Перемещения точек тела при деформации тела

Ременная передача и т. д. Перемещения точек тела при деформации тела 6 Период колебания системы 415 Пластинки кольцевые — Устойчивость 498 [c.691]

Перемещения точек тела при деформации тела 12 [c.635]

Перемещение точки М при деформации тела определим вектором [c.64]

Чтобы при постоянной температуре изменить форму тела, необходимо приложить внешние силы. Причем определенному изменению формы тела соответствует вполне определенная система внешних сил. Мы в дальнейшем ограничимся изучением весьма малых изменений формы и объема тел, и потому относительные перемещения точек тела при деформации будем считать малыми величинами. [c.14]

Возьмем внутри тела какую-нибудь точку А (х, у, и весьма близкую к ней точку В (х бх, у - - бг/, 2 -Ь 62). Пусть и, V, го будут проекции перемещения точки А при деформации тела. Тогда координаты ее после деформации определятся формулами х — х и у-у = у Л- V, 2 = 2 -Ь и . [c.33]

Если и, V к т — составляющие перемещения точки О при деформации тела, то соответствующие перемещения весьма близкой к ней точки можно представить следующим образом [c.214]

Можно представить и такое перемещение точек тела, при котором относительное их расположение не изменяется. В этом случае имеем перемещение, но нет деформации тела — тело перемещается [c.81]

Под действием приложенных сил или при изменении теплового состояния изменяются расстояния между частицами твердого тела. Это явление составляет деформацию твёрдого тела. Отнесём его к прямоугольным осям х, у, г. Возьмём произвольную точку М. тела, координаты которой до деформации обозначим через к, у, г. После деформации эта точка займёт положение М,, и её новые координаты обозначим через X,, у,, г,. Вектор ММ, представляет перемещение точки М при деформации. Его проекции на оси х, у, г обозначим соответственно через и, V, ге>. Тогда имеем очевидные соотношения [c.11]

Теория деформаций изучает механическое изменение взаимного расположения множества точек сплошной среды, приводящее к изменению формы и размеров тела. Деформация тела возникает в результате действия внешних сил, магнитного и электрического полей, теплового расширения и приводит к возникновению напряжений. Для описания деформации тела в целом в качестве ее меры используются перемещения точек. Деформация тела в целом слагается из деформации ее материальных частиц. Для описания деформации частиц используются относительные удлинения и сдвиги. Они связаны между собой определенными дифференциальными зависимостями, выражающими условие того, что тело, сплошное до деформации, должно оставаться сплошным и после деформации. Как и напряжения, деформации изменяются при переходе от одной частицы к другой, образуя поле деформаций. Знание деформации тела необходимо для оценки его жесткости и определения напряжений. [c.63]

Гипотеза линейности деформаций. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. Суть допущения покажем на примере (рис. 2 4). Если балка при действии силы Г прогнется на величину /, то вдвое большая сила вызовет прогиб балки в два раза больший — 2/. Тела, для которых [c.177]

В последующем мы будем часто использовать выше примененный метод наложения, или суперпозицию, для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами. Он является законным до тех пор, пока деформации малы, а соответствующие им малые перемещения не влияют существенно на действие внешних сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела, а также малыми перемещениями точек приложения внешних сил, и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела. Получающиеся в результате перемещения можно находить с помощью суперпозиции в виде линейных функций внешних усилий, как это было сделано при выводе соотношений (3). [c.28]

При деформации тела внешние силы производят работу на соответствующих перемещениях. Если перемещения упруги, то эта ра бота полностью превращается в потенциальную энергию деформации и может быть возвращена при разгрузке. Если перемещения частично упруги, то часть работы внешних сил безвозвратно расходуется на пластические деформации. [c.66]

Реакции связей определяю тся из уравнений равновесия в соответствии с принципом начальных размеров. Согласно этому принципу перемещения точек тела в пределах упругих деформаций настолько малы по сравнению с размерами самого тела, что ими можно при составлении уравнений равновесия пренебречь. [c.122]

