Переход к нормальным колебаниям

Переход к нормальным колебаниям [c.35]

Переход от реальных тепловых колебаний решетки к нормальным колебаниям. Атомы кристаллической решетки совершают тепловые колебания относительно положений равновесия—узлов решетки. В идеальной решетке все атомы физически равноправны. В такой структуре взаимосвязанных атомов смещение любого из атомов распространяется по всему коллективу по кристаллической решетке бежит волна — типичное коллективное движение. Совокупность коллективных движений может быть представлена Б виде суперпозиции плоских монохроматических волн (так называемых нормальных волн) вида [c.132]

Такое представление означает, что мы переходим от рассмотрения колебаний совокупности атомов в кристаллах к рассмотрению совокупности волн, распространяющихся в кристаллах. В теоретических курсах строго показывается, что этот переход позволяет перейти от описания колеблющегося кристалла в виде совокупности колебаний взаимодействующих атомов к его описанию в виде совокупности невзаимодействующих волн. Иными словами, этот переход соответствует переходу к нормальным координатам. Это существенно упрощает математическое рассмотрение колебаний атомов. Подставив (9.10) в (9.9) получим [c.210]

Из изложенного видно, что полное колебание системы не содержит частот, кратных основным. Причина этого заключается в том, что мы считали колебания малыми. Именно поэтому мы могли потенциал системы представить в виде квадратичной формы, что характерно для гармонического движения. Кроме того, переходя к нормальным координатам, мы получили вследствие этого лагранжиан (10.43) в виде суммы лагранжианов нескольких гармонических осцилляторов (с частотами сол). Таким образом, малые колебания системы можно рассматривать как результат возбуждения различных гармонических осцилляторов, колеблющихся с различными амплитудами и фазами ). [c.363]

Заметим, что переход к нормальным коор- динатам не является обязательным этапом ис- с<С (Ь следования колебаний многомассовых систем. -р-Г ix(t) Однако этот переход во многих случаях облег- [c.87]

Очевидно, что после перехода к нормальным координатам Понятие эквивалентного скачка мОжет быть распространено и на многомассовые модели. При этом определяющая роль в формировании динамического эф4№кта от резкого изменения возмущения при отсутствии жестких ударов принадлежит колебаниям с низшей частотой, которой соответствуют наибольшие значения коэффициента смягчения у. (см. п. 10). [c.123]

Как известно, после перехода к нормальным координатам энергия системы взаимодействующих частиц представляется в виде суммы несвязанных слагаемых, относящихся к разным нормальным колебаниям (при условии, что в разложении потенциальной энергии взаимодействия частиц мы ограничиваемся квадратичными относительно смещений членами). [c.256]

Из приведенного доказательства следует, что переход к нормальным координатам не сокращает вычисления по сравнению с решением исходных дифференциальных уравнений (уравнение для определения Х совпадает с уравнением частот, а уравнения (20.87) совпадают с уравнениями (20.61), служащими для определения форм главных колебаний). Поэтому нормальные координаты имеют главным образом теоретическое значение для доказательства различных положений. [c.494]

Глава 1. Свободные колебания простых систем. Мы начинаем со свободных колебаний одномерного гармонического осциллятора, обращая особое внимание на физические проявления таких свойств системы как инерция и возвращающая сила, на физический смысл величины со и на условия гармоничности колебаний реальной системы. Затем мы переходим к свободным колебаниям двух связанных осцилляторов и вводим понятие нормальной моды колебаний, рассматривая моду как простой протяженный гармонический осциллятор, все части которого колеблются с одинаковой частотой и фазой. Величина со для определенной моды имеет тот же физический смысл, что и для одномерного осциллятора. [c.11]

Подчеркнем еще раз мысль, высказанную в начале параграфа переход к нормальным координатам — не способ решения задачи малых колебаний, а удобный путь исследования теоретических вопросов. В 11 и 12 изучены два таких вопроса. [c.44]

