Скорость групповая плотности

Итак, рассмотрение колебаний атомов в одномерной цепочке, состоящей из атомов одного сорта, показывает, что при низких частотах колебаний и длинных волнах (малых волновых векторах k) характеристики волнового движения атомов оказываются близкими к соответствующим характеристикам для изотропного континуума и в пределе с ними совпадают. Однако с ростом k обнаруживается заметное различие этих характеристик выявляется дисперсия частоты, частота колебаний начинает периодически зависеть от k, причем максимальные значения частоты обнаруживаются на границе зоны Бриллюэна, при этих же k обращается в нуль групповая скорость. Плотность состояний вблизи границы зоны Бриллюэна имеет особенность корневого типа. [c.214]

Очевидно, что в точках обращений групповой скорости Vg в нуль возникают сингулярности кривой D(m), которые называют сингулярностями Ван Хова. Общий вид кривой плотности фононных состояний показан на рис. 9.2 на примере А1 [46]. Хорошо виден [c.218]

В связи с этим для научного и технического обоснования проекта брызгального бассейна большой производительности был спроектирован новый опытный брызгальный стенд для исследований группового расположения сопл [5]. В задачи исследований на стенде входило определение расходных характеристик известных разбрызгивающих устройств, выбор наиболее эффективного типа сопла, напора на соплах, схемы их компоновки, определение эффективности охлаждения горячей воды соплами в условиях взаимного влияния факелов разбрызгивания при различных направлениях и скоростях ветра, установление размеров брызгального бассейна при заданной плотности орошения, прогноз температур охлажденной воды. Решение всех этих задач реализуется на стенде благодаря его технологическим и конструктивным возможностям. [c.42]

В изотропном пространстве скорость распространения гармонич. Э. в., т. е. фазовая скорость и = с/у . При наличии дисперсии скорость переноса энергии (групповая скорость) может отличаться от V. Плотность потока энергии, переносимой Э. в., определяется Пойнтинга вектором 5=(с/4 )[ Я]. Т. к. в изотропной среде векторы Е, Н тл к образуют правовинтовую систему, то S совпадает с направлением распространения Э. в. В анизотропной среде (в т. ч. вблизи проводящих поверхностей) S может не совпадать с направлением распространения Э. в. [c.543]

С точки зрения энергетического анализа процесса распространения возмущений в слое более важной по сравнению с фазовой является групповая скорость. Применительно к рассматриваемому случаю упругого слоя и гармонического процесса энергетическое определение групповой скорости (скорости переноса энергии) дается как отношение среднего за период потока мощности (проекции Wj на ось Ох вектора Умова) через поперечное сечение слоя единичной ширины к средней по объему на длине волны плотности энергии . Для гармонического процесса эти величины определяются равенствами [c.135]

Здесь е — малый параметр порядка крутизны волн А=А(г х е , 0) —комплексная огибающая 0 = е (е2л , е ) — быстрая фаза первые два слагаемых описывают основную волну и вторую гармонику, а третье—нелинейный вклад в среднее течение типа стоксова дрейфа. Этот вклад (и соответствующие ему возмущения плотности) по вертикали знакопеременен с длиной волны порядка gN (где g — групповая скорость) при малых длинах несущей волны малой, так что он представляет собой тонкослойную микроструктуру (существующую в течение времени прохо- [c.424]

Для рассматриваемого нами волнового пакета вектор Пойнтинга должен быть равен произведению плотности энергии < и ), на групповую скорость, т. е. [c.49]

СТИ ПОЛЯ Ё не изменяется существенно за время, сравнимое со временем поперечной релаксации т. При этом предположении мы получим, исходя из уравнения (3.21-3), следующую систему уравнений баланса для плотности потока фотонов 1/2Н( )) Е и для инверсии 7/, причем мы откажемся от того, чтобы ограничиться значением показателя преломления 1 и значением групповой скорости V = с [c.427]

