Спектр энергии осциллятора

Спектр энергии осциллятора 75 [c.332]

При квантово-статистическом подходе для определения средней энергии осциллятора нужно вначале решить динамическую задачу по определению спектра его энергии потом по формуле (13.11) найти статистическую сумму Zu по формуле (13.12) — энергию Гельмгольца F и затем вычислить среднюю энергию е. [c.244]

Таким образом, чтобы получить формулу (11.17), правильно описывающую спектр излучения черного тела, пришлось допустить, что осциллятор не может обладать любой энергией, а может иметь лишь дискретный набор энергий. Осцилляторами моделируются атомы вещества стенок оболочки полости. Следовательно, внутренняя энергия атомов не может изменяться непрерывно, а изменяется скачками, т. е. атом может обладать лишь энергией из некоторого дискретного ряда значений. Это обстоятельство выражается также словами, что энергия атома квантуется. [c.73]

Найти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которого [c.185]

Проиллюстрируем дискр. спектр энергии на примере квант, осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние ч-цы от положения [c.258]

Выше было показано, что температуры положительны при условии ( О( )/й )>0, т. е. число возможных состояний всегда возрастает с энергией. Это справедливо для свободных частиц или гармонического осциллятора таким образом, жидкости и кристаллические решетки, всегда имеют положительные температуры. Однако существуют некоторые весьма специфические системы, в которых имеется верхний предел спектра энергетических состояний. Если частицы в этих состояниях находятся в тепловом равновесии друг с другом и одновременно термически изолированы от состояний, не имеющих верхнего энергетического предела, то они могут вести себя так, как если бы они обладали отрицательными температурами. Поскольку выше предельного уровня нет других энергетических уровней, при возрастании внутренней энергии системы достигается такое состояние, когда все уровни одинаково заселены. Согласно статистической механике, это мо- [c.24]

Рис. 33.5. Потенциальные кривые, уровни энергии и схематические спектры гармонического (<з) и ангармонического (б) осцилляторов

Инфракрасный спектр поглощения. Гармоническому осциллятору соответствует система равноотстоящих энергетических уровней (рис. 41). В случае поглощения света молекула будет переходить из одного энергетического состояния в другое, обладающее большей энергией. При этом согласно правилам отбора (Ао = 1) колебательное квантовое число V будет изменяться на единицу, а [c.102]

S спектр этого колебания должен совпадать со спектром осциллятора, показанном на рис. 3.5, б. В соответствии с этим спектром минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить решетка при тепловых колебаниях, отвечает переходу нормального колебания с данного уровня на ближайший соседний уровень и равна [c.131]

В теории теплоемкости Дебая предполагается [2], что энергия колебаний атомов дискретна и имеет определенный спектр частот. Средняя энергия линейного осциллятора при температуре Т равна — 1), а не кТ, [c.276]

В теории теплоемкости Дебая и теории Эйнштейна предполагается [9.2], что энергия колебаний атомов носит дискретный характер с определенным спектром частот. Тогда средняя энергия линейного осциллятора при температуре Т равна — 1), [c.48]

Для того чтобы теоретически определить возможные стационарные энергетические состояния системы частиц (атома, молекулы или их ионов), а затем по ним рассчитать спектры или термодинамические функции, необходимо составить оператор Гамильтона Я и решить уравнение Шредингера (3.5). При этом должны одновременно получаться не только собственные значения полной энергии системы Е = Е, Е2, Ез. .. Ek, но и соответствующие им собственные волновые функции il) = l3i, vp2, определяющие возможные стационарные варианты распределения частиц (электронов и ядер) в пространстве, т. е. электронную и ядерную плотность в атомах и молекулах. Однако точно в аналитическом виде уравнение Шредингера (3.5) решается только для одноэлектронной системы атома водорода и некоторых простейших модельных систем, например, гармонического осциллятора, жесткого ротатора и немногих других. Поэтому обычно квантовомеханические уравнения для реальных систем реша- [c.18]