Идея волнового способа перемещения деформируемых тел по опорной поверхности может быть использована для перемещения многозвенных устройств с жесткими звеньями, контактирующими с опорной поверхностью, если расстояния между звеньями могут периодически изменяться при помощи тех или иных механизмов возвратнопоступательного действия, нанример гидроцилиндров, винтовых, кривошипно-шатунных, кулачковых и т. п. механизмов. В этом случае роль локальной продольной деформации сокращения-удлинения участков перемещающегося тела играют возвратно-поступательные движения звеньев устройства, а движение вдоль тела участков удлинения или сокращения ( бегущая волна ) обеспечивается последовательным действием механизмов возврат-но-поступательного движения. На основе этого способа передвижения могут быть созданы многозвенные транспортно-тяговые устройства, где звенья соединены в линию, образуя, таким образом, продолговатое тело ( поезд ), причем соседние звенья поезда должны иметь возможность смещаться (аналогично смещениям точек деформируемого тела) относительно друг друга на небольшую величину. Можно сказать, что в таких устройствах использована идея волнового передвижения деформируемого тела по опорной поверхности, хотя эти устройства не имеют деформируемых звеньев. Такие устройства в определенных условиях эксплуатации обладают положи- [c.163]

В перечне (1.5) подчеркнуты определяющие параметры для класса явлений статической упругости. Под величиной I здесь надо понимать некоторый характерный размер, при помощи которого могут быть выражены все остальные размеры и координаты точек тела. Под а, е, и понимаются компоненты напряжений, деформаций и перемещений в обобщенном смысле, которые могут принимать любые из значений etj, щ. Здесь и в последующих примерах для простоты рассматривается фиксированная точка тела и текущие координаты условно не включены в число определяющих параметров. [c.12]

Для вычисления остаточных напряжений и деформаций на основе решения задачи упругопластического деформирования композита воспользуемся теоремой о разгрузке, доказанной А.А. Ильюшиным [102]. В ней утверждается, что перемещения точки тела, находящегося в условиях объемного напряженного состояния (а также деформации н напряжения), в некоторый момент разгрузки равны разностям между их значениями в момент начала разгрузки и упругими перемещениями (соответственно деформациями и напряжениями), которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил, равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При зтом нагрузка и разгрузка должны быть простыми. [c.178]

Для простоты и наглядности представления теории рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния в теле, когда векторы Э и S являются двумерными. Для изучения законов упругости и пластичности материалов, т. е. для установления связи между 5 и Э, необходима постановка таких опытов, в которых в любой момент времени могут быть измерены напряжения и деформации во всех точках тела. Для этого необходимо, чтобы напряженное и деформированное состояние испытуемого тела было однородно, т. е. одинаково во всех точках тела. В таком случае по значениям внешних сил и значениям перемещений границ тела легко находятся напряжения и деформации тела. Однако фактически осуществить однородное состояние удается лишь в очень небольшом числе случаев. Выше мы видели, что тело любой формы при равномерном внешнем давлении по всей границе получает однородную деформацию равномерного сжатия, и в этом — простота изучения свойств объемной сжимаемости тел. Далее будем рассматривать однородные сложные напряженные состояния и состояние сдвигов. [c.152]

Рассмотрим в недеформированном теле точку Р. При деформации она займет новое положение Р. Пусть х, у, z будут координатами Р, х- -и, V- -v, z- -w — координатами Р. Тогда и, V, w называются перемещениями или смещениями точки р. [c.91]

Расположим начало прямоугольной системы координат ж, у, г в закрепленной точке и к этим осям будем относить составляющие перемещения и, V, и . При переходе от одной точки к другой эти перемещения будут изменяться. Так как предполагается, что упругое тело при деформации не получает разрывов, то и, у и ы являются непрерывными функциями координат х, у, 2. Далее мы будем предполагать также непрерывность последовательных производных этих функций. [c.32]

На основании этой линейной зависимости Дж. Стокс установил еще одно положение, нашедшее широкое применение при решении задач сопротивления материалов и теории упругости. Если между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, то при возрастании напряжений в несколько раз деформации возрастут во столько же раз. Если деформация является результатом действия на упругое тело нескольких систем внешних сил, то ее можно получить, суммируя деформации, вызываемые отдельными системами сил. При этом, конечно, предполагается, что перемещения точек тела настолько малы, что деформации, вызываемые одной системой сил, не вносят изменений в действие другой системы и что при изучении напряженного состояния можно произвольно брать или то расположение точек тела, которое соответствует его естественному состоянию, или то, которое наступает после деформации. Это положение в дальнейшем будем называть принципом сложения действия сил [c.40]

