Силовая функция и потенциальная энергия системы

Силовая функция и потенциальная энергия системы [c.338]

Установим зависимость между силовой функцией и потенциальной энергией механической системы. [c.192]

В заключение следует обратить внимание на особенности принятой терминологии. В первом томе различались силовая функция и потенциальная энергия. Здесь ньютоновским потенциалом называется силовая функция консервативного поля сил тяготения, вызываемых системой материальных точек М с массами Ш , действующих на точку М с массой т, равной единице. [c.484]

Если в потенциальном силовом поле движется система материальных точек, то силовая функция и потенциальная энергия этой системы равны соответственно сумме силовых функций йли сумме потенциальных энергий всех точек системы, т. е. [c.238]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Резюме. Если в принципе Даламбера отождествить вариации с действительными перемещениями, происходящими за время dt, то полученное уравнение можно проинтегрировать. Это приводит к закону сохранения энергии, который утверждает, что в процессе движения сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Для справедливости этого вывода необходимо, чтобы в процессе движения массы час-тиц были постоянными, а силовая функция и заданные связи системы были склерономными, т. е. не зависели от времени. [c.120]

В потенциальном поле и занимает положение, при котором потенциальная энергия П минимальна (а следовательно, силовая функция IJ максимальна), то система находится в устойчивом равновесии, т. е., будучи незначительно выведена из этого положения, она стремится вернуться к нему, совершая около него малые колебания [c.243]

Силовую функцию и, взятую с обратным знаком, называют потенциальной энергией системы П [c.67]

Так как потенциальная энергия системы П отличается от силовой функции и только знаком П — — 11, ю условия равновесия примут следующий вид [c.337]

Таким образом, положения равновесия голономной системы могут быть только при тех значениях обобщенных координат д, д ,. .., при которых и силовая функция V, и потенциальная энергия П имеют стационарные значения, в частности, экстремальные — максимум или минимум. Причем, если 11 достигает максимума, то П достигает минимума, и наоборот. [c.337]

Потенциальная энергия системы П для стационарного силового поля и стационарных связей является функцией только обобщенной координаты д. Разлагая ее в степенной ряд в окрестности д = О, получаем [c.393]

Потенциальная энергия системы П для стационарного силового ноля и стационарных связей является функцией только обобщенной [c.414]

Возвращаясь несколько назад, заметим, что время t может входить в явном виде в силовую функцию V. Аналитически совершенно безразлично, содержится ли время явно в коэффициентах кинетической энергии или силовой функции или не содержится система реономна в обоих случаях. Как будет показано ниже, существенное различие между реономной и склерономной системами заключается в следующем для склерономной системы имеется фундаментальная величина, интерпретируемая как полная энергия системы, которая сохраняется при движении. Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий, при условии что потенциальная энергия механической системы определяется следующим образом [c.55]

Если силовая функция однозначна, то —U= V есть потенциальная энергия системы, и, следовательно, [c.332]

Системы, находящиеся во внешних стационарных и потенциальных силовых ПОЛЯХ. Для таких систем можно ввести функцию полной потенциальной энергии, причем [c.58]

Отличие между совершенной работой и потенциальной энергией аналитически может быть выражено следующим образом. Силовая функция, определенная в п. 337, представляет неопределенный интеграл от элементарной работы сил. Если система движется, то совершенная работа равна определенному интегралу с нижним пределом интегрирования, определяемым некоторым стандартным положением отсчета, обозначим его С, и верхним пределом интегрирования, определяемым текущим положением системы. Потенциальная энергия равна определенному интегралу с верхним пределом интегрирования, определяемым некоторым фиксированным положением отсчета, обозначим его Д, и с нижним пределом, определяемым текущим положением системы. Если указанные два положения отсчета С и Д совпадают, то работа равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком. Однако это не общий случай положения отсчета могут выбираться независимо в соответствии со смыслом каждого из интегралов, к которым они относятся. [c.307]

М в нулевое положение М . .., Мп работа приложенных к точкам сил равна потенциальной энергии П системы в этом положении. С другой стороны, эту работу можно определить по формуле (73.4) как разность силовой функции и в нулевом положении и в данном, т, е. [c.422]

Равенство (72.7) показывает, что потенциальная энергия системы П отличается от силовой функции V, взятой со знаком минус, на постоянную величину и . [c.422]

Если функция (1), удовлетворяющая условиям (2), существует, то говорят, что движение системы происходит в потенциальном поле с силовой функцией (1) и с потенциальной энергией [c.258]