Проиллюстрировав переход к нормальным координатам, вернемся к методике анализа колебаний в произвольных системах, описываемых уравнениями (3.21). [c.55]

В рассматриваемом случае, когда парциальные системы одинаковы, их парциальные частоты совпадают и по мере ослабления связи нормальные частоты сколь угодно приближаются друг к другу, а значит, биения могут быть сколь угодно медленными. С другой стороны, если амплитуды обоих нормальных колебаний одинаковы, то амплитуда колебаний каждой массы будет по очереди периодически падать до нуля независимо от того, насколько слаба связь между системами с одной степенью свободы. Следовательно, при сколь угодно слабой связи должна происходить полная перекачка энергии из одной системы в другую и обратно. Но так как при очень слабой связи период биений очень велик, а энергия полностью переходит из одной системы в другую за полпериода биений, то перекачка энергии будет происходить очень медленно. Если потери энергии в связанных системах велики, то колебания в них могут успеть полностью затухнуть за время меньшее, чем полпериода биений. Тогда биения наблюдаться не будут. Напомним, что все сказанное относится к случаю, когда обе парциальные системы одинаковы. Случай неодинаковых парциальных систем рассмотрен в следующем параграфе. [c.638]

Конечно, само изменение числа степеней свободы может происходить только скачком, поскольку число степеней свободы — это целое число однако изменение свойств системы, в частности характера нормальных колебаний, при переходе от системы с одним числом степеней свободы к системе с другим числом степеней свободы может происходить непрерывно. [c.698]

Таким образом, при переходе от системы с п степенями свободы к системе с /г/2 степенями свободы п/2 нормальных колебаний исчезают, а среди п/2 оставшихся нормальных колебаний группа низкочастотных колебаний (для которых k и/2) сохраняет примерно те же значения частот, как и в системе с п степенями свободы. [c.699]

Если мы возобновим операцию переноса элементов массы А/и, то частоты этих п/2 колебаний будут беспредельно возрастать, а когда массы нечетных грузов обратятся в нуль, все эти п/2 частот обратятся в бесконечность. Мы видим теперь, куда исчезают п/2 колебаний при переходе дискретной системы с п степенями свободы к системе с п/2 степенями свободы частоты этих исчезающих колебаний уходят в бесконечность . Если п = 2 , где р — целое число, то, переходя таким же образом от системы с п/2 степенями свободы к системе с /г/4 степенями свободы, затем к системе с /г/8 степенями свободы и т. д., мы дойдем до системы с одной степенью свободы (рис. 451, а),которой свойственно одно нормальное колебание из п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной системе с п степенями свободы, п — 1 исчезли — их частоты обратились в бесконечность. [c.699]

От системы с п степенями свободы мы могли бы совершить переход в направлении увеличения числа степенен свободы, например к системе с 2п степенями свободы, перенося малые доли грузов в точки пружин, лежащие посередине между соседними грузами (когда мы перенесем первый раз малые доли грузов в эти точки, сразу появятся и новых нормальных колебаний с очень высокими частотами). Повторив эту операцию достаточно большое число раз, мы получили бы систему с 2п одинаковыми грузами, каждый массы т/2, расположенными на расстоянии а/2 друг от друга. При этом из бесконечности приходят частоты п новых нормальных колебаний и общее число нормальных колебаний становится равным 2п. Таким же способом от системы с 2п степенями свободы можно перейти к системе с Ап степенями свободы и т. д., т. е. как угодно приблизиться к сплошной системе, обладающей бесконечно большим числом нормальных колебаний. Частоты всех этих новых нормальных колебаний (кроме тех п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной системе с п степенями свободы) пришли из бесконечности. [c.700]