Уравнения (43) и условия на поверхности (44) вполне определяют перемещения и, VII IV, которые совершают точки закрепленного упругого тела при деформации. [c.53]

Так как система напряжений 6Zx, bYz и соответствующих им внешних сил 6Zv, 6Zv удовлетворяет условиям статики, то работа этой системы внутренних и внешних сил на всяком возможном для упругого тела перемещении будет равна нулю. Возьмем в качестве возможных перемещений действительные перемещения м, у, w, которые совершают точки тела при действии заданных сил, и соответствующие им составляющие деформации вхх,. ... j/z- Тогда начало возможных перемещений дает уравнение [c.60]

Первые два уравнения этой си ем и первые два из условий (101) не заключают касательных напряжений г0 и 0г. Соответствующее им распределение напряжений будет симметричным относительно оси вращения. По меридиональным сечениям будут действовать лишь нормальные напряжения 00. Перемещения отдельных точек тела при такой деформации будут происходить в меридиональных сечениях. [c.151]

Доказательство теоремы Кирхгофа было основано на допущении, что малым деформациям, которые могут возникать при допускаемых на практике напряжениях, будут соответствовать весьма малые перемещения точек тела и потому можно не делать различия в распределении сил до и после деформации. Когда мы переходим к телам, у которых один или два размера малы, т. е. исследуем вопросы о равновесии тонких пластинок или тонких стержней, то здесь встречаемся с возможностью появления весьма значительных перемещений при деформациях, не выходящих за допускаемые пределы. В таких случаях приходится принимать во внимание те изменения в действии сил, которые обусловлены перемещениями при деформации. В качестве простейшего примера приведем подробно рассмотренную нами задачу об одновременном действии на балку продольной силы и поперечных нагрузок. Если бы мы в этой задаче при оценке действия продольной силы исходили из первоначальной прямой формы, то заключили бы, что продольная сила вызывает лишь растяжение или сжатие стержня. Иной результат мы получим, если примем во внимание перемещения, вызванные деформацией. Мы находим, что продольная сила влияет на изгиб стержня и это влияние при некоторых условиях может быть весьма значительным. [c.257]

При деформации тела взаимное положение его отдельных точек меняется, точки получают перемещения. Например, под действием груза Q (рис. 1) нижний конец стержня перемещается (опускается) на величину и, в то время как верхний конец остается неподвижным. Различие в перемещениях связано с изменением длины стержня под нагрузкой. Абсолютное удлинение Д/ = 4 — 4 в данном примере равно перемещению и и зависит от длины стержня. Собственно деформация стержня характеризуется относительным удлинением [c.6]

При деформации тела под действием внешних сил точки приложения этих сил получают те или иные перемещения в результате на деформацию затрачивается определенная работа, совершаемая этими силами. Эта работа равна отрицательной работе внутренних сил, сопротивляющихся деформированию тела. Если деформация упругая, то работа внутренних сил равна потенциальной энергии, накопленной деформированным телом. Эта энергия может быть возвращена при восстановлении им первоначальной формы под действием внутренних сил упругости. [c.286]

Будем считать, что приращиваемые элементы изготовлены в один и тот же момент с исходным телом, а перемещения точек клина при г оо стремятся к нулю. Клин находится в условиях плоской деформации. [c.203]

Постулируя применимость законов статики в каждой точке тела и к телу в целом, считают, что деформации от внешних нагрузок малы по сравнению с размерами тела, поэтому высшими степенями перемещений часто пренебрегают. Нельзя забывать при этом, что статически эквивалентные системы внешних сил, действующих на деформируемое тело, дают разный эффект. Если, например, перенести силу вдоль линии ее действия или разложить на составляющие, то напряженное и деформированное состояния тела могут измениться. [c.12]

Зависимость (13) представляет собой уравнение перемещений контактной задачи. Если и совпадают с точкой первоначального касания, то обе части уравнения обращаются в нуль. По мере удаления соответствующих точек Aj и Л г от оси z левая часть зависимости (13) возрастает и соответственно уменьшается в правой части член, содержащий (Ш1 + Ша). Среди всех точек, приходящих в соприкосновение при деформации тел, величина Zj + будет наибольшей у контурных точек площадки контакта. [c.386]

