Координаты декартовы естественные

Переход от уравнений движения в декартовых координатах к естественному уравнению движения. Если уравнения движения точки даны в декартовых координатах [c.229]

Если применять систему 2N координат х , в которой N координат совпадает с обобщенными координатами у>, а остальные N — с обобщенными импульсами Р), то отмеченные тензорные свойства Р] сохраняются лишь тогда, когда система координат х —декартова. В какой-либо иной системе координаты не являются тензорными величинами. Следовательно, в системе координат X естественная метрика является евклидовой. [c.389]

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

Среди возможных систем координат наибольшую важность для практических целей имеют ортогональные системы координат. Эти системы таковы, что во всех точках векторы естественного базиса являются взаимно ортогональными (хотя и не обязательно имеют единичную длину). Наряду с декартовыми координатами известными примерами ортогональных систем являются цилиндрическая и сферическая системы координат. [c.79]

Такие течения являются безвихревыми (W = 0), и естественный базис декартовой системы координат (постоянный во всех точках пространства) таков, что в нем [Р ]ь выражается уравне- [c.193]

Если точка движется прямолинейно, то, приняв ее траекторию за координатную ось, определим движение точки одним уравнением. В этом случае координатный способ определения движения точки совпадает с естественным, а дуговая координата становится идентичной декартовой. [c.21]

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде [c.107]

Определенные проекции ускорения на декартовы (или естественные) оси координат следует подставить в уравнения движения и найти проекции действующей (равнодействующей) силы на соответствующие оси [c.212]

Проектируя обе части векторного уравнения (4) на оси той или иной системы координат, можно получить дифференциальные уравнения движения свободной точки в этой системе. Чаще всего пользуются осями прямоугольной декартовой системы координат или осями естественного трехгранника. [c.449]

Тождество (2.23) представляет собой теорему о среднем для бигармонической функции. Как отмечалось (см. (4.7) гл. II), все компоненты смещений в декартовых координатах являются бигармоническими функциями, и поэтому для них справедливо равенство (2.23). Естественно, что оно справедливо и для их производных по декартовым координатам. [c.263]

Поставленную задачу естественно решать в сферических координатах воспользовавшись уравнениями (7.8.6) и (7.3Л), можно решать ее в декартовых координатах и лишь окончательный результат представить в сферических. Мы пойдем по этому второму пути. При наличии сферической симметрии перемещения направлены по радиусам, выходящим из центра симметрии, и величина перемещения зависит только от расстояния точки до центра симметрии г. Компоненты перемещения щ будут проекциями вектора радиального перемещения Ur на направления соответствующих осей, т. е. [c.274]

Наша задача теперь будет состоять в том, чтобы получить условие пластичности и закон течения для общего случая произвольного напряженного состояния. Рассмотрим элемент в декартовых прямоугольных координатах, компоненты тензора напряжения Oij можно принять за обобщенные силы, действующие на этот элемент. Соответствующие обобщенные скорости будут 8у. Если деформации малы, то е = ёц, но это предположение не обязательно. Естественно предположить, что пластическое состояние будет достигнуто тогда, когда некоторая функция от компонент тензора напряжений достигнет предельного значения [c.481]

Может показаться, что рассмотренная задача имеет лишь академический интерес, так как все обобщенные координаты редко бывают циклическими. Однако каждая материальная система может быть описана с помощью обобщенных координат не единственным образом. Рассматривая, например, движение точки в плоскости, можно взять в качестве ее обобщенных координат либо декартовы координаты х, у, либо полярные координаты г, 0. Каждый из этих вариантов, конечно, одинаково допустим, и вопрос о том, какой из них лучше, определяется конкретными особенностями рассматриваемой задачи. В случае, например, центральных сил координаты х, у являются менее удобными, так как ни одна из них не является циклической, в то время как среди координат г, 0 есть циклическая — угол 0. Следовательно, цикличность координат связана со способом их выбора, и в каждом конкретном случае можно подобрать такую систему обобщенных координат, что все они будут циклическими. Разумеется, если такая система будет найдена, то дальнейшее решение задачи станет тривиальным. Но так как те обобщенные координаты, которые мы рассматриваем как наиболее естественные для данной системы, обычно не являются циклическими, то мы должны разработать специальную процедуру для перехода от одной системы координат к другой, являющейся более подходящей. [c.264]

