Лагранжиана векторное поле

Сказанное дополнительно поясним следующим образом. Представим себе поток воды (например, на лабораторной площадке), который мы наблюдаем в плане (сверху). Предположим, что над таким потоком установлен фотографический аппарат, который через определенные постоянные промежутки времени dt фотографирует изменяющееся во времени векторное поле скоростей движения частиц жидкости (считаем, что выполнение такой фотографии возможно). Очевидно, что, используя при рассмотрении данного примера метод Эйлера, мы сможем пользоваться зависимостью Лагранжа (3-4) только при соблюдении следующего условия упомянутые выще фотографии векторных полей должны осуществляться не через произвольные промежутки времени, а через отрезки времени, равные [c.74]

Не следует смешивать понятие равномерного (или неравномерного) движения данной (одной) частицы жидкости с понятием одновременного равномерного (или неравномерного) движения множества жидких частиц . Кроме того, необходимо учитывать, что при определении рассматриваемых понятий применительно к случаю неустановившегося движения исходят из представлений Эйлера (а не Лагранжа см. 3-2). В связи с этим, рассматривая векторное поле скоростей, отвечающее данному моменту времени, считают, что если это поле является так сказать однородным в отношении скоростей (т. е. в пределах данного поля векторы скоростей всюду одинаковы и по их значению и по их направлению), то такое движение может быть названо равномерным в данный момент времени если же это поле скоростей является неоднородным, то отвечающее ему движение, естественно, должно быть названо неравномерным в данный момент времени. [c.92]

Иначе, если виртуальное векторное поле Ь совпадает с действительным векторным полем, то функционал (2.1.7) Ж Лагранжа принимает экстремальное значение. Кроме того, в соответствии с вариационным принципом Ж.Лагранжа среди множества КВ-полей Перемещений (скоростей) Р-поля при условии [c.181]

Ур-ние поля (3), а также выражение для энергии и импульса Э. п. можно получить, исходя из лагранжиана для векторного поля с нулевой массой [c.468]

Инвариантность действия по Гамильтону относительно групп преобразований конфигурационного пространства тесно связана с законами сохранения— интегралами уравнений Лагранжа. Пусть у х) — векторное поле на М. Ему можно сопоставить дифференциальное уравнение [c.56]

Существ, продвижение в решении этой задачи было достигнуто в 50—70-х гг. на основе развития идеи о векторных калибровочных полях, сформулированной в уже упоминавшейся работе Янга н Миллса. Отталкиваясь от известного положения о том, что всякий наблюдаемый экспериментально закон сохранения связан с инвариантностью описывающего систему лагранжиана относительно [c.605]

Решение. Запишем функцию Лагранжа, используя понятие векторного потенциала однородного магнитного поля А=НХг/2, где Н — напряженность магнитного поля, L=mt> /2-f-(e/ )A-v—бф. [c.117]

Будем исходить из релятивистского лагранжиана. Подставляя в (2.35) цилиндрические координаты и их коэффициенты Ляме (формула (1-10)) и вспоминая обсуждение формулы (3.347), приведшее к заключению, что в аксиально-симметричных полях только азимутальная компонента A(r,z) магнитного векторного потенциала отлична от нуля, получим [c.179]

Гамильтониан (М.4) не является калибровочно инвариантным, так как он содержит и векторный потенциал, и его первую производную. Чтобы выразить потенциал только через электрическое и магнитное поля, мы сначала вычислим соответствуюш,ий лагранжиан а затем прибавим к нему полную п изводную по времени. Исходя из этого эквивалентного лагранжиана мы получим соответствуюш,ий ему гамильтониан Заметим, что аналогичная процедура уже применялась в разделе 14.6.1, однако теперь будет также учтено движение центра масс. [c.723]

Метод Лагранжа может быть с успехом применен не только к сложным системам со связями, но и к свободной точке, находящейся в потенциальном поле. При этом сила при описании движения и векторные уравнения заменяются соответственно функцией Лагранжа и скалярными уравнениями Лагранжа. В качестве примера рассмотрим свободную материальную точку в однородном поле (поле тяготения). За обобщенные координаты возьмем декартовы, оси Ох и Оу расположим в плоскости горизонта, а ось Oz направим вертикально вверх. Располагая функцией Лагранжа [c.190]

Заряженная частица в электромагнитном поле. Предположим, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью света в пустоте. Положение частицы будем временно определять декартовыми координатами Обозначая через Ф(л , у, г) потенциал электрического поля, через Ах, Ау, Аг проекции векторного потенциала, запишем функцию Лагранжа [c.345]

Здесь р — плотность резины, f(r, t) — поле внешних массовых сил, /г(г, t) — неопределенный множитель Лагранжа соответствующей голономной связи, W 4(Q) — пространство Соболева векторных функций, компоненты которых и их первые производные суммируемы в четвертой степени. На этом пространстве определен функционал потенциальной энергии деформаций резины, и в него вложено конфигурационное пространство системы, определяемое голономной связью (несжимаемость резины). Скорости точек упругого тела принадлежат пространству векторных функций Ь2(П), на котором определен функционал кинетической энергии. Заметим, что голономная связь в данном случае (условие несжимаемости резины) определена на пространстве векторных функций У з(0), [c.281]