При деформации тела внешние нагрузки производят работу на соответствующих перемещениях. Если перемещения упруги, то эта работа полностью превращается в потенциальную энергию деформации и может быть возвращена при разгрузке. Если пере- [c.29]

Напряжения, деформации и перемещения во всех точках тела при заданных внешних силах, приложенных к телу, и известных объёмных силах определяются при помощи системы уравнений (1), (3), (7), (8), (10) и (И) или (12). [c.120]

Теория упругости как стройная научная дисциплина зародилась в начале XIX столетия, когда почти одновременно Л. Навье (1821) [54], А, Коши (1822) [40] и С. Пуассон (1829) [55] вывели общие уравнения равновесия и движения упругих тел и дали правильную постановку соответствующих задач. При этом допускалось, что перемещения точек тела весьма малы и что соотношения между напряжениями и деформациями линейны. [c.9]

Поскольку не представлялось возможным проследить за перемещением каждой конкретной частицы, оказалось уместным пойти по пути мысленного распределения вещества тела непрерывно по всему его объему, после чего можно было говорить о перемещениях точек тела как о непрерывных функциях координат. А так как не представлялось возможным вычислить и силы взаимодействия между каждой парой молекул, то оказалось целесообразным ввести статистическое понятие напряжения — осредненной силы взаимодействия между частицами, расположенными по одну сторону от произвольной площадки, мысленно выделенной внутри тела, и частицами, расположенными по другую сторону этой площадки. Погрешность, допускаемая при таком подходе, может быть существенной лишь при определении взаимных перемещений точек, первоначальные расстояния между которыми сравнимы с расстояниями между молекулами, или при определении силы, действующей на площадку, соизмеримую по величине с квадратом расстояния между молекулами. Но столь малые расстояния и площадки не представляют практического интереса при решении задач о деформации упругих тел, чем и оправдывается использование в теории упругости (а также и в теории пластичности) методов механики сплошных сред. Представление о твердом упругом теле как [c.12]

Приращение удельной работы деформации в какой-либо точке тела при бесконечно малом изменении перемещений йи, (IV, да (мы употребляем здесь не знак 8(.. , ), а знак с1 ... ), чтобы подчеркнуть, что речь идет не о произвольных возможных перемещениях, а о тех истинных приращениях перемещений, которые имеют место в течение рассматриваемого бесконечно малого этапа изменения нагрузки) определяется формулой (1.6) [c.125]

При ударе двух тел в месте их соприкосновения возникают деформации и, следовательно, перемещения точек тел, обусловленные деформациями. Вследствие малости деформаций по сравнению с перемещениями точек тел за конечный промежуток времени перемещения точек тел за время удара являются величинами малыми. В общем случае, если Пср — средняя скорость за время удара какой-либо точки системы, испытывающей удар, то перемещение этой точки имеет порядок величины т, так как средняя скорость есть величина конечная. Поэтому перемещениями точек за время удара можно пренебрегать. Считают, что за время удара точки системы не успевают изменить свое положение, а следовательно, не нзменяротся радиус-векторы точек и их координаты. Если, например, тело падает на спиральную пружину, то за время удара величина перемещения тела равна сжатию пружины за это время. Этим перемещением можно пренебречь по сравнению, например, с перемещением тела от начала удара тела до момента наибольшей деформации пружины. При ударе пружину можно считать твердым телом в приближенных расчетах при рассмотрении перемещения тела за время удара. [c.506]

Допущение о сплошности позволяет использовать анализ бесконечно малых величин, считать перемещения точек тела при деформации непрерывными и дифференцируемыми фушшгнями координат и выразить компоненты деформаций через производные этих функций. [c.17]

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через и, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок и р. Тогда величина 1]р измеряется положительной работой этих нагрузок Ар с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации V соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении. [c.401]

Существенно еще формальное совпадение уравнений (5.11), (4.11) с уравнениям (3.30) теории малых упруго-пластических деформаций, если в последних функцию упрочнения Ф (s -) заменить на функцию ( 1 /), деформации заменить на скорости деформаций и ин-тенсив1юсть — на т. е. вектор перемещения точки заменить на вектор ее скорости. Из этого формального совпадения уравнений (5.11) и (3.30) вытекает закон подобия перемещений тел, рассмотренных в главе 111 при определенных нагрузках, и скоростей установившейся ползучести соответствующих тел при соответствующих нагрузках, рассматриваемых в этой главе. [c.245]