Задачу изгиба круглой пластины естественно рассматривать в полярных координатах, определяя положение точки на срединной плоскости углом ф и радиусом г (рис. 2.16). Преобразуем основные зависимости, установленные в 5, к полярным координатам. При этом воспользуемся формулами (2.14), (2.15), связывающими производные функции w в неподвижных декартовых координатах и ее производные по дуге s и по нормаЛи к дуге. Взяв в качестве дуги окружность радиуса г, имеем [c.81]

Скорость и ускорение точки в декартовых и естественных координатах. [c.333]

Речь здесь идет о сопоставлении вектора dR вектору dr, и естественно, что решение связывается с введением в рассмотрение тензора второго ранга. Действительно, рассматривая вектор-радиус R точки У-объема как функцию материальных координат, за каковые можно принять, в частности, декартовы координаты о., 0.2, аз этой точки в w-объеме, имеем по (II. 2.11) [c.57]

Наиболее простой вид все функционалы и их дополнительные и естественные условия имеют в прямоугольной декартовой системе координат, в которой все параметры Ляме равны единице, а все символы Кристоффеля равны нулю. [c.95]

Если выполнено условие (15.22.6) и если исходные данные задачи, т. е. величины Xj, Х2, Z, Е, h, v, T j, Г1,2, представляют собой достаточно гладкие функции точек поперечного сечения оболочки, то усилия и перемещения, отмеченные индексом (б), определяются формулами (13.1.8), (13.1.11), так же как достаточно гладкие функции точе поперечного контура, и будут зависеть от константы j. Последнюю надо выбрать так, чтобы при интегрировании первого равенства (15.22.5) для функции Е ( 2) выполнились условия возврата (иначе Uj, как функция точек поперечного сечения, будет иметь скачок). Константа j, получающаяся при интегрировании первого равенства (15.22.5), останется неопределенной. Это естественно, так как шарнирная опора не препятствует смещению оболочки как жесткого целого в направлении оси X декартовой системы координат. [c.225]

В отличие от естественного базиса декартовых координат ik [c.21]

При рассмотрении задач о круглой пластинке естественно перейти от декартовой к полярной системе координат г, <р (рис. 34) [c.120]

В общем случае оптическое поле можно записать в виде функции, зависящей как от пространственной координаты х, так и от времени /. Мы будем рассматривать лишь одну декартову составляющую вектора электрического поля и предполагать, что свет имеет узкую ширину спектра следовательно, оптическое поле можно будет записать как V х, t). Вообще говоря, поле является комплексной функцией, и естественные флуктуации светового потока вызывают изменения, происходящие со скоростью, приблизительно равной 10 раз в секунду. Обычно задача состоит в том, чтобы обнаружить это поле с помощью детектора, который интегрирует по интервалу времени, значительно большему, чем 10 с. В результате измеряется интенсивность, определяемая выражением [c.40]

Как видно из рис. 1-1, базис, дуальный естественному, в каждой точке образуется векторами, ортогональными трем поверхностям, проходящим через точку X, вдоль которых одна из координат остается постоянной. Если система координат декартова, то векторы естественного базиса совпадают с соответствующими векторами дуального базвса во всех точках, как для любого ортонормального базиса. [c.18]

ОСИ в блоке пересчета (БП) пересчитываются к инерциальным осям с использованием полученной матрицы ориентации. Вычисленные проекции кажущегося ускорения на инерциальные оси (полученный вектор rij) передаются в блок решения навигационного алгоритма (НА), векторная форма которого задана системой (3.64). Выходные параметры ВИНС в этом случае представляются инерциальными декартовыми координатами радиус-вектора местоположения Я/ = [Xj, Yj, Zj] , проекциями абсолютной скорости движения Vj — [Vxi, Vyi, VziV, a также матрицей ориентации ЛА в выбранной инерциальной системе координат А. Естественно, что при необходимости из матрицы ориентации А могут быть получены углы ориентации ЛА относительно осей инерциальной системы координат. [c.82]

Введенная система координат з, т]), естественно, не является единственно возможной. Преимущество ее перед обычно используемыми системами координат — декартовой, цилиндрической и сферической— состоит в том, что границы исследуемой области в координатах 8, 1 ) обычно являются плоскими или прямыми линиями. Система координат х, 1 ) не является ортогональной подобные системы координат называют нормальными. При решении прямой задачи также используются координаты, в которых границы области переходят в плоскости или прямые липии, что достигается соответствующей нормировкой переменной у. [c.38]

