Натуральные системы .уравнений

Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же эти уравнения в случае натуральной системы были получены из общего уравнения динамики [c.107]

Если коэффициенты а зависят только от g и не зависят от t (что имеет место, например, если функция Рауса составлена путем исключения координат из из натуральной системы), то линейная форма Ti порождает в уравнениях движения антисимметричные линейные члены, называемые гироскопическими членами. Вектор, г-я составляющая которого равна Qr, [c.183]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Начнем с классической натуральной системы. Из ее уравнений движения (11.51) видно, что состояние равновесия [c.97]

Теорема. Пусть = 0, 17 = 0 — состояние равновесия классической натуральной системы. Тогда уравнения первого приближения порождаются лагранжианом [c.98]

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Число п называется числом степеней свободы гамильтоновой системы порядка 2п независимо от природы функции Н. Пусть /1=1. Тогда уровни функции Н(р, q)=h на фазовой плоскости состоят из траекторий решений системы уравнений Гамильтона и образуют так называемый фазовый портрет системы. При его графическом изображении принято рисовать положения равновесия и несколько характерных фазовых кривых. В случае натуральной системы [c.231]

Теорема Кирхгоффа. Исходная система уравнений и краевых условий теории упругости приведена в п. 1.1. Вводятся следующие предположения 1) начальное состояние тела является натуральным 2) постоянные ц, v в обобщенном законе Гука удовлетворяют неравенствам (3.3.5), (3.3.6) гл. III, обеспечивающим положительность удельной потенциальной энергии деформации поэтому последняя может быть нулем лишь в натуральном состоянии 3) допускается общепринятое в линейной теории упругости пренебрежение изменением формы тела при формулировании краевых условий — ограничивающая упругое тело поверхность О в состоянии равновесия такая же, как в натуральном состоянии. [c.182]

Система уравнений (6.6) с параметрами в натуральной форме будет иметь [c.204]

Если при тех же условиях первое из уравнений Эйлера написать в обозначениях натуральной системы координат (или если оси декартов ой системы расположить так, чтобы ось х соответствовала направлению движения 5), тогда и будет представлять величину век тора скорости и уравнение будет сведено к следующему виду [c.60]

Натуральная механическая система — тройка (М, йз, У), где М — гладкое п-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы = ds/dt) /2), У — гладкая функция на М (потенциал поля сил). Движения натуральной системы — это отображения т А М (Д — интервал в К), удовлетворяющие в локальных координатах на М уравнениям Лагранжа с лагранжианом = 5 + У. Так как форма [c.130]

Обозначим через m t, а) движение натуральной системы, начинающееся с нулевой скоростью в точке а G dD (т.е. то(0, а) = а). Так как уравнения движения обратимы (лемма 1), то справедливо [c.132]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Перейдём к уравнениям движения в так называемой натуральной системе координат, т. е. в системе координат, связанной [c.615]

Фиг. 334. К выводу уравнений движения в натуральной системе координат (оси п и т).

Теорема 14. Функция у А- М является движением натуральной системы (Ai, <, >, V) с постоянной момента /а = с тогда и только тогда, когда проекция ц = рг о у A- -N удовлетворяет дифференциальному уравнению [c.102]

Уравнение (6) можно рассматривать как уравнение движения натуральной системы (Л , <, >, V ) под действием дополнительных непотенциальных сил F . Так как F (v)-v = = i2 (u, с )=0, то эти силы не производят работы на действительном движении. Они называются гироскопическими. [c.102]

Очевидно при этом, что следует избегать хранения в оперативной памяти ЭВМ нулевых строк и столбцов матрицы. Простой путь к этому состоит в перенумерации узлов сетки макроэлемента целыми числами последовательного натурального ряда начиная с единицы. Перенумерацию можно осуществить многими способами. Нас устроит только такой способ, при котором в процессе формирования нижняя симметричная часть матрицы макроэлемента размещалась также в нижней симметричной части глобальной матрицы системы уравнений МКЭ. Это приводит к простому алгоритму формирования. [c.120]