Пусть осциллятор находится в замкнутой полости, заполненной равновесным излучением с температурой Т. Под действием поля излучения со сплошным спектром U T) он совершает вынужденные колебания. Благодаря резонансным свой твам осциллятора эти колебания будут иметь заметно отличную от нуля амплитуду лишь в узкой области частот вблизи собственной частоты осциллятора Шо. При этом поглощаемая осциллятором мощность Р огл может быть выражена через значение спектральной плотности излучения на частоте шо. В динамическом равновесии с излучением поглощаемая мощность Р огл в среднем равна испускаемой осциллятором мощности Р сп, которая, в свою очередь, может быть выражена через среднюю энергию <е) осциллятора при температуре Т. Таким путем можно связать U, XT) со средней энергией <е> теплового возбуждения осциллятора. Последняя вычисляется методами статистической механики. Так как все это справедливо для осциллятора с произвольным значением шо, то такой путь позволяет рассчитать спектральную плотность равновесного излучения на всех частотах. [c.426]

Еще одна гипотеза необходима для установления значений энергии е разрешенных состояний осциллятора. По предположению Планка, гармонический осциллятор имеет эквидистантный энергетический спектр, так что энергия е в состоянии с номером п составляет целое кратное наименьшей порции энергии ео Е = пео, [c.429]

В 1900 г. М. Планк, проводя теоретический анализ спектров излучения абсолютно черного тела, пришел к заключению, что этот процесс носит дискретный характер, т. е. что обмен энергией между веществом и излучением происходит определенными порциями и существует некоторое минимальное количество обмениваемой энергии, которое было названо квантом. Однако Планк связывал эту дискретность со свойствами вещества, которое он представил в виде ансамбля элементарных осцилляторов, энергия которых может принимать лишь ряд значений, кратных минимальной величине — кванту Ни, где и — собственная частота осциллятора, а /г — постоянная Планка. [c.18]

Вследствие того что осцилляторы в рассматриваемом приближении являются независимыми, одновременно не могут происходить переходы, соответствующие двум или нескольким колебаниям. Аналогично случаю двухатомных молекул. при переходах в инфракрасном спектре изменение колебательного квантового числа Дг),- = 1, может происходить только при колебаниях, связанных с изменением дипольного момента, в комбинационном же спектре это правило отбора соответствует колебаниям, связанным с (линейным) изменением поляризуемости. При рассмотрении формулы (2,61) для колебательных уровней энергии, применимой в нашем приближении, видно, что частоты инфракрасных полос и комбинационных линий равны действительным частотам колебаний, выраженным в см [c.270]

Гармонический осциллятор 80 кинетическая и потенциальная энергия 85 собственные функции 91, 92, 115 уровни энергии 90 Геометрическое строение из вращательно-колебательных спектров [c.600]

ОРБИТА электронная — траектория движения электрона вокруг ядра в атоме или молекуле ОРБИТАЛЬ —волновая функция одного электрона, входящего в состав электронной оболочки атома или молекулы и находящегося в электрическом иоле, создаваемом одним или несколькими атомными ядрами, и в усредненном электрическом поле, создаваемом остальными электронами ОСЦИЛЛЯТОР как физическая система, совершающая колебания ангармонический дает колебания, отличающиеся от гармонических гармонический осуществляет гармонические колебания квантовый имеет дискретный спектр энергии классический является механической системой, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия) ОТРАЖЕНИЕ [волн происходит от поверхности раздела двух сред, и дальнейшее распространение их идет в той же среде, в которой она первоначально распросгра-нялась диффузное характеризуется наличием нерегулярно расположенных неровностей на поверхности раздела двух сред и возникновением огражен1 ых волн, идущих во всех возможных направлениях зеркальное происходит от поверхности раздела двух сред в том случае, когда эта поверхность имеет неровности, размеры которых малы по сравнению с длиной падающей волны, а направление отраженной волны определяется законом отражения наружное полное сопровождается частичным поглощением световой волны в отражающей среде вследствие проникновения волны в Э1у среду на глубину порядка длины волны полное внутреннее происходит от поверхности раздела двух прозрачных сред, при котором преломленная волна полностью отсутствует] [c.257]

Важной особенностью этой задачи является то, что при ее решении, строго говоря, нельзя пользоваться колебательными термодинамическими функциями, вычисленными в гармоническом приближении. Действительно, если ограничиться в разложении потенциальной энергии членами, квадратичными по отклонению от равновесного расстояния между атомами, то в таком (осцилляторйом) потенциальном поле (кривая 1 на рис. 68) возможно только финитное движение атомов с дискретным спектром энергий, а разрыв молекулы на атомы в этом приближении описан быть не может. Диссоциация, строго говоря, может быть описана при учете ангармоничности колебаний, а также связи колебаний и вращений. При этом возникает потенциальный барьер (кривая 2 на рис. 68) и возникает возможность перехода в сплошной спектр — относительное движение атомов становится инфинитным. Такое строгое решение задачи о диссоциации является, [c.240]

