Пространство состояний движения

Здесь подразумевается, что длина отрезков и ход времени не зависят от состояния движения и, следовательно, одинаковы в обеих системах отсчета. Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в самой основе представлений ньютоновской механики, представлений, основанных на обширном экспериментальном материале, относящемся к изучению движений со скоростями, значительно меньшими скорости света. [c.37]

Правая часть этого равенства не изменяется при движении изображающих точек вдоль их траекторий в пространстве состоянии. Таким образом, получен полный относительный инвариант Э. Картана [c.384]

Примеры подобного рода, а также неудачные попытки обнаружить какое-либо движение Земли относительно светоносной среды приводят к предположению, что не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя. Более того, они свидетельствуют о том, что для всех систем координат, в которых выполняются уравнения механики, должны быть справедливы те же самые законы электродинамики и оптики, как это уже было доказано для величин первого порядка малости ). Эту гипотезу (содержание которой мы будем ниже называть принципом относительности ) мы намерены превратить в постулат и введем также другой постулат, который только кажется не согласующимся с первым, а именно, что в пустоте свет всегда распространяется с определенной скоростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела. Этих двух постулатов достаточно для того, чтобы, положив в основу теорию Максвелла для неподвижных тел, построить свободную от противоречий электродинамику движущихся тел. Будет доказано, что введение светоносного эфира излишне, поскольку в предлагаемой теории не вводится наделенное особыми свойствами абсолютно неподвижное пространство , а также ни одной точке пустого пространства, где происходят электромагнитные явления, не приписывается вектор скорости. [c.372]

Образом стационарного движения служит точка, а образом периодического движения — замкнутая линия (траектория) в пространстве состояний о них говорят соответственно как о предельной точке или предельном цикле. Если эти дви>кения устойчивы, то это значит, что соседние траектории, описываю- [c.155]

Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые никлы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее. Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходяш,им через них траекториям, далеко разойдутся первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко. Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. [c.164]

Ввиду упомянутой уже эргодичности движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состояний. [c.167]

В вопросах, изучаемых в настоящем курсе, будут рассматриваться потоки, внутри которых не образуются разрывы, т. е. такие, в которых жидкость сплошным образо.м заполняет пространство. Это обусловливает такое состояние движения, при котором не происходит количественного изменения массы движущейся жидкости. [c.47]

Геометрически состояние многочастичной системы (фаза) изображается точкой в (q, р)-пространстве, которое называется фазовым Т-пространством, а изменение состояния — движением изображающей (фазовой) точки по фазовой траектории. Фазовое пространство одной частицы называется -пространством. [c.185]

При вычислении теплового потока по формуле Ньютона — Рихмана основные трудности заключаются в определении коэффициента теплоотдачи. Важнейшими факторами, влияющими на коэффициент теплоотдачи, являются природа возникновения движения среды у поверхности теплообмена, режим движения среды, физические свойства среды, форма, размеры и положение тела в пространстве, состояние поверхности теплообмена. [c.194]

Поэтому если начальные координаты и начальные скорости удовлетворяют неравенствам (2), то начальная энергия Е < Е. Но при движении консервативной системы ее полная энергия сохраняет свою начальную величину Е и, следовательно, во все время движения Е Е. Поэтому при движении системы точка, изображающая это движение в пространстве состояний, не может достигнуть границы е-окрестности, на которой Е Е, и находится все время внутри этой окрестности. [c.194]

Резюме. Пространство конфигураций канонических уравнений имеет 2п измерений, а именно п позиционных координат qiU п импульсов pt, и все они являются независимыми переменными вариационной задачи. Это 2п-мерное пространство называется фазовым пространством . Вводя время в качестве дополнительной переменной, получим (2п + 1)-мерное пространство, которое называется пространством состояний . Геометрически движение можно представить в виде движения 2/г-мерной жидкости, называемой фазовой жидкостью . Каждая отдельная линия тока движущейся жидкости определяет собой движение механической системы при соответствующих начальных условиях движение жидкости в целом определяет общее решение при произвольных начальных условиях. [c.205]

В пространстве А, движение (1) или, лучше сказать, непрерывная последовательность составляющих его состояний движения будет представлено кривой с параметрическими уравнениями (1), (2). [c.353]

Введем здесь следующий удобный для дальнейшего способ выражения будем называть, отклонением" двух точек q q и q", q" пространства Aj или двух соответствующих состояний движения максимум абсолютных величин [c.353]

