Седловые траектории

Седловые траектории 165 Сечение рассеяния 419 Скачок уплотнения 456 Скорость групповая 369 [c.732]

При г = Г1 каждая из сепаратрис становится двоякоасимптотической к седлу О (рис. 22.206). При переходе г через Г1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодические движения — предельные циклы и Хг- Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при Г1 < г < Г2, где г и 24,06, все траектории по-прежнему стремятся к С . Ситуация на рис. 22.20в отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы Г+ и Г идут к не своим состояниям равновесия С и соответственно. При г = Гг сепаратрисы Г+ и Г наматываются на седловые траектории Ьх и 2 (рис. 22.20г). [c.486]

Рис. 22.22. К определению ляпуновского показателя (Го — седловая траектория, Г1,2 — возмущенная траектория, Wu — устойчивое и неустойчивое многообразия)

Если особая точка траекторий (4. 8. 36) типа седловой находится на оси 9=0, то константу интегрирования можно приближенно найти следующим образом [60] [c.176]

Корни действительные и разных знаков. Это — случай седлового периодического движения (рис. 1.11). Через замкнутую траекторию, соответствующую седловому периодическому движению, проходят две интегральные поверхности S-2 и состоящие из фазовых кривых, асимптотически приближающихся к кривой у при +00 и соответственно при t- —00. [c.19]

О, г/ = 1 типа центра. Для значений С на интервале —V3 < С < О фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые, охватывающие центр, и для значений С > О — замкнутые кривые, охватывающие фазовый цилиндр. Интегральная кривая, соответствующая значению С = О, разделяет эти два типа замкнутых траекторий. Она состоит из сепаратрис седловых особых точек 0 = л/2, = О и 0 = —л/2, у = О, определяемых уравнением у = О, —л/2 0 л/2 и / = 3 os 0. Разбиение фазового цилиндра на траектории приведено на рис. 3.14, где изображена развертка цилиндра па плоскость. Траектории движения планера, соответствующие различным типам фазовых траекторий, показаны на рис. 3.15. [c.63]

Точки ОР ч при р ф п, О — седловые особые точки. Через седловую особую точку нро.ходят две поверхности Sp и Sq размерностей р и q, составленные из траекторий, стремящихся к точке 0 при + оо и соответственно /-> — се. [c.244]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Теперь перейдем к доказательству требуемого утверждения об отсутствии фазовых траекторий, дважды пересекающих достаточно малую окрестность седлового состояния равновесия или периодического движения. Так как это утверждение лежит в основе сводимости исследования рассматриваемых динамических систем к рассмотрению конечного числа последовательностей точечных отображений, то сформулируем это утверждение в виде следующей теоремы. [c.280]

Под гомоклинической структурой понимается некоторое множество седловых периодических движений одного и того же типа и двоякоасимптотических к ним движений 7. . Фазовая траектория у, двоякоасимптотическая в том смысле, что при t — оо она асимптотически приближается к периодическому движению а при [c.314]

Отсутствие отображения Т устойчивых по Ляпунову траекторий, их седловой характер, приводит к тому, что движение фазовых точек носит блуждающий стохастический характер. Под этим, в частности, имеется в виду [c.339]

Фазовые траектории, близкие к седлу и сепаратрисам, порождают точечные отображения Т и L отрезка М в /V и отрезка Л в М соответственно. На рис. 7,118 изображены диаграммы точечных отображений Т н L при = 0. Поведение графика отображения Т в точке = О зависит от сед ловой величины а, равной о = ехр (а + ji), где а и Р — характеристические корни седлового равновесия О -. [c.369]

Такие траектории называют седловыми, и именно множество таких траекторий составляет странный аттрактор. [c.165]

Теорема ( [ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл будет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым). [c.112]

Исследовать бифуркации векторных полей, имеющих критический цикл с мультипликатором 1, седловой по гиперболическим переменным, хотя бы в случае компактного множества гомоклинических траекторий. [c.126]

Тогда все некритические векторные поля семейства, достаточно близкие к критическому, в некоторой окрестности гомо-клинической траектории задают системы Морса—Смейла не более чем с двумя неблуждающими траекториями, одна из которых — особая точка поля. Векторные поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля, не имеют других неблуждающих траекторий соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля имеют предельный цикл. Размерность устойчивого многообразия этого цикла на единицу превышает размерность устойчивого многообразия седла или совпадает с ней, в зависимости от того, отрицательна или положительна седловая величина о. А [c.128]

Поля V++, V+" имеют седловой предельный цикл с двумерными устойчивым и неустойчивым многообразиями при <0, е>0 соответственно, причем для 1/++ устойчивое и неустойчивое многообразия гомеоморфны цилиндрам (листам Мёбиуса). Никаких неблуждающих траекторий, кроме О и цикла Z.+ (e) при е=5 0 и гомоклинической траектории Г при е—О, поля V++, V+" не имеют. [c.131]