Вернемся теперь к вопросу о том, что происходит с частотами тех нормальных колебаний, которые не исчезают при уменьшении числа степеней свободы системы. Как уже было показано при рассмотрении перехода от системы с п степенями свободы к системе с п12 степенями свободы, частоты нормальных колебаний, для которых k п/2, сохраняют примерно те же значения, какие они имели в системе с п степенями свободы. Но если после /)-кратного повторения операций переноса мы приходим к системе с п12 степенями свободы и п,/2 равно одной или нескольким единицам, то ни для каких значений k условие k п12 не выполняется. Следовательно, уже нельзя утверждать, что частоты колебаний, соответствующих малым k, остаются примерно такими же, как в системе с п степенями свободы. Однако, как будет показано, даже в том случае, когда от системы с п степенями свободы (д 1) мы путем р-кратного переноса элементов масс переходим к системе с одной степенью свободы (п/2 = 1), частота того единственного нормального колебания, которое сохранилось в этой системе при переходе от системы с п степенями свободы, испытывает лишь незначительное изменение. [c.700]

Из сравнения выражений для m и ш видно, что при переходе от системы с п степенями свободы к системе с одной степенью свободы частота единственного неисчезнувшего нормального колебания уменьшилась примерно на 1/3. [c.701]

При переходе к каждому последующему нормальному колебанию число узловых точек струны увеличивается на единицу. Поэтому чем выше частота нормального колебания струны, тем больше узловых точек соответствует этому нормальному колебанию. [c.198]

Таким образом, система (8.24) после перехода к новым обобщенным координатам (8.25) распалась на два независимых уравнения (8.26) и (8.27), каждое из которых описывает движение с одной свободной координатой (о, или соответственно). Преобразование координат, подобное выполненному выше, возможно при любом числе степеней свободы (если только трение отсутствует). Такие обобщенные координаты называются нормальными, а соответствующие им формы колебаний — нормальными формами. Особенность этих форм состоит в том, что колебания по каждой нормальной форме совершаются совершенно независимо от колебаний других форм. [c.230]

Переходя к случаю твердого слоя, следует отметить, что хотя сущность образования стоячих волн по толщине пластины в результате многократного отражения объемных волн сохранится, условия возбуждения нормальных волн очень усложняются ввиду наличия в пластине продольных и поперечных волн. При отражении эти волны частично трансформируются друг в друга фаза волны при отражении может меняться на число, не кратное п (см. подразд. 1.2). На рис. 1.4, б показаны дисперсионные кривые для фазовой скорости волн в пластинах из твердых материалов с разными значениями коэффициента Пуассона v. Сплошными кривыми изображены антисимметричные, штриховыми — симметричные волны (моды). Для симметричных мод характерны колебания частиц, симметричные относительно центральной плоскости. [c.16]

Переход от дифференциального уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы р -р = 0 к нормальной форме системы дифференциальных уравнений производится так вводятся обозначения р = = Хь 4 Х2, учитывая которые, получаем <= Хз, 2 > [c.75]

При г <. а>с имеем затухающие собственные колебания, при г > (йе — апериодическое движение. Переходим от (17.166) к нормальной системе уравнений [c.128]

В акустике и электродинамике переход от задач распространения волн к задачам об установившихся колебаниях, как правило, не составляет труда, если известен полный набор нормальных мод для соответствующей бесконечной области. Знание таких мод позволяет просто построить полный набор нормальных колебаний конечного тела, т. е. найти его собственные частоты и формы. Физической основой относительной простоты возникающих здесь математических задач является простота процесса отражения соответствующего типа волн от дополнительной границы. [c.157]