Воспользовавшись теперь представлением движения в евклидовом пространстве Е конфигураций, мы увидим, что связи имеют исключительно геометрический характер, т. е. накладывают ограничения только на траектории, но не на закон движения вдоль траектории этот последний для каждой из возможных траекторий можно выбрать произвольно, не нарушая связей. Так как имеет минимум в естественном движении в сравнении со всеми возможными движениями, совместными со связями, то выражение (8 ) для -jf (в котором s имеет значение, определяемое рассматриваемым состоянием движения) позволяет сделать следующие заключения [c.395]

Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше принцип прямейшего пути так для материальной системы с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени связями, на которую не действуют активные силы, естественное движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, происходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент кривизна траектории в представляющем пространстве Е имеет минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совместными со связями. Эта формулировка представляет собою замечательное распространение принципа инерции (т. I, гл. VII, п. 30) с элементарного случая свободной точки на движение материальных систем с какими угодно связями (при отсутствии активных сил и трения). [c.396]

Это определение удобно геометрически интерпретировать в 2п-мерном пространстве состояний qi Qi. На рис. 172 для случая п = 1 изображены две окрестности, задаваемые неравенствами (2) и (3). В случае устойчивости любое движение, начинающееся в момент t = to внутри квадрата со стороной 2 , будет происходить все время внутри квадрата со стороной 2е. [c.490]

Для объяснения законов прямолинейного распространения света были предложены две основные теории. Это — теории Ньютона и Гюйгенса. По мнению Гамильтона, обе они основываются на сравнении, аналогии. Первая сравнивает распространение света с движением частиц применяя к ним принцип инерции, эта теория легко объясняет факт прямолинейного распространения света. Вторая же сравнивает распространение света с распространением звука в воздухе и. водяными волнами. По мнению Гюйгенса, нет такой вещи в обычном смысле слова, такого тела, которое двигалось бы от Солнца к Земле или от видимого объекта к глазу а есть состояние, движение, возмущение, которые были сначала в одном месте, затем в другом ). Эта теория утверждает существование эфира — некоторой среды, непрерывно заполняющей пространство. Развитая и обогащенная Френелем и Юнгом, она дает как будто бы большее согласие с опытными фактами, чем теория Ньютона. [c.807]

Для понимания дальнейшего введем пространство состояний—пространство семи измерений (х, у, 2, х, у, г, 1). Траекторию. можно определить как последовательность состояний, соответствующих одному и тому же реальному движению точки, т. е. как решение системы дифференциальных уравнений [c.845]

Такая геометрическая интерпретация позволяет ввести аналогию с движением 2й-мерной так называемой фазовой жидкости, подобной по поведению обычной жидкости. Каждая линия тока фазовой жидкости— это кривая в пространстве состояний, определяющая движение системы при конкретных заданных начальных условиях. В случае консервативной системы фазовая жидкость движется как несжимаемая, вследствие чего в процессе движения форма области может изменяться, но объем ее сохраняется. Наряду с этим инвариантом имеются и другие. Характер движения фазовой жидкости в пространстве состояний всегда установившийся. [c.46]

Если при описании линейного осциллятора учитываются непотенциальные силы — силы сопротивления, то и в этом случае фазовое пространство и пространство состояний можно ввести, если по прежнему определять импульс как р — тд. При этом траектория движения линейного осциллятора в пространстве состояний представляет собой спираль, на этот раз приближающуюся к оси Л [c.47]

В качестве еще одного примера автоколебательной системы приведем тормозное устройство, изображенное на рис. 17.101. Вращающийся с угловой скоростью Q вал силой трения захватывает тормозную колодку, но при этом возрастает усилие в пружине, создающее момент, имеющий направление, противоположное моменту трения. Когда момент, создаваемый усилием пружины, достигает величины момента сил трения, происходит преодоление сцепления вала с колодкой и колодка возвращается в направлении, противоположном вращению вала на угол (Л1о — М )1с. После этого вновь происходит захватывание колодки валом и все повторяется. Торможение происходит за счет наличия момента, создаваемого усилием в пружине, действующего в направлении, противоположном вращению вала. Величина этого момента переменная. Наибольшее его значение равно Mq и наименьшее М . На рис. 17.102 изображены пространство состояний (ф, <р, i) и линия тока фазовой жидкости, характеризующая движение системы. [c.229]

Когда Г. А. Лоренц начинал свою творческую деятельность, электромагнитная теория Максвелла уже добилась признания. Но основы этой теории были исключительно сложными, и это не позволяло выявлять ее основные черты с достаточной ясностью. Правда, понятие поля отвергало представления о дальнодействии, но электрическое и магнитное поля мыслились еще не как исходные сущности, а как состояния континуальной весомой материи. Вследствие этого электрическое поле казалось раздвоенным на поле вектора электрической напряженности и поле вектора диэлектрического смещения. В простейшем случае оба эти поля были связаны диэлектрической постоянной, но в принципе они считались независимыми и изучались как независимые реальности. Аналогично обстояло дело и с магнитным полем. В соответствии с этой основной концепцией пустое пространство рассматривалось как частный случай весомой материи, в котором отношение между напряженностью и смещением проявляется особенно просто. Из такого представления вытекало, в частности, что электрические и магнитные поля нужно было считать зависимыми от состояния движения материи, являющейся носителем этих полей. [c.10]