Согласно условию теоремы, в положении равновесия системы потенциальная энергия, являющаяся для стационарного силового поля только функцией обобщенной координаты, имеет изолированный минимум. Следовательно, Птш = Я (0) = 0 и функция Я (д) в малой окрестности д = 0 принимает только положительные значения. Ее график в этой окрестности имеет вид, указанный на рис. 275. Кривая П = П (д) обращена вогнутостью в сторону положительных значений Я (д), т. е. вверх. [c.387]

Силы, стремящиеся изменить внутренние координаты комбинированных систем, вместе с силами, которые воздействуют со стороны каждой из систем на тела, представленные так называемыми внешними координатами, могут быть выведены из единой силовой функции, которую, взятую с обратным знаком, мы назовем потенциальной энергией комбинированных систем и обозначим через Мы предположим, что первоначально ни одна из систем Двух ансамблей и не попадает в сферу действия другой, так что потенциальная энергия комбинированной системы распадается на две части, соответствующие комбинируемым системам по отдельности. То же самое, очевидно, справедливо и для кинетической энергии ложной комбинированной системы и, следовательно, для ее полной энергии. Это может быть выражено уравнением [c.159]

Элементарная и полная работа сил в общем случае и для потенциального силового поля. Силовая функция, силовые линии и поверхности уровня. Теорема о кинетической энергии системы в дифференциальной и интегральной форме. Закон сохранения полной механической энергии. [c.49]

Полученное только на основании соображений симметрии уравнение (1.22-9) показывает, что эффекты второго порядка (например, получение второй гармоники и суммарных и разностных частот) не могут возникать в системах с центром инверсии. Однако, поскольку описание именно этих эффектов является особенно важным, мы не будем рассматривать модели, построенные по типу атома водорода или щелочного металла (обладающего инверсионной симметрией). Вместо таких моделей мы воспользуемся моделью, в которой центр тяжести оптического электрона расположен вне центра сферически симметричной системы (скажем, на оси х). Такое эксцентрическое положение равновесия определяется молекулярными или кристаллическими силами. Далее мы примем, что рассматриваемый оптический электрон в молекулярной или кристаллической системе принадлежит к электронам, образующим связь. Зависимость потенциальной энергии от смещения центра тяжести размазанного облака заряда оптического электрона определяется электростатическими и квантовомеханическими силами, обусловленными всеми взаимодействующими с ним носителями заряда, а также симметрией молекулы или кристаллической решетки предсказание детального хода потенциала для общего случая сделать невозможно, так как при тех или иных конкретных условиях могут иметь место самые разнообразные потенциальные функции. Однако возможно указать общее свойство интересующих нас типичных потенциальных функций по порядку величины квадратичные силы приближаются к линейным силам, если смещение центра тяжести достигает значения межатомного расстояния (Р 10- о м). Для силовых постоянных имеет место соотношение [c.111]

Потенциальная энергия П - - U. Потенциальная энергия, как и силовая функция, зависит от координат всех точек системы. Механическая система, в которой работа совершается только потенциальными силами, называется консервативной. [c.121]

Какая зависимость существует мeждJ силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находяшейся в этом поле [c.435]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового 1юля зависит только от одной обобщенной координагы q, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. Я(0) = 0. По ус1ювию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, i. е. /7 1п = Я(0) = 0, и функция U = n(q) в малой окрестности =0, принимая только положительные значения, является возрастающей функцией ц, т. е. имеет вид, представленный на рис. 108. [c.422]

Гельмгольц идет еще дальше и рассматривает системы, которые подчинены только тому условию, что не только сумма кинетической и потенциальной энергий, но и каждая из этих энергий в отдельности остается постоянной. Он называет такие системы изокинетическими. Еще более общее понятие образует Клаузиус. Он называет стационарным такое движение, при котором ни одна прямоугольная координата и ни одна из составляющих по координатным осям скорости материальной точки не возрастает неограниченно, как бы долго ни продолжалось движение. Я предпочитаю называть такое движение конечным . Предположим теперь, что движение не является периодическим в том сл1ысле, что по истечении конечного промежутка времени все материальные точки возвращаются одновременно в точности к прежнему положению с прежней по величине и направлению скоростью и затем снова начинают точно такое движение однако предположим, что движение подчиняется такому закону, что если взять средние значения за некоторый промежуток времени живой силы, составляющей скорости или одной из прямоугольных координат какой-либо точки или всей силовой функции Унт. д., и заставить промежуток времени, для которого вычислено соответствующее среднее, неограниченно возрастать, не варьируя движения, то каждое из этих средних значений будет стремиться к определенному пределу. Такое движение мы будем называть измеримым. [c.471]

