Перемещения точек тела при деформации

Чтобы при постоянной температуре изменить форму тела, необходимо приложить внешние силы. Причем определенному изменению формы тела соответствует вполне определенная система внешних сил. Мы в дальнейшем ограничимся изучением весьма малых изменений формы и объема тел, и потому относительные перемещения точек тела при деформации будем считать малыми величинами. [c.14]

Ременная передача и т. д. Перемещения точек тела при деформации тела 6 Период колебания системы 415 Пластинки кольцевые — Устойчивость 498 [c.691]

Перемещения точек тела при деформации тела 12 [c.635]

Перемещение точки М при деформации тела определим вектором [c.64]

Можно представить и такое перемещение точек тела, при котором относительное их расположение не изменяется. В этом случае имеем перемещение, но нет деформации тела — тело перемещается [c.81]

Возьмем внутри тела какую-нибудь точку А (х, у, и весьма близкую к ней точку В (х бх, у - - бг/, 2 -Ь 62). Пусть и, V, го будут проекции перемещения точки А при деформации тела. Тогда координаты ее после деформации определятся формулами х — х и у-у = у Л- V, 2 = 2 -Ь и . [c.33]

Под действием приложенных сил или при изменении теплового состояния изменяются расстояния между частицами твердого тела. Это явление составляет деформацию твёрдого тела. Отнесём его к прямоугольным осям х, у, г. Возьмём произвольную точку М. тела, координаты которой до деформации обозначим через к, у, г. После деформации эта точка займёт положение М,, и её новые координаты обозначим через X,, у,, г,. Вектор ММ, представляет перемещение точки М при деформации. Его проекции на оси х, у, г обозначим соответственно через и, V, ге>. Тогда имеем очевидные соотношения [c.11]

Если и, V к т — составляющие перемещения точки О при деформации тела, то соответствующие перемещения весьма близкой к ней точки можно представить следующим образом [c.214]

Реакции связей определяю тся из уравнений равновесия в соответствии с принципом начальных размеров. Согласно этому принципу перемещения точек тела в пределах упругих деформаций настолько малы по сравнению с размерами самого тела, что ими можно при составлении уравнений равновесия пренебречь. [c.122]

Для вычисления остаточных напряжений и деформаций на основе решения задачи упругопластического деформирования композита воспользуемся теоремой о разгрузке, доказанной А.А. Ильюшиным [102]. В ней утверждается, что перемещения точки тела, находящегося в условиях объемного напряженного состояния (а также деформации н напряжения), в некоторый момент разгрузки равны разностям между их значениями в момент начала разгрузки и упругими перемещениями (соответственно деформациями и напряжениями), которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил, равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При зтом нагрузка и разгрузка должны быть простыми. [c.178]

Рассмотрим в недеформированном теле точку Р. При деформации она займет новое положение Р. Пусть х, у, z будут координатами Р, х- -и, V- -v, z- -w — координатами Р. Тогда и, V, w называются перемещениями или смещениями точки р. [c.91]

Расположим начало прямоугольной системы координат ж, у, г в закрепленной точке и к этим осям будем относить составляющие перемещения и, V, и . При переходе от одной точки к другой эти перемещения будут изменяться. Так как предполагается, что упругое тело при деформации не получает разрывов, то и, у и ы являются непрерывными функциями координат х, у, 2. Далее мы будем предполагать также непрерывность последовательных производных этих функций. [c.32]

На основании этой линейной зависимости Дж. Стокс установил еще одно положение, нашедшее широкое применение при решении задач сопротивления материалов и теории упругости. Если между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, то при возрастании напряжений в несколько раз деформации возрастут во столько же раз. Если деформация является результатом действия на упругое тело нескольких систем внешних сил, то ее можно получить, суммируя деформации, вызываемые отдельными системами сил. При этом, конечно, предполагается, что перемещения точек тела настолько малы, что деформации, вызываемые одной системой сил, не вносят изменений в действие другой системы и что при изучении напряженного состояния можно произвольно брать или то расположение точек тела, которое соответствует его естественному состоянию, или то, которое наступает после деформации. Это положение в дальнейшем будем называть принципом сложения действия сил [c.40]

Уравнения (43) и условия на поверхности (44) вполне определяют перемещения и, VII IV, которые совершают точки закрепленного упругого тела при деформации. [c.53]