Рис 53. Образы и прообразы прямоугольников , лежащих в окрестности гомоклинической траектории диссипативной седловой неподвижной точки, под действием итераций диффеоморфизма [c.146]

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению стационарной турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их следы) заполняют определенную площадь проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом — сжимается ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение— объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему влол<енпых друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе t- oo аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седлов1ле траектории (своими притягивающими направлениями обращенные наружу аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого гцзсмеии пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю. [c.166]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

На рис. 7.61 — 7.63 изображены преобразования, также допускающие применение теоремы 7..3 и естественно порождаемые фазовыми траекториями диф( зеренциальных уравнений третьего порядка. На рис. 7.61 области Gj, G. и Gg представляют последовательные преобразования области G,,. Такого рода отображение возникает при пересечении сепаратрис седловой неподвижной точки и будет рассмотрено в следующем параграфе. Иа рис. 7,62 изображено отображение кольца в кольцо. Jlpn этом области G и а преобразуются соответственно в G н а. Наличие изображенного на рис. 7.62 пересечения областей а и а говорит о многозначности вспомогательного отображения, наличии бесконечного числа различных седловых кратных неподвижных [c.312]

Гомоклинические структуры возможны в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениям , с размерностью, не меньшей трех. Двумерные системы гомоклинических структур иметь не могут. Однако двумерные точечные отображения такие структуры допускают. Для динамической системы, описываемой точечным отображением, под гомоклинической структурой естественно понимать некоторое множество седловых неподвижных точек и двоякоасимптотических к ним фазовых траекторий (последовательностей преобразующихся друг в друга точек). Простейшая гомоклиническая структура для точечного отображения возникает при пересечении сепаратрисных инвариантных многообразий — седловой неподвижной точки двумерного точечного отображения. Возникающая при этом сложная картинка взаимопересечений сепара-трисных кривых уже описывалась. [c.315]

Заметим, что седловая связка — это траектория, принадлежащая единственно возможному нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий гиперболических положений равновесия и (или) циклов. [c.97]

Следствие. Бифуркации систем первой степени негрубо сти на указанных в теореме поверхностях полулокальны (Всегда можно указать конечное множество траекторий, i окрестности которого только и происходит рождение или исчез новение неблуждающих траекторий или слияние сепаратрис) Фактически, это бифуркации полуустойчивых циклов, седловых связок и петель сепаратрисы (рис. 34). [c.103]

Векторные поля в с гомоклинической траекторией цикла. Пусть векторное поле ПовС , г>3, в трехмерном пространстве имеет предельный цикл L седлового типа и траекторию T iWlr Wl, принадлежащую простому касанию его устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда у LUT су ще- [c.142]

Теорема ([176], [189]). Пусть р — диссипативная гиперболическая седловая неподвижная точка -диффеоморфизма ->-ЛР, г >2. Предположим, что W и Wp имеют траекторию простого касания. Тогда произвольно С -близко к / имеется диффеоморфизм g, для которого существует окрестность U Diff (M2) и множество второй категории такое, что [c.148]

Теорема. Предположим, что /е — кривая С -диффеомор-физмов компактной поверхности М такая, что 1) при е==Ео /е, ишет диссипативную неподвижную седловую точку р и гомоклиническую траекторию простого касания Wp и Wl 2) /f трансверсально пересекает в точке /о. Тогда существуют значения 8>ео, для которых /е имеет бесконечно много устойчивых периодических траекторий. [c.148]

Бифуркации двумерного тора. Предположим, что поток /с , скажем, при 0 8<е, является системой Морса—Смейла и имеет притягивающий инвариантный двумерный тор Те. Предположим, что при 0 8<е на торе существует глобальная секущая. В этом случае число вращения рационально, на Те имеется четное число предельных циклов, половина из которых устойчивы, половина — неустойчивы (седловые по отношению ко всему фазовому пространству), и Т образован замыканием неустойчивых многообразий этих седловых циклов. Предположим также, что е -бифуркационное значение параметра, и при 8 = 8 осуществляется бифуркация коразмерности 1—одна из рассмотренных выше. Следовательно, это либо бифуркация одного из предельных циклов, лежащих при е<е на Т , либо бифуркация, связанная с образованием гомо- и гетероклиниче-ской траектории на неустойчивом многообразии одного из седловых циклов. [c.161]

Слияние устойчивого и седлового циклов, лежащих на торе, и образование цикла с мультипликатором 1, который может быть как s-критическим, так и некритическим. В первом случае, если все траектории на неустойчивом множестве — гомоклиниче-ские, то при Е>в может возникнуть странный аттрактор (ем. 4). Если при 0<8<8 на Те лежит больше двух циклов, то при 8>8, по-прежнему, существует тор, на котором на два цикла меньше. [c.161]

Касание неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием того же самого или другого седлового цикла. В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при е>8 —нетривиальное гиперболическое множество, во втором — гетероклиническая траектория, и при е>8 аттрактор уже не является тором. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...