Вращение твердого тела с неподвижной точкой

В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике. [c.2]

Применим теорему Пуанкаре к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в слабом поле сил тяжести. [c.92]

Прежде чем дать общие определения, рассмотрим поучительный пример. Речь пойдет об уравнениях Эйлера, описывающих свободное вращение твердого тела с неподвижной точкой [c.110]

Пример 14. В задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой М=Т30(3) =30(3) хР . Если тело вращается в осесимметричном силовом поле, то имеется однопараметрическая группа симметрий 0=50(2). Фактор многообразие М/50 (2) диффеоморфно 5 ХЛ . Уравнения движения на этом пятимерном многообразии записываются в виде уравнений Эйлера—Пуассона [c.109]

Следствие. Задача о вращении твердого тела с неподвижной точкой в любом осесимметричном силовом поле при каждом значении момента имеет не менее двух различных стационарных вращений. Количество различных стационарных движений в общем случае можно оценить, например, с помощью неравенств Морса. Однако в конкретных задачах удается, как правило, получить более точную информацию (см. п.п. 3.3—3.4). [c.116]

Возмущения вековые 67, 123 Вращение твердого тела с неподвижной точкой 179 Вращения 67, 69, 72 [c.521]

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движение тела, у которого Аф В, и движение тела в случае, когда А В, т. е, когда эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. В случае А = В мы будем говорить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако А = В, т. е. имеет место динамическая симметрия. [c.195]

Формула Эйлера справедлива и для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. В этом случае в каждый момент времени тело вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку, с угловой скоростью а, направленной по мгновенной осп. [c.169]

Так как при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки вектор О) изменяется с течением времени не только по модулю, но и по направлению, то направление вектора е не совпадает с направлением вектора со. [c.385]

Твердое тело с неподвижной точкой. Эту неподвижную точку можно принять за начало подвижных и неподвижных осей. Так как скорость точки О равна нулю, то скорости различных точек тела будут такими, как если бы оно вращалось вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку (Эйлер). Эта ось называется мгновенной осью вращения. Ось винтового движения совпадает с ней, но скольжение в этом винтовом движении отсутствует и остается только мгновенное вращение. Конечное движение тела получится, если заставить катиться конус С с вершиной в точке О, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в теле, по конусу с той же вершиной О, являющемуся геометрическим местом мгновенных осей в пространстве. [c.75]

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДЛЯ ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА—ПУАССОНА. Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести (вектор вертикали f = e ), предполагая, что моменты инерции В = С и центр масс лежит на оси динамической симметрии Ое на расстоянии / от О. В частности, тело может быть просто осесимметрично. [c.227]

Рис. 15. Вращающийся диск. Пример того, что кинетический момент твердого тела с неподвижной точкой в общем случае не коллинеарен вектору угловой скорости (если ось вращения не является главной). Это расхождение — почти недоступное зрительному восприятию — является ключом к объяснению закономерностей динамики твердого тела, некоторые из которых поначалу кажутся странными. В данном частном случае в концах оси вращения возникают значительные боковые усилия (ведущие к износу подшипников), несмотря на то что центр масс диска находится на оси вращения

Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо [c.37]

Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение интегрируемого случая Эйлера-Пуансо впервые поставлена А. Пуанкаре в пятой главе Новых методов небесной механики . [c.53]

Замечание 2. Теорема 1 фактически утверждает, что канонические уравнения задачи о вращении тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не допускают, кроме интегралов энергии и площадей, третьего аналитического интеграла, находящегося в инволюции с интегралом площадей. Последнее условие можно отбросить, но это потребует более громоздкого доказательства (ср. с [1, п. 86]). [c.67]

Рассмотрим еще задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил [26, 35]. С большой точностью потенциал в этом случае можно представить в следующем виде [26] [c.69]

Следствие 4. Если А > В > С и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических. [c.71]

Прошло уже 110 лет с тех пор, как С. В. Ковалевская открыла новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (1888 г.). Однако до сих пор о качественных свойствах движения тела в этом случае известно очень мало. Все параметры движения выражены через время при помощи квадратур, однако они настолько громоздки, что не позволяют непосредственно изучить вращение твердого тела. Были даже поставлены эксперименты с волчком Ковалевской (проф. Мерцалов, см. [30]), но при этом результаты получились очень запутанными и не привели к выявлению существенных закономерностей движения. Запутанность движения оси динамической симметрии в этих экспериментах объясняет, по-видимому, тот факт, что в общем случае множество D ( 4) на неподвижной единичной сфере является двумерной областью, и траектория точки р ( 4) заполняет эту область всюду плотно. [c.224]

Предположим, что твердое тело с неподвижной точкой вращается в силовом поле с потенциалом V. Пусть а,р, — векторы неподвижного ортонормированного репера, рассматриваемые как векторы связанного с телом подвижного пространства. Поскольку они однозначно определяют положение тела в неподвижном пространстве, то потенциал V можно считать функцией от а,/9,7. Запишем уравнения Пуанкаре, приняв в качестве пространства положений группу 50(3). Пусть снова (как и в п. 3 2) Щ,и2, щ обозначают левоинвариантные векторные поля на группе 50(3), порождаемые постоянными вращениями тела вокруг главных осей инерции с единичной скоростью. Вычислим щ[У) — производные от потенциала вдоль П . Пусть — вектор угловой скорости с координатами (относительно осей инерции) 1,0,0. При вращении со скоростью О) векторы а,/9,7 изменяются в соответствии с геометрическими уравнениями Пуассона а = ахи), 3 = /9 хо , 7 = 7х о . Следовательно, [c.33]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Эти уравнения вместе с уравнениями (4.8) будут замкнутой системой уравнений ограниченной задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. [c.45]