Теоретическое исследование люминесценции при условии сильной связи экситонов с фотонами удобно проводить в представлении поляритонов (см. 45). В этом случае отпадает необходимость рассмотрения процессов реабсорбции, так как взаимодействие экситонов и фотонов полностью учитывается уже в нулевом приближении. Процесс люминесценции кристалла сводится к преобразованию на поверхности кристалла поляритонов в свободные фотоны. Спектральный состав люминесценции F (со) определяется спектральной плотностью р (со) поляритонов частоты со у поверхности кристалла и вероятностью их выхода из кристалла. При нормальном падении поляритонов на поверхность кристалла с групповой скоростью V (со) функция F (со) определяется простой формулой [c.596]

В вакууме, когда и = 1, и = ш = с, и, ш также равны с, и формулы (2.46) и (2.47) для групповой скорости совпадают с формулами (2.71) и (2.72) для фазовой скорости. Таким образом, из теории относительности следует, что для любой инерциальной системы групповая скорость в вакууме совпадает с фазовой скоростью. В теории абсолютного эфира это справедливо только для абсолютной системы отсчета. Такое различие обусловлено тем, что, в соответствии с теорией относительности, элементарные волны в вакууме являются сферическими волнами с фиксированным центром в любой системе отсчета (когда ш = с, из (2.75) следует а = О, 6 = 1). Мы покажем позже (гл. 5, 7) что групповая скорость равна скорости распространения энергии электромагнитной волны. Плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга, и для плоской волны в вакууме этот вектор направлен по нормали к фронту волны в любой системе отсчета. [c.49]

Рэлей предложил определять среднюю скорость движения энергии и в плоской бегущей волне как отношение средней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии. Пользуясь выражением для вектора Пойнтинга, пока зать, что так определенная скорость в случае монохроматической электромагнитной волны совпадает с групповой скоростью. [c.544]

Различие между фазовой и групповой скоростями распространения волн, на которое впервые обратил внимание Г. Стокс, находит у Рэлея исчерпывающее разъяснение. В сущности, именно Рэлей ввел самое понятие (и название) групповой скорости — одно из основных понятий всякой волновой теории, играющее столь важную роль и в теории распространения радиоволн, и в оптике, и в акустике, и в волновой механике. Рэлей не только получил из кинематических соображений формулу для групповой скорости ( 191), носящую его имя, но и связал групповую скорость с соотношением между плотностями энергии и ее потока (добавление О бегущих волнах , стр. 493) ). [c.12]

Смысл величин V/, и 5 был установлен еще в п. 3.1 — они представляют собой соответственно средние по высокой частоте плотность энергии и потоки энергии для квазимонохроматического пакета. Равенство (3.30) с этой точки зрения вполне естественно квазимонохроматический пакет нормальных волн в первом приближении (при учете лишь первых производных по со и ) движется как целое, т. е. без расплывания, с групповой скоростью гр. Очевидно, при этом полный поток энергии 5, который слагается из электромагнитного потока и потока 5 , должен быть равен произведению плотности энергии на групповую скорость Нужно, быть может, лишь из независимых соображений доказать, что групповая скорость [c.105]

В изотропных средах вдоль вол ювого вектора направлены групповая скорость и плотность потока энергии. [c.153]

Таким образом, как и в случае квантового усилителя с полной инверсией населенностей, интенсивность спонтанного излучения параметрического усилителя в фотонах на моду равна коэффициенту усиления (без единицы — см. (29)). Плотность потока фотонов в моде F в диспергирующей среде равна концентрации фотонов N/L , умноженной на групповую скорость и. Плотность типов колебаний в анизотропной среде согласно (3.4.34) равна g a = = кУии os Pj , так что спектральная яркость внутри кристалла связана с числом фотонов в моде соотношением (ср. (1.1.26)) [c.210]

При малых k фазовая и групповая скорости совпадают Vф = = Угр = изв. Если М,=М2, то выражение (5.56) переходит в выражение для скорости звука и = а = ]/ С/р моноатомной цепочки с линейной плотностью р = М/а. [c.155]

Здесь Xf — единичный вектор, i y, Н2 — поперечные по отношению к к компоненты векторов нанряжён-ностей эл.-магн. поля и Я — их амплитуды вектор Пд наз. вектором II о й н т и н г а. Отсюда видно, что поток энергии пульсирует с удвоенной чистотой 2ы около своего ср. значения E, Hj2. Поток звуковой энергии в газе или жидкости описывается вектором Умова П3-—pw 2 (где р — звуковое давление, v — колебат. скорость частиц). Средние по времени значения потока аисргии <П> и плотности энергии <(г> связаны в линейной прозрачной среде простым соотношением <П>—i rpt где —скорость переноса энергии, совпадающая с групповой скоростью. [c.318]