Выбор осей можно рассматривать как с математической, так и с физической точки зрения. Математически мы переходим от (ЗЛ/ —3) координат ( г, U) к координатам (9, ф, %, Qr) и находим каждую из координат (0, ф, %, Qr) как функцию координат ( 2, In) - Эту замену координат мы производим таким образом, чтобы колебательно-вращательный гамильтониан мож-1Ю было разложить па части Й Jx, Jy,h)- -Й Qi, Pi)- -. .. + (Qa/v-e, p3N-6) при минимальных допущениях. Это достигается с помощью условий Эккарта и матрицы I. С физической точки зрения мы вводим углы (О, ф, %) для определения ориентации молекулярно-фиксированных осей и координаты Q, для описания колебательных нормальных координат смещений. Тогда указанная выще замена координат позволяет отделить вращение от нормальных колебаний. Например, если растягивается связь ОН в молекуле воды, то очень легко определяется поступательное движение центра масс, но вращение молекулы (или молекулярно-фиксированных осей) зависит от определения вращающейся системы осей. На численном при.мере, приведенном выше, отклонение конфигурации молекулы воды от равновесной, описываемое ядерными координатами (1, т], 5) [(7.155) — [c.170]

Переходя к аналитическому методу определения нормальных колебаний, делаем, как обычно, предположение, что I пропорционально os(wi-l-e). Тогда уравнение (7) 59 принимает вид [c.220]

Переход к нормальным колебаниям позволяет рассматривать в отношении динамики решетку из N взаимно связанных колеблюш,ихся атомов как газ из ЗЛ/ невзаимодействующих гармонических осцилляторов. При этом вся информация о динамике решетки сосредоточивается в функ- [c.132]

Преимущества перехода к нормальным координатам консервативной системы очевидны можно анализировать колебания по каждому собственному тону независимо, а исследование колебаний сводится к простому и наглядному рассмотрению одностепенных систем. О комплексных нормальных координатах неконсервативной системы см. работу [16]. [c.331]

Для модели 11ч других многомассных моделей с постоянными параметрами при достаточно сложном виде кинематических возмущений и внешних сил целесообразно осуществить переход к нормальным (главным) координатам (см. справочник т. 1). На этапе перехода к нормальным координатам диссипативные силы из-за их малого влияния на собственные частоты и формы колебаний могут быть опущены и учтены позже соответствующими членами дифференциальных уравнений. [c.85]

Закончим двумя существенными замечаниями. Переход к нормальным координатам и полученное благодаря этому разделение функции Гамильтона на независимые нормальные колебания оказались возможными потому, что функция Гамильтона (31.1) — определенно положительная квадратичная форма. Всякая такая форма может быть диагонализирована. В связи с (30.9) мы, просто приняв во внимание периодичность решетки, уже смогли сделать переход к квантовой механике и ввести фононы. Теперь появление элементарных возбуждений не связано со свойствами решетки. Разделение всех соу на ветви, которые могут быть представлены в -пространстве зоны Бриллюэна, во всяком случае является следствием периодичности. Если бы мы не ограничились [c.140]

Фононные состояния. Построим теперь аналогичный формализм для описания фононов и электрон-( юнонного взаимодействия, Чтобы получить фононы логически последовательным способом, мы сначала найдем классический гамильтониан колеблющейся рещеткн. Использование амплитуд колебаний эквивалентно переходу к нормальным координатам. Нормировочный множитель удобно включить в определение нормальных координат. Итак, разложим смещения отдельных ионов по нормальным координатам и, [c.456]

Второй путь основан на предварительном переходе к нормальным координатам, как это было изложено в п. 3 этого параграфа. Это приводит к ряду задач о колебаниях систем с одной степенью свободы и позволяет получить решения в замкнутой форме, как это было пзло-жено в 5, п. 5. [c.170]

Осуществим переход в (5.181) к нормальным формам колебаний U-2 (О = < иф1 (О + iiifiii), ф-2 (О = 2l/l (О "Ь < 22/2 (0> [c.254]

Такой непрерывный переход, например от системы с п степенями свободы к системе с /г/2 степенями свободы (п — четное), можно мысленно осуществить следующим образом. В нашей дискретной системе будем отделять от одних грузов (положим, с нечетными номерами) малые доли, имеющие массу Ат, и переносить их на грузы с четными номерами. Повторяя эту операцию переноса достаточно большое число раз, мы достигнем того, что массы нечетных грузов обратятся в нуль, массы четных станут равными 2т, а расстояния между ними — равными 2а. Этой систем с п12 степенями свободы свойственны п/2 нормальных колебаний с угловыми частотами, определяемыми выра-исением [c.698]

