Базис естественный

Теперь построим местный координатный базис естественной системы координат (рис. 26). Проведем в точке М кривой единичный вектор касательной т и единичный вектор главной нормали V. Они определят первую грань естественного координатного [c.87]

Если координатная система введена, то обычно в каждой точке пространства выбирают векторный базис, называемый естественным базисом и определяемый как [c.16]

Оказывается также удобным в каждой точке пространства ввести еще один базис, дуальный естественному базису, векторы которого обозначаются через е , е, е . Два базиса являются [c.17]

Как мы видели при обсуждении компонент вектора, векторный базис, вообще говоря, связан с некоторой координатной системой. Используя естественный базис и дуальный, ему базис е можно определить следующие типы тензорных компонент [c.23]

Специальное замечание следует сделать о компонентах единичного тензора 1. Согласно уравнениям (1-3.17) — (1-3.20), эти компоненты представляют собой скалярные произведения векторов естественного и дуального к нему базисов. [c.26]

Это означает, что градиенты полей координат представляют собой векторы базиса, дуального к естественному базису. [c.31]

Среди возможных систем координат наибольшую важность для практических целей имеют ортогональные системы координат. Эти системы таковы, что во всех точках векторы естественного базиса являются взаимно ортогональными (хотя и не обязательно имеют единичную длину). Наряду с декартовыми координатами известными примерами ортогональных систем являются цилиндрическая и сферическая системы координат. [c.79]

При использовании ортогональных координатных систем часто оказывается полезным рассмотреть физические компоненты векторов и тензоров. Так называются их компоненты относительно, ортогонального базиса, образованного векторами, имеющими те же самые направления, что и векторы естественного базиса (который, кроме того, совпадает с дуальным). [c.79]

Векторы ортогонального базиса, связанного с естественным базисом (или его дуальным) ортогональной системы координат, будут обозначаться через е(г). Поскольку они имеют единичную, длину, то задаются как [c.79]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

В вышеприведенных уравнениях (Xt) есть естественный базис в точке Xj, в то время как в (X) — естественный базис в точке X. Эти два базиса в общем случае различны. [c.97]

Поскольку у и равны нулю, а вектор естественного базиса в направлении г имеет единичную длину, уравнения (3-6.13) можно также интерпретировать как соотношения, определяющие контравариантные компоненты скорости. Таким образом, можно записать [c.125]

Такие течения являются безвихревыми (W = 0), и естественный базис декартовой системы координат (постоянный во всех точках пространства) таков, что в нем [Р ]ь выражается уравне- [c.193]

Стандартные вычисления позволяют получить матрицу тензора F в естественном базисе системы х [c.286]

Естественно потребовать, чтобы скалярное произведение не менялось при переходе к другим базисным векторам. Тогда коэффициенты скалярного произведения должны подчиняться специальному закону преобразования. Укажем этот закон. Пусть базис e ,... , е связан с базисом 01,..., е посредством формул [c.16]

Формулу (11.44) можно рассматривать как результат разложения вектора w по координатным векторам естественного координатного базиса. Проекции ускорения на оси естественного координатного базиса определяются такими формулами [c.88]

На рис. 1.5 показаны две системы связанных координатных осей естественная система с базисом и система осей, свя- [c.18]

Входящие в матрицу Al элементы 1ц° есть элементы матрицы L° (матрицы преобразования базиса i/ к базису еш , связанному с естественным состоянием стержня). [c.46]

Так как при деформировании стержня мертвая нагрузка по отношению к связанным осям меняет свое направление, то проекции векторов q, Р( ц и Т< ) на связанные оси зависят от приращения углов (углов, характеризующих взаимное положение векторов е/о и е /). Матрица преобразования базиса i, к базису е, имеет вид L< )=LL , где L° — матрица преобразования базиса i/ к базису е,о , характеризующему естественное состояние стержня L — матриц,а преобразования базиса е,о к базису е, , характеризующему состояние стержня на т-ш этапе нагружения. Элементы матрицы L(Z/,) зависят от углов [c.84]

Получим выражения для приращения вектора Ро, следящего за прямой А—А, линия действия которого при деформировании стержня остается в плоскости, перпендикулярной этой прямой (см. рис. 3.10). На рис. 3.10 показаны два состояния элемента стержня — естественное и 2—нагруженное. При переходе элемента стержня из состояния 1 в состояние 2 под действием силы Ро положение силы Ро относительно связанных осей (базиса е, ) изменяется на величину ЛР, определяемую по формуле [c.114]

В и. 2.3 был получен вектор х, характеризующий поворот произвольного базиса при перемещении по кривой линии, например базиса, у которого j и ез направлены не по главной нормали и бинормали к кривой линии (как у естественных осей), а по главным осям сечения стержня. Такой базис е, показан на рис. П.13. Главные оси (ег и ез) повернуты на угол дю относительно естественных осей. Найдем компоненты вектора и в главных осях сечения стержня. Матрица перехода от базиса е, к базису е, имеет вид [c.303]

Векторные базисы Rm и R называются естественными базисами, соответствующими данным криволинейным координатам. [c.21]

В отличие от естественного базиса декартовых координат ik [c.21]