Перенос акустической энергии в кристалле. При распространении плоской волны в анизотропной среде поток энергии отклоняется от волновой нормали. Скорость переноса энергии определяется вектором лучевой скорости е,, равным отношению средней по времени плотности потока энергии I к средней плотности энергии W в волне .,=lf W. Понятие лучевой скорости играет ключевую роль в К., поскольку реально в среде распространяются не бесконечные волны, а иучки конечной апертуры, поэтому направления их распространения задаются переносом анергии, а не фазы (рис. 2). Лучевая скорость совпадает с групповой скоростью [c.507]

Здесь I j,—групповая скорость плазмонов. Вследствие резонансного затухания ионно-звуковых волн в газе плазмонов с декрементом у, и фазового перемешивания мод непрерывного спектра (5) вносимое первым источником макроскопич. возмущение исчезает на расстояниях порядка ,/y где с, — скорость звука. Второй источник, расположенный в точке z=I ly возбуждает в плазме на частоте ионно-звуковую волну и возмущение типа (5) и, кроме того, модулируя моды непрерывного спектра от первого источника, порождает на разностной частоте Пэ = П2 —нелинейное возмущение спектральной плотности плазмонов, являющееся источником эхового сигнала. В точке эха моды непрерывного спектра становятся когерентными, поэтому суммирование по к приводит к возникновению в окрестности точки 2 макроскопич. возмущения концентрации плазмы йи,. Пространств. форма эхового сигнала несимметрична слева от точки эха профиль амплитуды 5и,, описывается ф-цией ехр (О, а справа—ф-цией ехр(- ), где = Уэ(г-г,)/с.,. [c.648]

Наибольшее различие между этими двумя типами движений проявляется, естественно, при сопоставлении распределения по толщине слоя средней за период плотности потока мощности. Если для I = I2 суммарный поток по толщине, очевидно, положителен, то для 1 = з он отрицателен. Это, разумеется, согласуется со значением групповой скорости на соответствующих участках дисперсионных кривых. Важным, однако, здесь является то, что в обоих случаях в сечении слоя существуют точки с противоположным направлением потока энергии. Дальнейшие вычисления показывают, что такая ситуация характерна для различных х астков всех мод, кроме низшей, однако везде суммарный поток по сечению положителен. На рис. 51 показана часть дисперсионного спектра для v == = 0,35. Такое значение коэффициента Пуассона использовалось в работе [228] при сопоставлении теоретических и экспериментальных данных для алюминиевых полос. Полужирными линиями на рис. 51 выделены участки ветвей, для которых имеются локальные отрицательные значения Р . [c.143]

Теперь, задавшись плотностью системы п = + щв. долями базовых компонент = njn ж = щ1п, можно найти Сг и Р как функции Т, п, х- , х , решая совместно систему уравнений (6), (8). Поскольку скорость сходимости групповых разложений (6), (8) для химически реаги-руюш их систем весьма велика, эту операцию можно проделать при любых степенях завершенности реакции (2). [c.63]

В этой вводной главе дается обзор и вывод некоторых основных соотношений для классических электромагнитных полей. Исходя из у ивнений Максвелла и материальных уравнений, мы получим выражения для плотности и потока энергии электромагнитного поля. Будет доказана теорема Пойнтинга, а также выведены законы сохранения и волновые уравнения. Мы подробно рассмотрим распространение монохроматических плоских волн и некоторые их важные свойства, а также обсудим понятия фазовой скорости и групповой скорости волнового пакета, распространяющегося в среде с дисперсией. [c.9]

Рэлей вьтолнил большое количество экспериментальных и теоретических исследований, результаты которых остались в науке навсегда. Самое известное его достижение — открытие в 1894 году на основе точных измерений плотности и состава воздуха химического элемента аргона и других благородных газов. Эти работы принесли Рэлею и шотландскому химику Вильяму Рамзаю в 1 04 году Нобелевскую премию. В 1885 году Рэлей предсказал новый вид поверхностных волн (волны Рэлея). Он развил понятия фазовой и групповой скоростей волн, вывел формулу, устанавливающую связь между ними, Рэлею мы обязаны ва- [c.60]

