Устойчивость лагранжевых решений

Для случая, когда взаимодействие определяется единым законом, зависящим только от расстояния, задачу об устойчивости лагранжева решения рассмотрел в 1889 г. А. М. Ляпунов, причем не только для случая постоянного движения, в котором точки М и AI2 описывают окружности с центром в Мо, но и для более общего случая, когда невозмущенное движение оказывается непостоянным, а именно периодическим, как это имеет, например, место в случае закона Ньютона, когда точки Mi и Мг описывают эллипсы с фокусом в точке Mq. [c.372]

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАГРАНЖЕВЫХ РЕШЕНИИ 373 [c.373]

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛАГРАНЖЕВЫХ РЕШЕНИЙ 375 [c.375]

Переходим к рассмотрению вопроса об устойчивости лагранжева решения в том частном случае, который был предметом исследования А. М. Ляпунова. При этом согласно Ляпунову будем считать невозмущенное движение устойчивым, если во всяком возмущенном движении, начальные возмущения которого сколь угодно малы, треугольник во все время движения сколь угодно мало отличается от равностороннего. [c.375]

Подверглась также большой переработке часть X Качественная небесная механика . В ней расширена теория устойчивости движения, в частности, приведены формулировки теорем Ляпунова, включены новые параграфы, посвященные методу разделения переменных, намного подробнее изложена теория периодических и условно-периодических решений в приложении к задачам небесной механики, добавлены новые результаты по устойчивости лагранжевых решений задачи трех тел. [c.18]

Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс. Письма в Астрон. ж., 1978, 4. № 3, 148—152 [c.297]

Таким образом, устойчивость лагранжевых решений в первом приближении исследована достаточно полно. Обилие работ, посвященных этой задаче, объясняется ее важностью для небесной механики и трудно преодолимыми сложностями исследования линейной неавтономной системы дифференциальных уравнений. [c.148]

Рассмотрим устойчивость лагранжевых решений при значениях параметров, а, е, принадлежащих резонансным кривым третьего порядка. При малых значениях эксцентриситета резонанс [c.157]

В этом параграфе исследуется устойчивость лагранжевых решений при резонансах четвертого порядка. Резонансы — ЗХ = 2 и ЗХ — Xg = 3 при малых значениях е не могут привести к неустойчивости при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов не выше четвертого порядка относительно координат и импульсов [157]. [c.159]

Следовательно, для любого фиксированного л существует достаточно малое положительное число е ([д.) такое, что при О е < < е (ц) функция Fз(я з) будет отрицательной и, значит, уравнение Рд (1 >) = О не будет иметь корней. Отсюда и следует устойчивость лагранжевых решений. [c.181]

Сокольский А. Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом отношении масс.— Прикладная математика и механика, 1975, т. 39, вып. 2, с. 366—369. [c.308]

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже в первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных — в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными. [c.344]

В этой главе рассмотрены общие уравнения движения многих тел, а более подробно — трех тел. Для последней задачи выведены условия существования частных решений, аналогичных классическим, и приведены некоторые результаты, касающиеся задачи об устойчивости лагранжевых и эйлеровых решений ограниченной задачи трех твердых тел. [c.8]

Задача об устойчивости постоянного лагранжева решения для случая притяжения, пропорционального какой-либо степени расстояния, была рассмотрена в первом приближении Раусом еще в 1875 г. [c.372]

Если притяжение пропорционально произведению масс двух точек и обратно пропорционально N-u степени взаимного расстояния, то лагранжево решение задачи трех тел-точек при N > 3 всегда неустойчиво. Если же N <. 3, то это движение устойчиво, если выполнено неравенство [c.372]

Таким образом, треугольное лагранжево решение оказывается устойчивым относительно величин Ш и сог (по крайней мере в первом приближении ) и плоскость треугольника, образованного тремя точками Mi, всегда остается близкой к плоскости, образованной этими точками в начальный момент времени. [c.379]