О 1900 г. Планк получил формулу для спектральной плотности i)ш(Г) равновесного излучения, хорошо согласующуюся с опытом при всех частотах. Оказалось, что для теоретического вывода этой формулы необходима гипотеза, коренным образом противоречащая представлениям классической физики. Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать не любые, а только вполне определенные дискретные значения е , отделенные друг от друга конечными интервалами. Переход осциллятора из одного состояния в другое сопровождется поглощением или испусканием конечной порции (кванта) энергии излучения. В такой системе с дискретным энергетическим спектром среднюю энергию <е> в тепловом равновесии при температуре Т уже нельзя находить по формуле (9.15). Вероятность р того, что осциллятор находится в состоянии с энергией Еп, в соответствии с распределением Больцмана пропорциональна ехр [ —е /(/г7 )], но при вычислении средних значений интегралы заменяются суммами [c.429]

Для систем с эквидистантным спектром энергии (например, для гармонического осциллятора с одной степенью свободы) мазерный эффект отсутствует. Такие системы могут только поглощать энергию внешнего излучения. На языке квантовой механики этот результат объясняется тем, что вероятности квантовых переходов осциллятора из состояния п в состоянии ( 4-1) и (п—1) пропорциональны (в дипольном приближении) С(п4-1), где С — кон- [c.171]

В связи с обсуждением опытов Вавилова м ы обращали внимание на изменение числа поглощающих частиц под влиянием мощного падающего излучения. Однако это не единственный эффект, имеющий место при больших интенсивностях света. В 156 подчеркивалась тесная связь законов поглощения и дисперсии с представлением об атоме как о гармоническом осцилляторе, заряды которого возвращаются в положение равновесия квазиупругой силой. Если интенсивность света, а следовательно, и амплитуда колебаний зарядов достаточно велика, то возвращающая сила уже не будет иметь квазиупругий характер, и атом можно представить себе как ангармонический осциллятор. Из курса механики известно, что при раскачивании такого осциллятора синусоидальной внешней силой (частота ш) в его движении появляются составляющие, изменяющиеся с частотами, кратными со, — двойными, тройными и т. д. Пусть теперь собственная частота осциллятора соо. подсчитанная в гармоническом приближении, совпадает, например, с частотой 2ш. Энергия колебаний зарядов в этом случае особенно велика, она передается окружающей среде, т. е. возникает селективное поглощение света с частотой, равной со = /2 0o. Таким образом, спектр поглощения вещества, помимо линии с частотой о),,, должен содержать линии с частотами, равными /гСОо, а также /зй)(, и т. д. Коэффициент поглощения для этих линий, как легко понять, будет увеличиваться с ростом интенсивности света. [c.570]

При малых амплитудах колебания многоатомной молекулы, как и двухатомной, гармонические. Поскольку колебания отдельных атомов в молекуле связаны друг с другом, то многоатомную молекулу можно представить как совокупность набора осцилляторов, движения которых связаны между собой. Энергия, попадающая на один из осцилляторов, например на отдельную связь в молекуле, перераспределяется через некоторое время по другим связям, и все атомы и связи вовлекаются в колебание. Из механики известно, что движение связанной системы как целого может быть представлено наложением ее нормальных колебаний, т. е. таких колебаний, в которых все элементы системы движутся с одинаковой частотой и фазой в тех или иных направлениях. Именно нормальные колебания проявляются в спектрах и число их равно числу степеней свободы. В общем случае Л -атомпой нелинейной молекулы число степеней свободы и число нормальных колебаний равны ЗА —6. Это означает, что, например, в спектре трехатомной молекулы воды Н2О должны быть представлены три частоты и три нормальных колебания. Может оказаться, что некоторые из ЗМ—6 колебаний имеют одинаковые частоты и поэтому разным нормальным колебаниям соответствует одна и та же спектральная линия (полоса). [c.241]