А = (ф. А), где ф — скалярный, А — векторный потенциалы. Плотность лагранжиана вз-ствия L поля с зарядом записывается в виде скалярного произведения [c.873]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Л. ф. играет важную эвристич. роль при построении матем. описания новой области явлений. Действительно, в соответствии с требованиями инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре и др. групп симметрии может зависеть только от инвариантных комбинаций полей, к-рые нетрудЕШ перечислить. Если по соображениям простоты оставить в инварианты мнним. степени по полям, пол> чаю-щиеся из Л. ф. ур-ния движения часто оказываются линейными. В этом случае они наз. уравнениями свободного ноля. Так, для векторного поля с абелевой калибровочной гру1Пюй (напр., эл.-маги. поля) все возможные лагранжианы эквивалентны выражению — /4 jiv uv тензор поля F = [c.544]

В этом последнем рассуждении мы не случайно использовали выражение для спектра колебаний только модуля параметра порядка, но не его фазы. Дело в том, что при взаимодействии скалярного поля с градиентно-инвариантным векторным полем (это означает физическую неразличимость полей А и Л + УФ, где Ф — некоторая функция) частица Голдстоуна становится нефизической и может быть устранена градиентным преобразованием. В самом деле, выбирая функцию Ф равной /е, можно после подстановки (15) полностью исключить фазу в параметра порядка из лагранжиана (18) ). [c.188]

Для любого значения imodx второй дифференциал функции Лагранжа по скорости является положительно определенной квадратичной формой и определяет скалярное произведение (,) на касательном пространстве Т- щМ. Пусть — ковариантная производная вектощото поля вдоль 7, согласованная с метрикой ( , + "п)- Вторая вариация функционала S в критической точке т является квадратичной формой на множестве гладких т-периодических векторных полей I вдоль у [c.158]

Для описания процессов, происходящих с Э. ч., в КТП используется т. н. лагранжев формализм, В лагранжиане (точнее, плотности лагранжиана) =5 , выражающемся через поля, заключены все сведения о динамике полей. Знание позволяет в принципе, используя аппарат матрицы рассеяния ( "-матрицы), рассчитывать вероятности переходов от одной совокупности ч-ц к другой под влиянием разл. вз-ствий. Лагранжиан включает в себя лагранжиан описывающий поведение свободных полей, и лагранжиан вз-ствия вз- построенный из полей разных ч-ц и отражающий возможность взаимопревращений ч-ц. Знание =5 вз явл. определяющим для описания процессов с Э. ч. Выбор возможного вида существ, образом определяется требованием релятивистской инвариантности. Критерии для нахождения вида =5 вз (исключая давно известный вид для эл.-магн. процессов) были сформулированы в 50—70-х гг. при выяснении важной роли симметрии в определении динамики взаимодействующих полей. Существование той или иной симметрии вз-ствия устанавливается по наличию сохранения в процессах определ. физ. величин и соответствующих им квант, чисел. При этом точным квант, числам отвечает точная симметрия (т. е. симметрия всех классов вз-ствий), неточным квант, числам — симметрия лишь части вз-ствий (напр., сильного и эл.-магн.). Симметрия в сочетании с важным физ. требованием её соблюдения при произвольной зависимости преобразований группы симметрии от точки пространства-времени [локальная калибровочная инвариантность Янг Чжэньнин, Р. Миллс, США, 1954 (см. Калибровочная симметрия)], как оказалось, полностью задаёт вид вз- Требование локальной калибровочной инвариантности, физически связанное с тем, что вз-ствие не может мгновенно передаваться от точки к точке, удовлетворяется лишь в том случае, когда среди нолей, входящих в лагранжиан, присутствуют векторные поля (аналоги эл.-магн. поля), взаимодействующие с полями Э. ч, вполне бпредел. образом, а именно [c.900]

Метод Эйлера в аэрогидромеханике получил более широкое распространение, чем метод Лагранжа, так как наибольший интерес в прикладных задачах представляет информация о векторных и скалярных полях, характеризующая движение жидкости, а не информация о движении индивидуальных частиц жидкости. [c.232]