Так как система напряжений 6Zx, bYz и соответствующих им внешних сил 6Zv, 6Zv удовлетворяет условиям статики, то работа этой системы внутренних и внешних сил на всяком возможном для упругого тела перемещении будет равна нулю. Возьмем в качестве возможных перемещений действительные перемещения м, у, w, которые совершают точки тела при действии заданных сил, и соответствующие им составляющие деформации вхх,. ... j/z- Тогда начало возможных перемещений дает уравнение [c.60]

Первые два уравнения этой си ем и первые два из условий (101) не заключают касательных напряжений г0 и 0г. Соответствующее им распределение напряжений будет симметричным относительно оси вращения. По меридиональным сечениям будут действовать лишь нормальные напряжения 00. Перемещения отдельных точек тела при такой деформации будут происходить в меридиональных сечениях. [c.151]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

Будем считать, что приращиваемые элементы изготовлены в один и тот же момент с исходным телом, а перемещения точек клина при г оо стремятся к нулю. Клин находится в условиях плоской деформации. [c.203]

Напряжения, деформации и перемещения во всех точках тела при заданных внешних силах, приложенных к телу, и известных объёмных силах определяются при помощи системы уравнений (1), (3), (7), (8), (10) и (И) или (12). [c.120]

Теория упругости как стройная научная дисциплина зародилась в начале XIX столетия, когда почти одновременно Л. Навье (1821) [54], А, Коши (1822) [40] и С. Пуассон (1829) [55] вывели общие уравнения равновесия и движения упругих тел и дали правильную постановку соответствующих задач. При этом допускалось, что перемещения точек тела весьма малы и что соотношения между напряжениями и деформациями линейны. [c.9]

Поскольку не представлялось возможным проследить за перемещением каждой конкретной частицы, оказалось уместным пойти по пути мысленного распределения вещества тела непрерывно по всему его объему, после чего можно было говорить о перемещениях точек тела как о непрерывных функциях координат. А так как не представлялось возможным вычислить и силы взаимодействия между каждой парой молекул, то оказалось целесообразным ввести статистическое понятие напряжения — осредненной силы взаимодействия между частицами, расположенными по одну сторону от произвольной площадки, мысленно выделенной внутри тела, и частицами, расположенными по другую сторону этой площадки. Погрешность, допускаемая при таком подходе, может быть существенной лишь при определении взаимных перемещений точек, первоначальные расстояния между которыми сравнимы с расстояниями между молекулами, или при определении силы, действующей на площадку, соизмеримую по величине с квадратом расстояния между молекулами. Но столь малые расстояния и площадки не представляют практического интереса при решении задач о деформации упругих тел, чем и оправдывается использование в теории упругости (а также и в теории пластичности) методов механики сплошных сред. Представление о твердом упругом теле как [c.12]

Приращение удельной работы деформации в какой-либо точке тела при бесконечно малом изменении перемещений йи, (IV, да (мы употребляем здесь не знак 8(.. , ), а знак с1 ... ), чтобы подчеркнуть, что речь идет не о произвольных возможных перемещениях, а о тех истинных приращениях перемещений, которые имеют место в течение рассматриваемого бесконечно малого этапа изменения нагрузки) определяется формулой (1.6) [c.125]

Геометрические уравнения. На время будем считать заданными некоторые непрерывные функции перемещений точек тела и = и (л, > ) и у=у (л, > ). Выразим через них деформации е,, Еу и у . При этом и деформации, и перемещения будем считать малыми (е 1, у 1). В этом предположении продольные деформации е , Еу и деформацию [c.524]

Зная деформации тела во всех его точках и условия закрепления, можно определить перемещения всех точек тела, т. е, указать их положение (новые координаты) после деформации. Для нормальной эксплуатации сооружения деформации его отдельных элементов должны быть, как правило, упругими, а вызванные ими перемещения не должны превосходить по величине определенных допускаемых значений. Эти условия, выраженные в форме тех или иных уравнений, называются условиями жесткости. В некоторых случаях допускаются небольшие пластические деформации (для конструкций из железобетона, пластмасс и для конструкций из металла при действии высоких температур). [c.15]

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис. 309), нагруженное тем или иным способом, но так, что внешняя нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется. Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношение между внутренним и наружным радиусами цилиндра ограничений не накладывается. Длину цилиндра пока также будем считать произвольной. В дальнейшем по этому поводу будут сделаны некоторые оговорки. Каждая точка цилиндра при его деформации получит какие-то перемещения. По условиям симметрии эти перемещения, очевидно, будут происходить в радиальных плоскостях. Точка может перемещаться по направлению радиуса и вдоль соответствующей образующей. [c.275]

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где X—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п. [c.375]