Энергетические характеристики оптического излучения описываются квантовой теорией, в соответствии с которой любой излучатель представляет собой совокупность квантовых осцилляторов. Суммарное излучение излучателя определяется в результате статистического осреднения излучения отдельных осцилляторов. Спектральные характеристики излучения зависят от агрегатного состояния и 1лучающего вещества, а также от способа возбуждения энергетических уровней его атомов и молекул. По характеру излучения различают источники тепловые с непрерывным спектром излучения, в которых энергия излучения образуется за счет преобразования тепловой энергии люминесцентные, как правило, с линейчатым [c.42]

Аналогичной зависимости подчиняется и распределение энергии в спектре лазера. Ширина спектральной линии в общем случае зависит от ряда факторов затухания осциллятора вследствие действия лоренцова трения, соударений однородных и разнородных атомов соударений атомов газа со стенками сосуда, в котором он находится, эффекта Доплера, и с достаточным для практики при()/шжением может быть описана формулой [c.44]

Для движения частицы во внеш. поле в случае, когда спектр оё энергии дискретен, также может быть рассмотрен В. п., представляющий собой суперпозицию состояний с разл, значениями энергии. Центр масс такого В. н. тоже движется по классич. траектории, при этом для нек-рых потенциалов поля (типа потенциала ноля осциллятора) существуют нерасплываю-щиеся В. Н. (см. Когерентное состояние). [c.314]

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энсргетич. спектром, определяемым из ур-пкя (64). В зависимости от вида потенц. энергии (т. е. от характера взаимодействия в системе), эиергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы), либо смешанным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меныних энерги] ионизации, дискретны, а при бблыних энергиях — непрерывны). [c.285]

Дискретный спектр может быть проиллюстрирован также на примере квантового осциллятора — частицы, движущейся в поле с F (x) = V2m(i) x . Задача о квантовом осцилляторе является одной из важнейших и точно реисасмых аналитически задач К. м. Важность её обусловлена тем, что для произвольного нотенц. ноля в положении равновесия з должен быть минимум иотепц. энергии и V х) вблизи от положения [c.287]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

КРИВАЯ РОСТА — завпсимость интенсивности спектральной линии поглощения от числа атомов, участвующих в её образовании. Применяется для определения физ. условий и содержания хим. элементов в атмосферах звёзд, а также для определении сил осцилляторов. В качестве параметра, характеризующего иптенсив-ность линии, используется эквивалентная ширина спектральной линии (полная энергия излучения поглощённая в линии, выражаемая шириной соседнего участка непрерывного спектра, в к-ром [c.490]

Колебательные спектры наблюдаются при изменении колебат. энергии (электронная и вращат. энергии при этом не должны меняться). Нормальные колебания молекул обычно представляют как набор невзаимодействующих гармония, осцилляторов. Если ограничиться только линейными членами разложения дипольного момента ё (в случае спектров поглощения) или поляризуемости а (в случае комбинац. рассеяния) по нормальным координатам Сж, то разрешёнными колебат. переходами считаются только переходы с изменением одного из квантовых чисел як на единицу. Таким переходам соответствуют осн. колебат. полосы они в колебат. спектрах наиб, интенсивны. [c.201]

Вероятность A fe С. и., являющаяся важнейшей характеристикой квантового перехода, зависит от характеристики уровней, между к-рыми происходит переход. Для дипольного излучения Ajfe пропорциональна кубу частоты перехода и квадрату дипольного момента перехода в видимой области спектра она 10 с -, что соответствует временам жизни возбуждённых уровней энергии 10- с. В спектроскопии часто пользуются вместо вероятностей А fe безразмерными вероятностями file = Aii /Af , т. н. силами осцилляторов (Aq— вероятность, принятая за 1 и дающая такой же закон [c.652]

Здесь W - энергая перехода, сопровождающегося ПЗ, / - сила осциллятора соответствующего перехода. Простейший путь использовать формулу (119) для вычисления гаперполяризуемости, связанной с ПЗ, это определить И и / из спектров молекул. Как указывалось в разд. 2.2, переходы типа Ид — тг проявляются как индивидуальные, наиболее длинноволновые полосы поглощения в спектрах молекул, если акцептором является нитрогруппа, а донором - любой донор сильнее, чем ОН-группа [76]. В соответствии с этим формула (119) была использована для вычисления гаперполяризуемости ряда молекул (см. табл. 19). [c.133]