МЕТАЛЛОФИЗИКА — раздел физики, в котором изучаются структура и свойства металлов МЕТОД [аналогии состоит в изучении какого-либо процесса путем замены его процессом, описываемым таким же дифференциальным уравнением, как и изучаемый процесс векторных диаграмм служит для сложения нескольких гармонических колебаний путем представления их посредством векторов встречных пучков используется для увеличения доли энергии, используемой ускоренными частицами для различных ядерных реакций Дебая — Шеррера применяется при исследовании структуры монохроматических рентгеновских излучений затемненного поля служит для наблюдения частиц, когда направление наблюдения перпендикулярно к направлению освещения Лагранжа в гидродинамике состоит в том, что движение жидкости задается путем указания зависимости от времени координат всех ее частиц ин1 ерференционного контраста служит для получения изображений микроскопических объектов путем интерференции световых воли, прошедших и не прошедших через объект меченых атомов состоит в замене атомов исследуемого вещества, участвующего в каком-либо процессе, их радиоактивными изотопами моделирования — метод исследования сложных объектов, явлений или процессов на их моделях или на реальных установках с применением методов подобия теории при постановке и обработке эксперимента статистический служит для изучения свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью математической статистики, закономерностей теплового движения огромного числа микрочастиц, образующих эти системы совнадений в ядерной физике состоит в выделении определенной группы одновременно происходящих событий термодинамический служит для изучения свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергии Эйлера в гидродинамике заключаегся в задании поля скоростей жидкости для кинематического описания г чения жидкости] [c.248]

Динамика многомерных Т. с. Топологич. анализ дефектов даёт лишь качественные ответы и необходимые критерии существования стабильных Т. с. типа наличия изоморфизмов = Z для пространств вырождения параметров порядка. При этом в роли параметров порядка могут фигурировать скалярные, комплексные, векторные и в общем случае тензорные поля. Количественное описание Т. с, основывается на построении, как правило, нелинейных дикамич, моделей, обладающих след, свойствами (а) ур-ния Эйлера — Лагранжа модели допускают регулярные локализованные решения с конечными динамич. характеристиками (энергией, импульсом, моментом импульса и т. д.) (б) состояния наделены нетривиальными топологич. характеристиками Q (зарядами, индексами и т. д.) (в) функционал энергии модели оценивается снизу через топологич. инвариант Q < > /(Q), = onst, что обеспечивает динамич. устойчивость Т. с. [c.138]

Но, как известно, для изучения ряда вопросов кинематики движения среды, за исключением вопроса об ускорении частицы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно на точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей. При изучении поля скоростей движения среды по методу Эйлера мате.мати-ческая операция осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести сглаживание вводимых кине.чатических и динамических характеристик движения среды. При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпевают скачкообразные изменения от одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другой. Сама по себе операция осреднения (2.25) позволяет только по скачкообразным значениям вектора скорости в пределах фиксированного объёма "1 и фиксированного интервала времени получить некоторое значение вектора скорости, которое мы относим к центру объёма и к центру интервала вре.мени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта операция осреднения будет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объёма т и фиксированного интервала времени t. В этом случае каждый следующий фиксированный объём будет обязательно налагаться на предшествующий в своей большей части и каждый следующий интервал времени будет перекрывать не полностью предшествующий интервал времени. Таким образом, математическая операция осреднения в данном случае позволяет перейти от полей векторных и скалярных величин, скачкообразно меняющихся во времени и в пространстве, к полям тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Однако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрение дополнительных местных полей (с размерами фиксированного объёма осреднения) пульсаций соответственных величин, причём эти пульсации изменяются скачкообразно во времени и в пространстве. С помощью операции осреднения поле, например, вектора скорости истинного движения жидкости в некотором конечном объёме, намного превышающем объём осреднения г, заменяется двойным полем, составленным из поля вектора осреднённой скорости, зани.мающего весь конечный объём, и из накладывающихся частично друг [c.446]

Представленный материал располагается в следующей последовательности сначала излагаются законы сохранения нелинейной теории упругости в их каноническом варианте [2] и необходимые для дальнейшего элементы теории поля, затем на основании теоремы Нетер (Е. Noether) [3] получена общая форма закона сохранения, соответствующая той или иной вариационной симметрии действия, далее с помощью базовых вариационных симметрий даются канонические определения всех важнейших векторных и тензорных полей нелинейной механики сплошных сред, необходимые для вывода нетривиальных законов сохранения в общем нелинейном случае (в том числе с учетом динамического вклада в функционал действия), и, наконец, обсуждается ограниченный вариант теории вариационных симметрии, развитый в [4]. В качестве дополнения следует рассматривать последний раздел статьи, посвященный лагранжиану пустого пространства. Добавление лагранжиана пустого пространства к лагранжиану физического поля не изменяет условий стационарности действия, хотя и может изменять выражения для канонических тензоров. Понятие о лагранжиане пустого пространства совершенно необходимо для установления степени определенности канонических тензорных полей, входящих в формулировку как классических, так и нетривиальных законов сохранения. [c.658]

В правой части уравнения (1.13), как легко заметить, стоит выражение для силы Лорентца. Этот факт подтверждает правильность выбора лагранжиана в форме (1.7). Заметим также, что согласно (1.14) электрическое поле Е состоит пз двух частей первая определяется электростатическим потенциалом ф, а вторая — производной по времени от магннтпого векторного потенциала Л. [c.745]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...