Теория деформаций изучает механическое изменение взаимного расположения множества точек сплошной среды, приводящее к изменению формы и размеров тела. Деформация тела возникает в результате действия внешних сил, магнитного и электрического полей, теплового расширения и приводит к возникновению напряжений. Для описания деформации тела в целом в качестве ее меры используются перемещения точек. Деформация тела в целом слагается из деформации ее материальных частиц. Для описания деформации частиц используются относительные удлинения и сдвиги. Они связаны между собой определенными дифференциальными зависимостями, выражающими условие того, что тело, сплошное до деформации, должно оставаться сплошным и после деформации. Как и напряжения, деформации изменяются при переходе от одной частицы к другой, образуя поле деформаций. Знание деформации тела необходимо для оценки его жесткости и определения напряжений. [c.63]

Иначе говоря, работа силы пружины зависит только от положения начально и конечной точек, между которыми произошло перемещение конца пружины, т. е. от величин начальной и конечной деформаций пружины, но не от пути, по которому это перемещение произошло. Сказанное справедливо не только для пружин, подчиняющихся закону Гука, но и для упругих сил, возникающих при деформации любых тел и при любом характере зависимости величины этих сил от величины деформации. [c.125]

Гипотеза линейности деформаций. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. Суть допущения покажем на примере (рис. 2 4). Если балка при действии силы Г прогнется на величину /, то вдвое большая сила вызовет прогиб балки в два раза больший — 2/. Тела, для которых [c.177]

Так как потенциальная энергия системы определяется суммой работ сил тяжести и сил упругости при перемещении системы из отклоненного положения в нулевое (положение покоя), то деформации пружин, не нагруженных в положении покоя, вычисляются с точностью до величин первого порядка малости, а вертикальные смещения центров тяжести тел и деформации пружин, нагруженных в положении покоя, —с точностью до величин второго порядка малости включительно. [c.341]

Допустим, что граничные условия на всей поверхности тела заданы в перемещениях. Очевидно, что распределение деформаций и перемещений в упругом теле зависит только от одной упругой постоянной — коэффициента Пуассона. Следовательно, деформированное состояние вязкоупругого тела в любой момент времени t совпадает с деформированным состоянием упругого тела. Если граничные условия во времени остаются постоянными, то и деформированное состояние вязкоупругого тела остается неизменным. Компоненты тензора напряжений меняются во времени. Их значения легко найти из физических соотношений, а графики изменения напряжений во времени оказываются подобными кривым релаксации, которые строятся по результатам испытаний образцов при фиксированных во времени деформациях. Итак, в рассматриваемом случае решается задача о релаксации вязкоупругого тела. [c.352]

Первое условие означает, что перемещения отвечают движению твердого тела без деформации, из второго следует, что скорости равны нулю, а так как при t = 0 было щ = О, то перемещение остается равным нулю все время. Отсюда следует [c.431]

Допущение о сплошности позволяет использовать анализ бесконечно малых величин, считать перемещения точек тела при деформации непрерывными и дифференцируемыми фушшгнями координат и выразить компоненты деформаций через производные этих функций. [c.17]

Допущение о сплошности, приписывающее твердому телу способность заполнять объем без всяких пустот, позволяет ввести понятие напряженно-деформированного состояния в точке тела и записать условия равновесия элемента тела в виде дифференциальных уравнений. Кроме того, это допущение дает возможность считать перемещения точек тела при деформации непрерывными и диффренцируе-мыми функциями координат и выразить компоненты деформаций через производные этих функций. [c.6]

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через и, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок и р. Тогда величина 1]р измеряется положительной работой этих нагрузок Ар с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации V соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении. [c.401]

При ударе двух тел в месте их соприкосновения возникают деформации и, следовательно, перемещения точек тел, обусловленные деформациями. Вследствие малости деформаций по сравнению с перемещениями точек тел за конечный промежуток времени перемещения точек тел за время удара являются величинами малыми. В общем случае, если Пср — средняя скорость за время удара какой-либо точки системы, испытывающей удар, то перемещение этой точки имеет порядок величины т, так как средняя скорость есть величина конечная. Поэтому перемещениями точек за время удара можно пренебрегать. Считают, что за время удара точки системы не успевают изменить свое положение, а следовательно, не нзменяротся радиус-векторы точек и их координаты. Если, например, тело падает на спиральную пружину, то за время удара величина перемещения тела равна сжатию пружины за это время. Этим перемещением можно пренебречь по сравнению, например, с перемещением тела от начала удара тела до момента наибольшей деформации пружины. При ударе пружину можно считать твердым телом в приближенных расчетах при рассмотрении перемещения тела за время удара. [c.506]