Поляризация рассеянного света. Пусть имеем изотропную молекулу. Направим на нее естественный свет. Свяжем с ее центром декартову систему координат так, чтобы ось х совпала с первоначальным направлением падения света. Наблюдение будем производить на плоскости ху (рис. 13,4). Разложим электрический вектор падающего естественного света на две взаимно перпендикулярные составляющие но осям Z W у. Очевидно, что при наблюдении вдоль оси у, т. е. при величине угла рассеяния гр = 90", ввиду того что электрический вектор светового поля всегда колеблется перпендикулярно направлению наблюдения (из-за понеречности световых волн), до нас (до наблюдателя, смотрящего под углом ср = 90 ") дойдет лищь световой сигнал, обусловлегщый колебанием электрического вектора только в направлении вдоль оси 2. Колебание электрического вектора вдоль оси у не может вызвать распространение света в том же направлении (вдоль оси у). [c.315]

Движение точки можно рассматривать не только относительно неподвижной декартовой системы координат, но и относительно подвижных естественных осей, связанных с самой дви-окущейся точкой. [c.142]

Угол Ою может быть вызван деформацией стержня, но может быть и не связан с деформацией, как, например, для естественного закрученного стержня (сверла). Получим выражения для кривизны Пз и кручения Qi через декартовы координаты точки кривой, используя естественный базис. Так как с12г [c.303]

Естественные уравнения движения. Введем вместо декартовых осей координат естественные оси (см. рис. 7.9) МхпЬ (Л/т — касательная, Мп — главная нормаль и МЬ — бинормаль к траектории в точке Л/ — см. п. 3.3 гл. VII). По формулам (7.25а) и (7.26) проекции вектора ускорения на эти оси равны соответственно [c.243]

Напишите дифференциальные уравнення движения материальной точки в проекциях на оси неподвнжиой декартовой системы координат и на естественные оси. [c.121]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса = г , векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами ik = к/ Yikk (не суммировать). Тогда физические компоненты вектора или тензора, т. в. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом [c.232]

В качестве такой системы естественно принять материальную точку, движение которой происходит в плоскости ху под действием сил консервативного поля, причем хну — обычные декартовы координаты. Можно, разумеется, принять и более сложную систему, для которой х и. у будут лагран-жевыми координатами. [c.542]

Рассмотрим трехмерное евклидово пространство, в котором введена прямоугольная декартова система координат с ортонор-мальными базисными векторами ki, кз. Наряду с декартовой системой координат рассмотрим систему координат % являющуюся системой отсчета для описания движения некоторого тела В. Предполагаем, что процесс движения описывается некоторым монотонно возрастающим параметром деформирования е [О, Г], Т > 0. Отметим, что при решении динамических задач параметром деформирования всегда выступает естественное время (для краткости в дальнейшем этот и другие параметры называем временем). Однако для описания квазистатического движения (при пренебрежении инерционными членами) могут использоваться и другие параметры (например, при решении задач об упругом или упругопластическом деформировании тел в качестве параметра t можно использовать внешнюю силу или характерное перемещение, но при решении задач с учетом деформаций ползучести всегда используется естественное время). [c.19]

L-КООРДИНАТЫ. При использовании треугол,ьных элементов применение декартовой системы координат во многих случаях неудобно. Для треугольника с узлами г, /, k (рис. 53, а), более естественно ввести систему координат [c.213]

Введенный соотношением (3.2) в прямоугольных декартовых координатах градиент симметричного тензора естественным путем обобш ается на случай криволинейных координат [c.90]

Рассмотрим класс задач описаний нелинейных деформаций трехмерных тел при интенсивных распределенных илн локализованных поверхностных силах с выделением фиксированным направлением воздействия е. Естественно предполагать, что вдоль этого направления скорости перемещения материальных точек тела и перемещения будут максимальными но сравнению со скоростями и перемещениями в плоскости, ортогональной вектору е. Введем в теле лаграййсеву систему координат 0 , совпадающую с прямоугольной декартовой системой координат при t = to, так что направление 03 совпадает с направлением вектора нагрузок (е = ез),. Вектор перемещений представлен в базисе С [c.36]

Выбор системы координат определяется, с одной стороны, характером движения точки (прямолинейное движение, движение на плоскости, движение в пространстве), с другой стороны, видом действующих на точку сил. Так, например, при прямолинейном движении точки естественно выбрать за ось координат прямую, по которой движется точка. При движении точки на плоскости под действием постоянных сил и сил, зависящих от скорости, можно применить декартовы координаты. Примером такого движения является движение точки, брощенной наклонно к горизонту, под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...