Поэтому необходимым условием для устойчивости этого нулевого решения, а вместе с тем и периодического лагранжева решения в указанном смысле является условие, чтобы модули всех корней уравнения (8.98) были равны единице. [c.388]

В частности, каждое лагранжево решение будет устойчиво, если законы сил определяются формулами [c.451]

Устойчивость лагранжевых равновесных решений [c.843]

В связи с этим Раус [81] ставит и решает в первом приближении вопрос об устойчивости постоянной треугольной конфигурации, образованной тремя телами. Другими словами, решается задача об орбитальной устойчивости периодического лагранжева решения. [c.843]

Суи ественно, что при выполнении условия (10.3.37) можно говорить не только об устойчивости конфигурации, образованной тремя телами, одно из которых имеет нулевую массу, но и об устойчивости треугольных лагранжевых решений в первом при-ближении в смысле определения 1 ( 3.01). [c.843]

Усилия многих исследователей были направлены на то, чтобы исследовать устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной круговой задачи трех тел не только в первом [c.843]

Лагранжевы решения задачи трех тел. В т. I, гл. IV было показано, что если три точки расположены в вершинах равностороннего треугольника и определенным образом приведены в движение, то под действием сил взаимного притяжения они будут двигаться так, что всегда будут оставаться в вершинах равностороннего треугольника. Нашей целью является исследование того, будет ли это движение устойчивым или неустойчивым. [c.90]

Как показано в 15, вопрос о характере устойчивости нулевого решения линейной системы (15.1) или лагранжевой системы (15.8) [c.57]

Если хотя бы одно нз чисел ко и k меньше или равно единице, то форма W2 заведомо не будет знакоопределенной отрицательной и первая теоре.ма Ляпунова неприменима, а поэтому в этом случае вопрос об устойчивости лагранжева решения остается открытым. [c.451]

Исследование устойчивости лагранжевых решений для этих значений уь выполнено в работах А. П. Маркеева [83], [84], [127]. [c.845]

Приведем краткий обзор работ по исследованию устойчивости лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. В 1964 году было проведено численное исследование в работе Дэнби [110]. В этой работе при помощи численного интегрирования исследовано характеристическое уравнение линеаризованной системы и в плоскости 1, е получены области устойчивости и неустойчивости. Результаты, полученные Дэнби, представлены [c.148]

Некоторые замечания, касающиеся строгого решения задачи об устойчивости лагранжевых решений, сделаны в работе автора [62]. В этой работе при помощи численных расчетов проверены результаты работы Дэнби и в плоскости (х, е внутри областей устойчивости в первом приближении найдены кривые, на которых лагранжевы решения при строгом нелинейном анализе задачи могут оказаться неустойчивыми. Ниже в этой главе излагается полное исследование устойчивости лагранжевых решений в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел. Результаты этог исследования опубликованы в работах [59, 62, 65, 67]. [c.149]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

Предполагая, что в общей ограниченной задаче выполняются условия, обеспечивающие существование лагранжевых или эйлеровых решений, представляющихся в координатах Нехвила точками либрации, мы можем теперь поставить задачу об устойчивости этих решений в смысле Ляпунова. Решение этой задачи (когда это возможно) дает представление о характере решений уравнений возмущенного движения (5.47), близких к какому-либо либрационному решению, соответствующему какой-либо из возможных точек либрации, координаты которой обращают в нуль правые части уравнений (5.47) при любом значении независимой переменной v. Однако задача об устойчивости точек либрации, т. е. задача об устойчивости нулевого решения системы (5.47), вообще чрезвычайно сложна и решение ее в самом общем виде, т. е. при любых законах действующих сил, вряд ли может быть выполнено и доведено до конца. [c.249]

Некоторые замечани) об устойчивости лагранжевых и эйлеровых решений [c.441]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

А. М. Леонтович [1] доказал устойчивость периодических лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел плоской и круговой). [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...