Шесть компонент тензора деформации выражаются но формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат вц нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям. С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации. При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. [c.216]

В поток жидкости, расход которой должен быть измерен, помещается тело /. При обтекании тела 1 жидкостью возникает сила, действующая на него, которая будет пропорциональна квадрату скорости потока. Если уравновешивать эту силу упругой силой пружины 2, то при разных споростях потока, а значит, при разных расходах деформация пружины будет различной. Следовательно, по величине деформации пружины можно судить о расходе жидкости. Перемещение тела 1 передается рычагу, связанному с якорем 3, вызывая изменение коэффициента самоиндукции ка-тум1ек 4 ц 5, которое регистрируется измерительным прибором 6, включенным через усилитель 7, [c.77]

Рассмотрим две точки М , М2 первого и второго тел, расположенные в области, примыкающей к месту контакта, на общем перпендикуляре к плоскости П. В системах осей Oxyzi, Oxyz2, введенных в п. 6.7, координаты этих точек до деформации соответственно будут zi,x,y) и гч,х,у). При деформации тел точкам Ml, М2 сообщаются перемещения, проекции которых на оси zi, Z2 обозначаются через Wi, W2. Одновременно точки Ми М2 сместятся вместе со своими телами и займут положения М , М2 поэтому после деформации интересующие нас координаты 2, г точек М, М станут равными [c.329]

Рассмотрим твердое деформируемое тело, находящееся в статическом равновесии под действием совокупности поверхностных нагрузок S и объемных сил F. Предположим, что при приложении добавочных сил AS и AF равновесие тела сохранится, а напряжения, деформации и перемещения в теле получат приращения А<т, Ае, Аи соответственно. В случгье, когда добавочные нагрузки вызывают необратимые деформации, при снятии дополнительных сил точки тела не возвращаются в исходное деформированное состояние. Обозначим соответствующие отклонения перемещений, которые состоят из упругих и пластических компонент, через Аи. Если для любых систем дополнительных сил конечной или бесконечно малой величины внешний источник совершает положительную работу на производимых им смещениях, то состояние равновесия тела является полностью устойчивым в большом или, соответственно, в малом. Существует энергетический барьер, препятствующий передвижению системы в любую соседнюю конфигурацию. [c.204]

При составлении уравнения (43) энергетического баланса предполагалось, что а) удар неупругий б) деформация мгновенно охватывает всю пружину (допустимо принимать при г о<5 м1сек) и скорости её отдельных элементов пропорциональны перемещениям зтих элементов при статическом приложении нагрузки в месте удара в) все деформации упруги и потенциальная энергия пружины может быть подсчитана по формулам, соответствующим статическому нагружению г) опоры пружины считаются абсолютно жёсткими д) деформация ударяющего тела во внимание не принимается. Если Vo м1сек > 0,28 (ту. кг млА) (ту. — предел текучести материала при сдвиге), то в первом витке пружины, свитой из проволоки круглого поперечного сечения, неизбежно возникнут пластические деформации вне зависимости от массы ударного груза. [c.892]

Плоские поля смещений или скоростей. В тонкой плас-стинке, растягиваемой силами, действующими в ее плоскости, или в вытянутом теле, перемещения точек которого ограничены параллельными плоскостями, составляющие смещений или скоростей зависят от двух координат. Если плоскость х, у совпадает со срединной плоскостью диска или с одной из параллельных плоскостей вытянутого тела, то компоненты смещений (или скоростей) и, V ъ направлениях осей х w у определяют плоское поле векторов. Рассмотрим две точки Р х,у) и Q x + dx, уЛ-dy), отстоящие друг от друга на бесконечно малое расстояние dr = = dx- -jdy, и предположим, что две оси, проходящие через точку Р параллельно осям х и у, перемещаются вместе с телом во время его движения. Малый элемент dxdy материала будет испытывать малые деформации и малые вращения относительно осей X, у, Z, которые предполагаются фиксированными в пространстве. Компоненты перемещений и и v при переходе от точки Р к точке Q получают приращения [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...