Шесть компонент тензора деформации выражаются но формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат вц нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. [c.216]

Таким образом доказана следующая теорема о разгрузке перемещения точки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от их значений в момент начала разгрузки на величины упругих перемещений, которые возникали бы в теле, если бы в естественном (ненапряжённом и недеформированном) состоянии к нему были приложены внешние силы, равные разностям внешних сил, действующих на тело в указанные моменты. То же относится к деформациям и напряжениям. Отсюда, как следствие, имеем теорему об остающихся в теле напряжениях, деформациях и перемещениях при полном снятии всех внешних сил если для тела решена задача пластичности и заданным значениям внешних сил X,..., . . . соответствует истинное состояние равновесия (5) и если, кроме того, для тела решена задача теории упругости, т. е. тем же внешним силам. соответствует фиктивное состояние упругого равновесия (Si), то в результате полной разгрузки тела в нём остаются перемещения, деформации и напряжения, равные разностям их значений в истинном и фиктивном состояниях. При этом, конечно, предполагается, что остающиеся напряжения в результате разгрузки вторично не выходят за предел упругости. [c.120]

S Значения деформаций и напряжений на каком-либо фиксированном расстоянии от конца трещины мало подходят, если иметь в виду численные методы получения решения. Это связано с тем, что деформации зависят от формы и размеров конечньгх элементов, а также i OT их сложности. Более подходящим представляется использование Перемещений точек тела, являющихся интегралом относительных деформаций и обладающих достаточной стаблльностью при изменении формы m размеров конечных элементов. Такой подход был использован при обработке результатов испытаний образцов различных размеров из стали ЙОХНМФ [35]. [c.55]

Поэтому можно к исследованию механизмов с различными функциональными назначениями применять общие методы, базирующиеся на основных принципах современной механики. В механике обычно рассматриваются статика, кинематика и динамика как абсолютно твердых, так и упругих тел. При исследовании машин и механизмов, как правило, мы можем считать жесткие тела, образующие механизм, абсолютно твердыми, так как перемещения, возникающие от упругих деформаций тел, малы по от Ю-[[leHHfO к перемещениям самих тел и их точек. Если мы рассматриваем механизмы как устройства, в состав которых входят только твердые тела, то для исследования кинематики и динамики механизмов можно пользоваться методами, излагаемыми в теоретической механике. Если же требуется изучить кинематику и динамику механизмов с учетом упругости звеньев, то Для этого, кроме методов теоретической механ.чки, мы должны еще применять методы, излагаемые в сопротивлении материалов, теории упругости и теории колебании. Если в состав механизма входят жидкие или газообразные тела, то необходимо привлекать к исследованию кинематики и динамики механизмов гидромеханику и аэромеханику. [c.17]

В классической линейной теории упругости твердое тело считается идеально упругим. Это означает, что в любой момент времени t в данной точке тела напряжения ст,/ зависят только от деформаций ец в этой же точке в тот же момент времени при той же температуре Т. Рассеяние W предполагается равным нулю. Перемещения Uh и их градиенты dukidxu считаются малыми. В этом случае лагранжевы и эйлеровы координаты можно считать совпадающими (х,=л ,). Для деформаций имеем выражение [c.112]

Перемещение произвольной точки определяется только ее координатами в плоскости поперечного сечения и не зависит от положения этого сечения по длине тела. Деформация, при которой перемещение всех точек тела параллельны одной и той же плоскости, называтся плоской деформацией. [c.25]

Будем считать, что у торцов цилиндра обеспечиваются такио /ке условия. Следовательно, ш = О и = 0. При этом перемещения во всех точках тела происходят только в параллельных плоскостях [на рис. 4.2, а, б, в это перемещения и = и (.г, у) и и = v (х, у) в плоскостях, параллельных осу]. Эю и есть случай плоской деформации тела. [c.72]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Если величины ссц постоянны, то распределение температуры, линейно зависящее от координат, не вызывает напряжений в теле. Действительно, уравнения совместности содержат только вторые производные от компонент деформации, следовательно, они будут удовлетворены тождественно, если ец = е] представляют собою лпнеппые функции от х Конечно, при этом предполагается, что поверхность тела не закреплена, в противном случае может оказаться, что перемещения, соответствующие данной системе деформаций и определенные по формулам Чезаро ( 7.3), окажутся недопустимыми вследствие граничных условий тогда в местах закрепления возникнут реактивные силы, которые вызовут напряжения в теле. [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...