При замене координат по формулам Q =Q (Q , Q , Q ) естественные векторные базисы преобразуются по формулам 0.5)—(1.7), при этом А =idQ" / Q - [c.22]

Пользуясь понятием полного рационального матричного базиса [84], можно и в этом случае дать представление оператора (3.26) в виде, аналогичном (3.18). Естественно считать, что f называется квазилинейным по а, если полученное его представление содержит только члены, линейные по тензорному аргументу д. [c.27]

Поскольку оцениваемая математическая интерферограмма является функцией, близкой к гармонической, наиболее естественно использовать при фильтрации интерферограмм базис комплексных экспоненциальных функций, соответствующий дискретному преобразованию Фурье. При этом для вычисления спектров Фурье интерферограмм можно пользоваться алгоритмами быстрого преобразования Фурье, а при фильтрации — диагональными фильтрами-масками (9.15). [c.183]

Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова — Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [c.222]

Начальное напряженное состояние Будем предполагать, что существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигурация (НДК) упругого тела, заданная радиус-вектором Ri = [Х1, Х2, Х ), которая в векторном базисе естественной конфигурации определяется градиентом места l = VqRi. Напряженно—деформированное состояние среды в НДК задается тензором Пиола IIi = II( i). [c.34]

Если подставить (2.1.8) в уравнения (2.1.1) и граничные условия (2.1.2), затем учесть (2.1.9), то, сохраняя линейные по т] члены, придем к определенной в базисе естественной конфвггуращти краевой задаче относительно перемещения и, которая описывается линеаризованной системой уравнений [c.36]

Предел этого отношения при Y, стремящемся к X, т. е. при -> -> О, есть вектор ej. Векторы и получаются аналогично. Таким образом векторы естественного базиса в любой точке касательны к трем кривым, проходящим через X, вдоль которых меняется только одна координата (рис. 1-1). Этот базис, ворбще говоря, не [c.17]

Как видно из рис. 1-1, базис, дуальный естественному, в каждой точке образуется векторами, ортогональными трем поверхностям, проходящим через точку X, вдоль которых одна из координат остается постоянной. Если система координат декартова, то векторы естественного базиса совпадают с соответствующими векторами дуального базвса во всех точках, как для любого ортонормального базиса. [c.18]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

Получим выражения для Доа в зависимости от малых углов поворота базиса е, относительно базиса tjo . В выражение для угла атаки (6.66) входят элементы /21 , lis, 4 , зз матрицы (П.57). Матрица L( )=LL<°>, где — матрица (П.55) преобразования базиса (ij к базису jo (базис е о связан с естественным состоянием стержня) L — матрица преобразования базиса ji i к базису j . Элементы / / матрицы считаются извест-гными. При малых углах поворота связанных осей матрица L (П.46) определяется так [c.254]

Получим матрицу L преобразования базиса i , который совпадает с базисом е,оо), связанным с осевой линией прямолинейного стержня (рис. П.8), к базису е/о , связаино.му с осевой линией криволинейного стержня. Базис е,о1 характеризует естественное состояние стержня до нагружения. Соответствующие углы поворота обозначим й . Матрицу 1.° получают аналогично матрице L [c.298]

Угол Ою может быть вызван деформацией стержня, но может быть и не связан с деформацией, как, например, для естественного закрученного стержня (сверла). Получим выражения для кривизны Пз и кручения Qi через декартовы координаты точки кривой, используя естественный базис. Так как с12г [c.303]

Стационарные состояния. Пропага-тор 0 t) в картине Шредингера наиболее естественно выразить в энергетическом представлении. В качестве ортонормированного базиса в этом случае берутся собственные векторы I ) не зависящего от времени оператора Гамильтона Я, принадлежащие собственным значениям энергии Е. Векторы IЕ) удовлетворяют не зависящему от времени уравнению Шредингера [c.157]

Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса = г , векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами ik = к/ Yikk (не суммировать). Тогда физические компоненты вектора или тензора, т. в. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом [c.232]

Аналогично можно показать, что Хао есть кривизна плоской кривой в плоскости (сзд, gjo), следовательно, в общем случае пространственной кривой Xgo и Хдо — проекции кривизны пространственной кривой на плоскостях, определяемые векторами (ёзо. ёю) и (бю, ёао)- Рассмотрим частный случай кривой — прямую. При перемещении начала базиса е о по прямой возможен только поворот осей относительно вектора (совпадающего с этой прямой), т. е. до О, а фо = -фо = 0. Например, прямая является Ьсью естественно закрученного стержня, у которого положение главных осей сечения (по которым направлены векторы 20 и зо) зависит от координаты s. [c.23]

К. Маркс указывал Водная сила — такая естественная сила, которая ...не относится ни к числу общих условий соответственной сферы производства, ни к числу таких ее условий, которые можно создать как общие условия (К. Маркс, Капитал, т. III, стр. 569, Москва, Партиздат, 1936 г.). По своему существу водные силы как силы природы являются базисом ...исключительно повыщенной производительной силы труда (К. Маркс, Капитал, т. III, стр. 570, Москва, Партиздат, 1936 г.). [c.16]

Переход в граничных величинах от тангенциального базиса ei, eg, n к естественным для контура 6 = onst направлениям ег, бф, Сг осуществляется с помощью матрицы поворота (см. (15.51)) [c.542]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...