Мы видим, что разыскание положений равновесия сводится в рассматриваемом случае к определению условий, при которых первая вариация силовой функции и обращаетса в нуль другими словами, положения равновесия совпадают с теми положениями системы, для которых силовая функция имеет стационарное значение. Для независимых координат придётся искать абсолютное стационарное значение функции U если же координаты связаны условиями, то стационарное значение функции U будет относительным. Если силовая функция однозначна и, следовательно, существует потенциальная энергия V= — U, всё сказанное о стационарности значения U в положении равновесия может быть также отнесено и к потенциальной энергии V. [c.389]

В понятие линеаризуемости системы входит также требование положительной определенности потенциальной энергии деформации Uq- Это означает, что, каким бы ни было малое отклонение системы от положения равновесия, оно сопровождается деформациями ее элементов того же порядка малости и накоплением положительной энергии деформации, квадратичной по отклонению такие конструкции по кинематической классификации относят к неизменяемым (см. 18.2, раздел 3.2). Помимо этого, ограничимся рассмотрением только таких однопараметрических нагрузок, для которых положительно определена и единичная силовая функция р2- В частности, исключаются нагрузки типа показанной на рис. 18.57, для которой [c.384]

Пусть положение стационарной голономной системы определяется обобщенными координатами д, . .., < , которые выбираются таким образом, что в невозмущеином равновесии системы все они равны нулю. Под к понимается либо полное число параметров, характеризующих отклонение системы от ее невозмущенного равновесия, либо число тех параметров, которыми с достаточной точностью можно описать это отклонение. Активные внешние силы — консервативные и неконсервативные — полагаются пропорциональными параметрам риг соответственно. По-прежнему через и обозначается потенциальная энергия деформации системы, а через V и V — потенциал внешних сил и силовая функция единичной нагрузки, так что V = —р9. В случае малых перемещений системы эти функции могут быть представлены как квадратичные формы от обобщенных координат [c.431]

По существу уже в работе 1760 г., посвященной применению принципа наименьшего действия в динамике с использованием исчисления вариаций он с единой точки зрения выводит законы сохранения импульса и момента импульса на основе евклидовой симметрии пространства. Исходным при этом является принцип наименьшего действия, предполагающий выполнение закона сохранения энергии. На этой основе Лагранж получает прообраз своей общей формулы динамики , а затем, рассматривая в качестве допустимых виртуальных перемещений бесконечно малые сдвиги системы вдоль декар товых осей X, у, гж бесконечно малые вращения вокруг этих осей, получает в отсутствие внешних сил законы сохранения импульса и момента импульса. В работе 1777 г. он снова возвращается к открытому им методу вывода законов сохранения из евклидовой симметрии пространства, формулируя, однако, требования симметрии в отношении введенной им (и несколько ранее Д. Бернулли ) потенциальной или силовой функции системы. Б обеих его работах оставалась невыясненной симметрия закона сохранения энергии, а симметрии законов сохранения импульса и движения центра тяжести отождествлялись, совпадая с трансляционной симметрией пространства. [c.226]

Здесь О О — объем частицы, п — среднее число частиц в единице объема, ТУ — средняя относительная скорость движения газа и частиц, V — потенциальная энергия взаимодействия частиц между собой и с внешними силовыми полями, и — средняя для рассматриваемого объема скорость движения газа, Ф — функция, учитывающая изменения коэффициента сопротивления отдельной частицы при налнчпи других, т. е. в условиях стесненного обтекания, О — матрица коэффициентов в пространстве скоростей системы частиц. Функция распределения в фазовом пространстве нормирована обычно fs t,r V)drdV = l, Используя аналог цепочек функций распределения Боголюбова и интегрируя полученное уравнение по координатам и скоростям всех частиц, кроме одной, находим уравненпе для одночастичпой функции распределения / вида [c.45]

ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ [по имени ирл. математика У. Р. Гамильтона (W. R. Hamilton)], характеристич. функция механической системы, выраженная через канонические переменные обобщённые координаты Qi И обобщённые импульсы р/. Для системы со связями, явно не зависящими от времени i, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, Г. ф. H qi, />,)= ги=п, где П — потенц. энергия, а Г — кинетич. энергия системы, в выражении к-рой все обобщённые скорости qi заменены на Pi с помощью равенства /), = (9 Г/5д,. Т. о., в этом случае Г. ф. равна полной механич. энергии системы, выраженной через qi и р,-. В общем случае Г. ф. H pi, qi, t) может быть определена через др. характеристич. ф Цию — Лагранжа функцию L ( , qi, t) равенством [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...