Найти скорость системы простых гармонических волн длины X, движущихся под влиянием силы тяжести и капиллярности по общей поверхности двух жидкостей с плотностями Q и Q, если Т—поверхностное натяжение. Показать, что имеется минимальная скорость волны найти ее величину и величииу соответствующей длины волны. Доказать, что групповая скорость группы волн почти одинаковой амплитуды, длины и фазы больше или меньше скорости одной волны, смотря по тому, будет ли длина волны в группе меньше или больше, чем длина волны, имеющей минимальную скорость. Указать, какие явления можно объяснить этим результатом. [c.420]

Уравнение (2) справедливо и при наличии затухания. В условиях поглощения (коэффициент сопротивления равен нулю) групповая скорость g = да/дк (и - частота к - волновое число) совпадает со скоростью У потока энергии. Однако, если при наличии поглощения понятие групповой скорости теряет физический смысл (волновое число становится комплексным или чисто мнимым), то скорость потока энергии его сохраняет. Суть этого становится ясной из сравнения формулы (2) с уравнением для потока движущейся со скоростью V жидкости, плотность которой равна р. Если поток энергии = рУ,то отношение v /p определяет скорость У жидкости. Аналогичным образом отношенйе Ь /Э потока энергий к плотности энергии представляет скорость его распространения по системе [54]. [c.10]

Теория комбинационного рассеяния света на поляритоиах с учетом их затухания развивалась в работах Бурштейна, Ушиоды и Пинчука [19], Бенсона и Миллса [16], Аграновича и Гинзбурга [20]. К сожалению, в этих работах при определении плотности конечных состояний (или эквивалентной ей величины) не учитывалась групповая скорость поляритонов. Поэтому полученные выражения имеют ограниченную область применимости (см. ниже). [c.83]

Частота со скорее всего должна зависеть от волнового числа, т.е. со = ok = сок к). Если это так, то путем суперпозиции функций ф можно строить волновые пакеты, распространяющиеся с групповой скоростью. Именно такие пакеты с набором волновых чисел вблизи определенного значения к = ко = ро/Л и соответствуют вероятности Рк = Рх х -potm ) для очень пгарокого распределения плотности вероятности Рх по оси л . Зная, что у волнового пакета Ра/т = Уг = дсок/5к, и учитывая, что ро = Лк, мы сразу находим закон дисперсии со к = Лк /2т. Вспоминая, как устроены классические волновые пакеты, мы, естественно, приходим к соотношению [c.87]

Из этого выражения можно видеть, что подинтегральная функция имеет спнгулярность (особенность) там, где обращается в нуль групповая скорость = I , т, е, там, где зависимость частоты со от волнового вектора К имеет локальный плоский участок. Точки в К-пространстве, для которых это имеет место, называются критическими точками. Критическая точка может отвечать максимуму или минимуму функции, а также быть седловой точкой. Мы последовательно рассмотрим поведение функции плотности состояний в каждом из этих случаев. Приводимые ниже соображения относятся к любому дисперсионному закону (т. е, зависимости со от К) и не ограничены случаем фононов. Они, следовательно, применимы к электронным энергетическим зонам (гл. 9) и к спектрам спиновых волн (гл, 16). В случае седловых точек ход изменения функции плотности состояний в зависимости от частоты ме- яется особенно резко, как можно видеть из графиков на рис. С.1, в и г. [c.723]

Это утверждение никоим образом не противоречит приведенному в разд. 1.3 доказательству того, что поток энергии плоских звуковых волн имеет величину произведения с на плотность энергии, так что энерия звуковых волн переносится со скоростью волны с. В действительности для недиспергирующих волн, включая звуковые волны, групповая скорость V и скорость волны с совпадают. [c.295]

Другой метод исследования, применимый в том случае, когда N (z) медленно меняется в масштабе длины волны, основывается на трехмерном обобш ении понятия групповой скорости, развитого в гл. 3. Этот второй метод, который будет описан полностью в разд. 4.5, используется довольно широко в самом деле, даже при пиковом распределении частоты N (z) он может дать поразительно хороший учет (см. разд. 4.11) всех колебаний захваченных волн со скоростями распространения, меньшими, чем для волнообразных колебаний кроме того, он еш,е более широко применяется в случаях медленно меняюш ихся градиентов плотности. [c.376]