Чтобы радиус кривизны р образующей исходной инструментально поверхности изменялся линейно с постоянной интенсивностью с, его значение и длина дуги образующей, отсчитываемая от некоторой фиксированной начальной точки, должны удовлетворять условию р =с1 - это натуральная форма уравнения образующей исходной инструментальной поверхности И фасонного инструмента. В полярной системе координат уравнение этой образующей находится так. [c.308]

Полученное уравнение и есть уравнение Больцмана, связывающее энтропию системы с вероятностью ее состояния. Энтропия S замкнутой системы в равновесном и неравновесном состоянии пропорциональна натуральному логарифму вероятности данного состояния. [c.130]

Натуральные и ненатуральные системы. Введя понятие об обобщенном потенциале, мы сделали важный шаг в расширении класса систем, для которых ковариантные уравнения движения могут быть записаны в форме, содержащей только одну функцию, зависящую от выбора системы отсчета,— ее лагранжиан. [c.164]

Используя эти ранее установленные факты, мы получим теперь уравнения, специально приспособленные для описания движений в потенциальных полях, и изучим некоторые общие свойства таких движений. Весь материал этой главы в равной мере относится к системам, для которых существует обобщенный потенциал. Более того, за редкими исключениями, которые будут далее оговорены, он относится как к натуральным, так и к ненатуральным системам (см. 5 гл. IV). о связано с тем, что далее мы будем исходить из предположения, что движение системы может быть описано уравнениями Лагранжа (4), и лишь в отдельных особо оговариваемых случаях будем предполагать, что [c.259]

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265]

Дифференциальные уравнения (8), в которых функция Р имеет вид (15) и которые, таким образом, относятся к натуральным, т. е. обычным, консервативным системам, носят название уравнений Якоби ). [c.130]

Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение Б дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат. [c.303]

Систему (26.8.6) иногда называют нормальной формой системы с двумя степенями свободы. Эти уравнения описывают плоское движение частицы под действием силы консервативного поля с потенциалом у и гироскопической силы величиной направленной под прямым углом к скорости V. Здесь гироскопическая сила более общего типа, чем в 8.8 и 9.8, поскольку множитель не является постоянным и зависит от gj и 2- Если исходная система является натуральной, то = О и общая задача сводится к задаче [c.540]

На этом этапе группы дифференциальных уравнений, описывающих поведение отдельных подсистем, блоков и элементов, заменяются реальными элементами по мере их изготовления. Производится стыковка реальной аппаратуры и отладка всей системы. В контур управления включается человек-оператор. Производится отработка всей системы в целом в лабораторных условиях. Моделирование ведется в натуральном масштабе времени. Заканчивается этап защитой технического проекта системы. [c.160]

Системы цифрового программного управления, применяющиеся в станках-автоматах, также можно разделить на два типа системы непрерывного управления криволинейной траекторией рабочего органа и системы дискретного позиционирования, т. е. перемещения рабочего органа в заданную точку. Цифровой способ непрерывного управления траекторией рабочего органа заключается в том, что по координатам нескольких опорных точек вычисляется интерполирующий многочлен того или иного вида и на исполнительные приводы каждой координаты подаются воздействия, меняющиеся во времени в соответствии с параметрическими уравнениями полученного многочлена. При этом необходимо строить цифровые вычислительные устройства, работающие в натуральном масштабе времени. Каждый отдельный случай требует самостоятельного рассмотрения (связанного с вопросами быстродействия и т. д.). [c.199]

В таком случае приведенное уравнение (называемое формулой Больцмана) может быть сформулировано так энтропия изолированной системы, находящейся как в равновесном, так и в неравновесном состоянии, пропорциональна натуральному логарифму вероятности данного состояния. [c.105]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

Определение. Системы, описываемые уравнениями Лагранжа (6), где L - квадратичная функция д, называются натуральными. [c.224]