О. в. эффективно проявляется в тех случаях, когда перекрываются волновые ф-ции отд. частиц системы, т. е. когда существуют области пространства, в к-рых с заметной вероятностью может находиться частица в разл. состояниях движения. Это видно из выражения для обменного интеграла А если степень перекрытия состояний ф (г) и ф(г) незначительна, то величина А очень мала. [c.372]

Чтобы придать нашим рассуждениям наиболее удобную и наглядную форму, условимся прибегать к гиперпространственному геометрическому представлению, рассматривая 2л параметров q п q как декартовы прямоугольные координаты в пространстве 2п измерений. Так как всякая точка этого пространства представляет состояние движения нашей системы, то можно назвать пространством состояний движения. [c.353]

В настоящее время для исследования этих систем используются два разных подхода, отличающихся типом математической модели, которая отражает поведение динамической системы. При одном подходе математическая модель динамической системы 5 основывается на понятии состояния X, под которым понимается описание системы 5 в некоторый момент времени ), и на понятии оператора Т, определяющего изменение этого состояния х во времени. Оператор Т указывает процедуру, выполняя которую можно по описанию л (О в момент времени t найти описание л (/ + А ) той же системы в некоторый следующий момент времени t + Af. Если оператор Т не зависит явно от времени, то система S называется автономной, в противном случае — неавтономной. Состояние л системы S можно рассматривать как точку некоторого пространства Ф, называемого фазовым пространством системы 5. Изменению состояния х отвечает в фазовом пространстве Ф движение соответствующей T04i y, которая называется изображающей. При этом движении изображающая точка описывает кривую, назы- [c.8]

Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений. Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что при потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение. Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состоянии, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя. Траектории могут стремиться к предельному [c.163]

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению стационарной турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их следы) заполняют определенную площадь проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом — сжимается ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение— объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему влол<енпых друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе t- oo аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седлов1ле траектории (своими притягивающими направлениями обращенные наружу аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого гцзсмеии пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю. [c.166]

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. Если турбулентное движение уже установилось (течение вышло на странный аттрактор ), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативной системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем зп большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности). Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента объема (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора. [c.167]

При малой надкритичности расстояние между линией (32,22) и прямой Xi+ =Xj мало (в области вблизи Xj = 0). На этом интервале значений х, следовательно, каждая итерация отображения (32,22) лишь незначительно перемещает след траектории, и для прохождения им всего интервала потребуется много шагов. Другими словами, на сравнительно большом промежутке времени траектория в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти периодический характер. Такой траектории отвечает в физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сценарий возникновения турбулентности (Р. Manneville, Y. Porneaii, 1980). [c.183]

Под механическим движением материальных тел понимают происходящее с течением времени изменение их относительного положения в пространстве или взаимного положения частей данного тела. Для того чтобы определить изменение положения тела по отногнению к другому, с последним связывают какую-нибудь систему осей координат, называемую системой отсчета. В зависимости от тела, с которым связана система отсчета, последняя может быть как подвижной, так и неподвижной. Тело будет находиться в состоянии движения по отнонгегшго к выбранной системе отсчета, если с течением времени происходит изменение координат хотя бы одной из его точек в противном случае тело но отношению к данной системе отсчета будет находиться в состоянии покоя. Таким образом, покой и движение тела суть понятия относительные, зависящие от выбранной системы отсчета. [c.12]

Среди таких систем с быстрыми и медленными движениями выделяются системы, в которых быстрое движение приводит к устойчивому состоянию равновесия. Примером могут служить системы с одной быстрой переменной, т. е. с одномерным фазот вым пространством быстрого движения. Такая система общего положения при фиксированном значении медленных переменных быстро приходит к установившемуся состоянию покоя. Этот процесс быстрого установления равновесия называется релаксацией. В процессе изменения медленных переменных устойчивое равновесие может (через большое в масштабе быстрых движений время) исчезнуть или потерять устойчивость. Тогда снова произойдет релаксация (скачок к другому состоянию равновесия) и т. д. Возникающий процесс, состоящий из периодов, в течение которых быстрая система находится в ква-зиравновесном состоянии (отрелаксировала) и почти мгновенных (по сравнению с этими периодами) скачков из одного состояния равновесия быстрой системы в другое называется процессом релаксационных колебаний (термин, принадлежащий Ван дер Полю [206]). [c.165]