Этот весьма общий результат для трехмерного распространения от источника, осциллирующего с частотой соц, идентифицирует волны, обнаруживаемые в направлении L, как волны, для которых L является лучом, так как, согласно (288), вектор групповой скорости d ldkj имеет направление L. Кроме того, он определяет их амплитуду как произведение фурье-преобразования функции источника / (к ), члена [(55/<9 г)< >] , зависящего от дисперсионного соотношения (270), и члена 4л 1 х, который обеспечивает сохранение потока энергии, так как площадь поперечного сечения трубки лучей, образуемой нормалями к элементарной площадке dS поверхности волновых чисел, равна х ds (рис. 89). Чтобы показать это подробнее, предположим, как и в разд. 4.8, что плотность энергии для волн с волновым вектором к можно записать как [c.446]

Рассмотрим группу волн — несколько волн вида (2) с близкими частотами. Если в некоторой точке их фазы совпадают или близки, то интенсивность возмущения (плотность энергии) в этой точке относительно велика, так как там амплитуды отдельных волн складываются арифметически. Наименее различаться фазы будут при условии (3). Поэтому скорость группы волн — скорость распространения максимума возмущения, образованного группой волн, — определяется формулой (4) и, вообще говоря, не равна фазовой скорости. Так, групповая скорость волн на поверхности воды в два раза меньше фазовой, а при (длинноволновых) изгибных колебаниях стержня имеет место обратное соотношение. Заметим, что скорость распространения постоянной фазы с и скорость распространения группы волн не связаны (по крайней мере, в линейной системе) со скоростью частиц среды. Волна переносит данное состояние от частицы к частице. [c.8]

Уже при вещественных ев и Л создание такого поля не отвечает реальности, поскольку фактически цуг волн всегда ограничен в пространстве и времени. Но если цуг достаточно длинен, причем в его разложении Фурье основную роль играют данные значения ш и ft, связь между D к Е для цугов может быть заменена связью (1.10) для монохроматических волн. Конечно, делать это нужно с известной осторожностью, поскольку длинный цуг и монохроматическая волна не всегда эквивалентны, как это хорошо известно на примере введения групповой скорости или выражения для плотности энергии (см. п. 3.1). Но с такой же оговоркой связь (1.10) имеет смысл и при комплексных значениях (п й А. В этом случае фактически речь также идет о конечных импульсах (пакетах) соответствующей формы (например, вида , где о = onst при 0[c.35]

Внутренние гравитационные и иные волны. Наряду с поверхностными гравитационными и капиллярными волнами в океане существует множество других видов волн, которые играют важную роль в динамике океана. Океан, в отличие от идеальной жидкости, стратифицирован — то есть его воды не являются однородными, а изменяются по плотности с глубиной. Это распределение обусловлено потоками энергии (тепла) и вещества. В упрощенном виде океан можно представить состоящим из двух слоев воды сверху лежит более легкая (теплая или менее соленая), снизу — более плотная (более соленая или холодная). Подобно тому как поверхностные волны существуют на границе вода-воздух, на границе раздела вод разной плотности будут существовать внутренние гравитационные волны. Амплитуда волн этого типа в океане может достигать сотни метров, длина волны — многих километров, но колебания водной поверхности при этом ничтожны. Внутренние волны проявляются на поверхности океана, воздействуя на характеристики поверхностных волн, перераспределяя поверхностно-активные вещества. По этим проявлениям они и могут быть обнаружены на поверхности океана. Так как поверхностные гравитационно-ка-пиллярные волны и поверхностно-активные вещества сильно влияют на коэффициент отражения электромагнитных, в том числе световых волн, внутренние волны хорошо обнаруживаются дистанционными методами, например, они видны из космоса. Внутренние волны по сравнению с обычными поверхностными гравитационными волнами обладают рядом удивительных свойств. Например, групповая скорость внутренних волн перпендикулярна фазовой, угол отражения внутренних волн от откоса не равен углу падения. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...