При к = О общее решение исходной системы дифференциальных уравнений не может быть мероморфным. В частности, в этом случае гамильтонова система (9.11) не является алгебраически вполне интегрируемой. На этом простом замечании основан метод Ковалевской распознавания алгебраически интегрируемых систем дифференциальных уравнений, впервые примененный ею к уравнениям вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой [73]. Оказалось, что в этой задаче к О лишь в интегрируемых случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Метод Ковалевской с успехом используется для отыскания новых интегрируемых задач классической механики и математической физики. [c.119]

Возвращаясь к исходной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, получаем, что уравнения вращения тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не имеют дополнительного интеграла, коммутирующего с интегралом площадей, в виде формального ряда по степеням е с однозначными и аналитическими во всем фазовом пространстве коэффициентами. Учитывая известную связь между формальными по е интегралами и полиномиальными интегралами обратимых систем (см. 1, гл. П), приходим к следующему результату в несимметричном случае нет дополнительных интегралов в виде многочленов по импульсам с аналитическими на группе 50(3) коэффициентами, коммутирующих с интегралом площадей. [c.189]

Возмущающая функция редуцированной задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в точности имеет вид [c.333]

Это утверждение полезно сравнить с результатом работы [177], где рассмотрен случай, когда Д состоит из тг + 1 векторов Аь. .., а +1, причем любые тг из них линейно независимы. В [177] показано, что критерием алгебраической интегрируемости системы (4.2) является именно выполнение условия (4.7). Следствие 1 утверждает, что в этом случае критерием интегрируемости по Биркгофу также является (4.7). Зга ситуация аналогична имеющей место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой уравнения движения алгебраически интегрируемы в том и только том случае, когда они имеют полный набор независимых полиномиальных интегралов. [c.388]

Пример П. Рассмотрим вращение твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле. Кинетическая энергия и потенциал допускают группу поворотов 50(2) вокруг оси симметрии поля. В этой задаче М диффеоморфно базисному пространству группы 50(3). Факторизация 50(3)/ /50(2) была впервые проведена Пуассоном (S. D. Poisson) следующим образом. Пусть е — единичный вектор оси симметрии силового поля, рассматриваемый как вектор подвижного пространства. Действие подгруппы 50(2) на 50(3) пра- [c.102]

Таким образом, работа по основам механики и в области аналитической механики (системы материальных точек и твердых тел) велась малочисленными группами З- еных. К этому надо добавить, что задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, интерес к которой усилился с открытием С. В. Ковалевской (это открытие нашло отклик п развитие прежде всего у ото-чественных механиков), продолжала оставаться предметом занятий ряда ученых, например Г. Г. Апельрота (1866-1943) и Н. И. Мерцалова (1866-1948). [c.280]

Кинематическое описание конечных перемещений твердого тела. Любое конечное перемещение твердого тела эквивалентно поступательному перемещению вместе с некоторым полюсом с последующим вращением относительно этого полюса (теорема Шаля). Любое конечное вращение твердого тела относительно неподвижной точки эквивалентно вращению относительно некоторой оси, проходящей через эту точку (теорема Даламбе-ра—.Эйлера). [c.48]

Будем рассматривать твердое тело с неподвижной точкой О, которое совершает движение относительно неподвижной системы координат OxiUiZu Пусть некоторая подвижная система координат Oxyz совершает самостоятельное движение, вообще не связанное с движением твердого тела, с мгновенной угловой скоростью й, изменяющейся с течением времени по величине и по направлению. Мгновенную угловую скорость вращения твердого тела обозначим через (О (рис. 228), а ее проекции на оси х, у, z через р, q, г. Пусть Р, Q, R — проекции вектора Q на те же оси, а L, М, N, как и прежде, обозначают проекции вектора Шо на оси х, у, г. Для живой силы твердого тела будем иметь значение [c.396]

Расщепление сепаратрис — типичная картина в фазовом пространстве возмущенной задачи. Однако в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой сепаратрисы расщепляются не всегда. Рассмотрим случай Гесса-Аппельрота, выделяемый условием [36] [c.105]

Татаринов Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Вести. Моск. ун-та. Сер. матем., мех., 1974, № 6, с. 99-105. [c.230]

Задача об интегрируемости уравнений (4.1) при ах = 2 существенно сложнее. Выше уже отмечалось, что из наличия аналитического интеграла уравнений (4.1) вытекает наличие интеграла в виде однородного многочлена по переменным т, р. Это простое наблюдение позволяет применить к рассматриваемой задаче метод Гюссона, с помощью которого была решена задача о дополнительном алгебраическом интеграле уравнений вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (историю вопроса и изложение метода Гюссона можно найти в [113] см. также [14]). Такая задача рассмотрена С. Т. Садэтовым [148] в предположении [c.285]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...