При выводе уравнений движения предполагается отсутствие ветра, не учитываются вращение Земли и изменение силы тяжести ни по величине, ни по направлению. Принимаются наиболее общие выражения аэродинамической силы и момента (5.13.2) и (5.13.4). Уравнения движения центра инерции снаряда будут составляться в системе осей натурального триэдра траектории, описанной в п. 2.18, а уравнения вращения — в системе осей связанных со сна- [c.420]

Основными понятиями классической механики являются понятия о пространстве и времени, о силе и массе, об инерциальной системе отсчета. Основными законами являются закон инерции Галилея — Ньютона (первый закон Ньютона), уравнение движения относительно инерциальной системы отсчета (второй закон Ньютона), закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона). Эти понятия и законы были сформулированы И. Ньютоном в его гениальном трактате Математические начала натуральной философии (1687). [c.7]

Каждая сила перпендикулярна оси Ох, и ее проекция на эту ось равна нулю. Следовательно, первое уравнение обращается в тождество 0=0 и выполняется независимо от того, уравновешиваются силы или нет. Таким образом, для плоской системы параллельных сил остается только два уравнения равновесия, причем на ось Оу силы проектируются в натуральную величину, так как эта ось параллельна заданным силам. [c.79]

Движение свободного твердого тела в потенциальном поле в системе центра масс (г = О в уравнении (5.5)) описывается натуральной механической системой с функцией Гамильтона в виде [c.62]

Уравнения Гамильтона можно составлять для таких систем, динамика которых полностью задается функцией Лагранжа Ь(1,ц,д). Рассматриваются не только натуральные (механические) системы Ь = Т — П), поэтому на Ь накладывается условие (0.3) [c.77]

В истеме уравнений (3.3)—(3.4) неизвестными являются векторы Q и ЛТ, известными — действующие распределенные нагрузки, а также сосредоточенные силы и моменты, приложенные к стержню (см. рис. 3.1), и условия закрепления стержн . Система уравнений (3.3)—(3.4) не является полной, так как определить Q и Л1 из этой системы в общем случае нельзя. Дело в том, что в уравнение (3.4) входит единичный вектор натурального триедра, положение которого [c.68]

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При к > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые песамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57] . Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. 2, 3 гл. IV). [c.145]

Кинетическая энергия натуральной системы представляет собой однородную квадратичную форму импульсов. Используя нринцин Даламбера, составить нолуканоническне уравнения Гамильтона. [c.279]

В этом параграфе доказано, что канонические преобразования сохраняют вид уравнений Гамильтона, что один первый интеграл уравнений Галшль-тона ноэволяет понизить порядок системы сразу на две единицы и что движение в лагранжевой натуральной системе происходит по геодезической конфи-гзграционного пространства, снабженного некоторой римановой метрикой. [c.211]

Эти результаты справедливы и когда среди собственных чисел есть кратные в лагранжевой натуральной системе, в отличие от общей системы дифференциальных уравнений (и даже общей гамильтоновой системы) резонансные члены вида /sinoi и т. п. не возникают даже в случае кратных собственных чисел (лишь при л=0 возникают жордановы клетки порядка 2). [c.269]

Чтобы исключить из рассмотрения все напряжения, за исключением управления ив, следует также привлечь уравнения активно-индуктивной нагрузки в осях d, q. Решпя совместно уравнения АСГ и нагрузки и исключая из рассмотрения напряжения Uj, U , после несложных преобразований можно получить следующие уравнения системы АСГ-Н в натуральном масштабе времени [c.218]

Определение 5 [249, 373]. Поверхность S принадлежит классу С °, (где I — натуральное число, О а 1, 7 -f а 1). Если 6 S, то существует декартова система координат h, 1 , Is, у которой начало совпадает с х , а ось 1з совпадает с нормалью к S в точке Хо, такая, что а) сфера радиуса d = onst > О с центром в точке Xq вырезает из S участок, который может быть задан уравнением = Л ( 1, а) б) функции h (Si, I2) принадлежат функциональному пространству и h (О, 0) = dih (О, 0) = d h (О, 0) — 0. Поверхность класса С ° называется поверхностью Ляпунова. [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...