Замечания о двух определениях силы. — В изложенных выше законах понятие силы представлено с двух различных сторон. С точки зрения ее действия, сила определяется ускорением, сообщаемым ею материальной точке, к которой она приложена (динамическое определение силы). С точки зрения ее происхождения, она определяется физическим состоянием, расположением в пространстве и движением тел, являющихся источником или объектом ее действия (статическое определение силы). Со-ртретствие между этими двумя определениями силы имеет [c.123]

Это полное решение канонических уравнений можно изобразить в упорядоченном виде, без каких бы то ни было пересечений, если 2п координат qi, pi рассматривать как различные измерения фазового пространства. Геометрическая картина получается еще более полной, если добавить ещ,е одно измерение, вводя время t в качестве (2п + 1)-й координаты. Картан назвал это (2п + 1)-мерное пространство пространством состояний (espa e des etats). В пространстве состояний задача о движении системы полностью геометризуется и полное решение канонических уравнений изображается в виде бесконечного множества кривых, заполняющих (2п + 1)-мерное пространство. Эти кривые нигде не пересекаются. Действительно, пересечение двух кривых означало бы, что в одной и той же точке пространства состояний возмол ны две касательные, что исключается, [c.203]

Раньше было показано, что введение понятия пространства состояний полностью геометризует задачу о движении, связанную с каноническими уравнениями. Множество всех решений системы канонических уравнений можно изобразить с помощью некоторого бесконечного семейства непересека-юш ихся кривых, заполняющих пространство состояний. [c.216]

Рассмотрим в пространстве Aj состояний движения гиперповерхность Я= onst (изоэнергетическая гиперповерхность), записывая уравнение ее в виде [c.357]

При изучении канонических систем прибегают к геометрическому представлению, аналогичному тому представлению, которое дается прострайством состояний движения для решений лагранжевой системы (гл. VI. п. 2). 2 п канонических переменных р, q истолковываются как декартовы прямоугольные координаты линейного пространства Фдп 2/г измерений, которое, следуя Джиббсу ), называют фазовым пространством. [c.244]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

Качеств, особенности эволюции Д. с. проявляются в характере фазовых траекторий. Напр., состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория — точка в фазовом пространстве, периодич. движению замкнутая траектория. Траектория квазипериодич. движения с т. несоизмерилшми частотами ш, (т. е. такими, что не существует отличных от нуля целых чисел /с,, удовлет- [c.626]

Для материальной точки состояние движения однозначно определяется вектором и , и 4-импульс (введённый описанны.ч выше способом) равен mdu jds. Если п первоначально изолированных друг от друга тел (систем) вступают в нек-рой области пространства-времени во взаимодействие, после чего возникают п новых тел, то, поскольку до взаимодействия полный 4-импульс Р - SPin, а после взаимодействия Р = 2РогП. где [c.501]

Если все tjiц О, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующая группа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можно одновременно привести генераторы А , А к диагональному виду. Физически это означает, что величины А ,. .., А могут иметь одновременно точные значения. Если в числе генераторов есть гамильтониан П квантовой системы, то в состояниях с фиксиров. энергией / все др. физ. величины из числа генераторов А ,. .., А также могут принимать вполне опре-дел. значения. Поскольку гамильтониан уиравляет временной эволюцией системы, все величины А ,. .., А оказываются интегралами движения, т. е. сохраняются с течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр, поле попарно перестановочными являются гамильтониан Й, оиератор квадрата момента импульса и оператор а проекции момента импульса на к.-л. ось. Поэтому в пространстве состояний существует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов Й, и 3. Это позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицы с помощью трёх квантовых чисел — главного п, орбитального (азимутального) I и магнитного т. [c.575]

Теория относительности Эйнштейна была создана как электродинамика движущихся тел, в основу к-рои были положены новый принцип относительности (относительность обобщалась с механич. явлений на явления эл.-магн. и оптические) и принцип постоянства и предельности скорости света с в пустоте, не зависящей от состояния движения излучающего тепа. Эйнштейн показал, что операцповальные приёмы, с помощью к-рых устанавливается физ. содержание евклидова пространства в классич. механике, оказались неприменимыми к процессам, протекающим со скоростями, соизмеримыми со скоростью света. Поэтому он начал построенпе электродинамики движущихся тел с определения одновременности, используя световые сигналы для синхронизации часов. В теории относительности понятие одновременности лишено абс. значения и становится необходимым развить соответствующую теорию преобразования координат (х, у, z) и времени (t) при переходе от покоящейся системы отсчёта [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...