития макротрещин, а также диагностирования дефектов по изменению электромеханических характеристик. В алгоритме сочетаются численные методы решения линейных и линеаризованных систем уравнений высокого порядка (10 и более) с приближенными аналитическими методами. -КоаеЕые словия определены экспериментально [c.17]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

Общей теоретической основой методов восстановления температурных полей и связанных с ними исследований тепловых процессов являются аналитические или машинные (численные) решения обратных задач нестационарной теплопроводности. В зависимости от конкретной направленности и строгости постановки, определяемых прикладными целями исследований, приемы и алгоритмы решения обратных задач широко варьируются. Методические погрешности восстанавливаемых тел1ператур и базирующихся на их основе других теплообменных и теплофизических характеристик преимущественно оцениваются, исходя из частных особенностей решаемой задачи. [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...