В табл. 34.2 используется стандартная система обозначений молекулярной спектроскопии. Колебательновращательная полоса — совокупность переходов из верхнего колебательного состояния (vi, V2,. .., и )ворзс на нижнее (У[, 2,. ... г>п)нижн, где v,, vi,. .., Уп — квантовые числа для п нормальных колебаний молекулы. Квантовые числа У , V2, из для трехатомной молекулы относятся соответственно к симметричному валентному, деформационному и асимметричному валентному колебаниям. Чисто вращательные переходы — переходы между уровнями одного н того же электронного и колебательного состояния, различающиеся вращательным квантовым числом. [c.896]

Исследования состава и строения вещества по спектрам К. р.с. Основой аналитич. применений К. р.с. является то, что каждое хим. соединение имеет свой снецифич. спектр К. р. с. Поэтому эти спектры могут служить для идентификации данного соединения и обнаружения его в смесях (см. Спектральный анализ). Параметры нек-рых линий в спектрах К. р. с. сохраняются при переходе от одного соединения к другому, содержащему тот же структурный элемент, напр, связи с—Н, С = С, N—Н и др. Такая характеристичность параметров линий К. р. с. лежит в основе структурпого анализа молекул с неизвестным строением [2]. Ряд заключений о строении молекулы можно сделать, сопоставляя её спектр К. р. с. и ИК-спектр. Такое сопоставление позволяет судить о симметрии нормальных колебаний и, следовательно, о симметрии молекулы. Применение указанных методов особенно успешно при их сочетании с расчетом частот нормальных колебаний молекул [7]. [c.421]

Рис. 1.8. Схематическое представление уровней энергии органической молекулы и релаксационных переходов между этими уровнями. Слева показаны три низших синглетных уровня, а справа — два низших триплетных уровня. На электронные уровни накладываются колебательные З ровни. С целью упрощения для каждого электронного уровня показаны колебательные уровни только одного нормального колебания. В действительности большая молекула обладает очень большим числом нормальных колебаний (при Jf атомах их число равно 3 X—6), которые образуют множество колебательных уровней. В колебательную релаксацию вносят вклад также переходы между уровнями, относящимися к различным нормальным колебаниям. Переходы внутри син-глетной системы и внутри трнплетной системы называются внутренней конверсией (ВК), а переходы между этими двумя системами — интеркомбинационной конверсией. (ИК). Скорости релаксации для показанных процессов имеют следующие типичные значения

Переходя к колебаниям искривленных пластинок илн оболочек, мы встречаемся с новыми трудностями, связанными с тем, что между изгибными нормальными колебаниями и нормальными колебаниями, связанными с растяжением, нельзя провести резкой границы. Это уже было показано на примере с кольцом ( 51). Оказывается, однако, что если представить себе бесиредольное уменьшение толш ины пластинки, то нормальные колебания будут стремиться занять место в одной из двух определенных категорий. В одной категории частоты стремятся к определенным пределам это—колебания, связанные в основном с деформацией растяжения следовательно, этот случай аналогичен продольным колебаниям стержня, когда, как было показано, размеры нонеречного сечения не имеют значения. Во второй категории частоты уменьшаются беспредельно, так как в пределе они делаются пропорциональными толш ине пластинки, как и в случаях изгибных колебаний стержня или пластинки. [c.201]

Так, разделение молекул на простые и сложные, предложенное Непорентом [7], основано на сравнении времени перераспределения колебательной энергии между различными нормальными колебаниями ti и длительности возбужденного электронного состояния х. В простых молекулах миграция колебательной энергии между степенями свободы практически не осуществляется, поэтому для них 1>т. В сложных соединениях колебательное равновесие устанавливается за время 10 —10 с. Для разрешенных переходов время жизни возбужденных состояний составляет примерно 10 с. Поэтому к сложным [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...