Имеются убедительные экспериментальные доказательства суш.ествования экситонных молекул в не скольких кристаллах, в том числе в кремнии, в хлориде меди и бромиде серебра [9]. В случае кремния экспериментальные доказательства были получены путем регистрации спектра люминесценции с пространственным и временным разрешением. Гурли [4] использовал метод деформационной ловушки для изучения химического равновесия в системе свободные экситоны/экситонные молекулы, 2Ех Ехг. На рис. 5 приведена температурная зависимость спектра люминесцентного излучения из области деформационной ловушки в кремнии. Верхний спектр характеризует обычное рекомбинационное излучение свободных экситонов с шириной линии, Определяемой тепловой энергией экситона /гТ. Форма линии описывается зависимостью В ехр(— //гТ)/где отвечает плотности электронных состояний в трехмерном потенциале гармонического осциллятора. При понижении температуры возникает дополнительный максимум при более низкой энергии, соответствующий экситонным молекулам, Он обязан своим происхождением рекомбинации электрона и дырки в молекуле, в результате которой остается обычный экситон. Длинный низкоэнергетический хвост молекулярной люминесценции отвечает распределению кинетической энергии этих оставших ся экситонов. Первыми эти молекулы в деформированном кремнии наблюдали советские исследователи независимые измерения на недеформированном крем пни были выполнены в Университете Британской Колумбии (Канада) [9], [c.141]

Высокочастотные колебания отдельных структурных единиц решетки-стеклообразователя, например тетраэдров 5Ю4, РО и т. д., являются локализованными и слабо связанными со всей решеткой как целое. Каждый РЗ-ион в стекле взаимодействует с несколькими такими осцилляторами, число которых определяется ближайшими ионами-стеклообразователями в его окружении (для оксидных стекол — от 6 до 8). Частоты этих колебаний близки к колебаниям растяжения связей стеклообразователь — кислород и могут быть определены из спектров комбинационного рассеяния стекол. В табл. 1.10 приведены частоты фононов с наибольшей энергией для оксидных стекол различных основ. [c.47]

Чтобы найти энергию колебательных уровней и собственные функции невращаю-щейся молекулы, необходимо применять методы теории возмущений (см. Молекулярные спектры I, гл. V, 4). Возмущающей функцией является разность между оператором Гамильтона общего вида (2,276), в котором Рх-, Ру и Р приравнены нулю, и оператором для гармонического осциллятора, входящим в прежнее уравнение (2,41) [c.227]

Хорошим приближением к нормальному колебанию v, молекулы NH , является колебание, при котором изменяется только расстояние атома N от плоскости Hj, поэтому уровни энергии колебания будут приближенно совпадать с уровнями одномерного осциллятора, двигающегося в потенциальном поле формы фиг. 72,а. Применяя какое-либо аналитическое выражение потенциальной кривой, можно определить расщепление колебательных уровней v.iva как функцию соответствующих постоянных. Обратно из наблюдаемых значений расщепления можно определить постоянные этой кривой и, в частности, расстояние между минимумами и высоту максимума. Такие вычисления были выполнены Морзе и Штюкельбергом [636], Деннисоном и Уленбеком [284], Розеном и Морзе [742], Маннингом [599], Уоллом и Глоклером [911]. Оказалось, что значение расстояний между минимумами, полученное из вычислений, почти не зависит от конкретного вида потенциальной функции, принятого при расчете. Для высоты пирамиды NHg, равной половине расстояния между минимумами, найдено значение 0,38 10" см, что находится в полном соответствии со значением 0,381 10 , полученным из инфракрасного вращательно-колебательного спектра (см. гл. IV, стр. 467). Согласно Маннингу [599], высота потенциального барьера равна 2076 см . Следовательно, уровень 2Vj [c.242]

Знание частотного спектра, уровней энергии и матричных элементов смещений атомов рещетки (координат осцилляторов) дает, во всяком случае в принципе, полную возможность рассчитать как термодинамические, так и кинетические характеристики колеблющейся решетки. Однако на практике оказывается весьма удобным вместо картины связанных осцилляторов пользоваться другой эквивалентной картиной, которую можно получить с помощью квантовомеханического принципа соответствия. Согласно этому принципу, каждой плоской волне можно сопоставить совокупность движущихся частиц . Волновой вектор к будет определять импульс этих частиц ), а частота —их энер- [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...