Лагранжа решение задачи трех тел

Лагранжевы движения. В 1772 г. Ж. Лагранж нашел решение задачи трех тел, предполагая, что равнодействующая сил, приложенных к каждой частице, проходит через центр масс С, а их величины пропорциональны расстоянию от С. Эта ситуация соответствует известной теореме статики о трех силах (одна из них — во вращающейся системе отсчета — центробежная сила инерции). Покажем, что в этом случае каждая частица движется по коническому сечению, причем в любой момент времени частицы находятся в вершинах правильного треугольника [30, 35]. [c.66]

Лагранж получил еще одно точное решение задачи трех тел, рассматривая движения частиц, расположенных на одной прямой, вращающейся вокруг центра масс. [c.66]

Затем был поставлен вопрос о разыскании классов механических задач, интегрируемых подобно эйлеровой задаче о движении материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, в квадратурах (системы Лиувилля), а также о разыскании каких-либо новых частных решений динамических задач, отличных от знаменитых частных решений задачи трех тел, отмеченных еще Эйлером и подробно изученных Лагранжем и Лапласом. [c.326]

Пять таких орбит были найдены еще Лагранжем в качестве частных решений задачи трех тел. [c.102]

Лагранж получил пять точных решений задачи трех тел (рис. 2.3), когда массы их подчиняются условию /я, > > т , а движение происходит в одной плоскости. Эти решения определяют пять точек, в которых масса т- , имея нулевую относительную скорость, остается неподвижной относительно Ш и все три тела будут двигаться в плоскости, в которой они находятся, так, что их взаимные расстояния всегда сохранятся неизменными. Эти точки называются либрационными, или центрами либрации, три из которых - коллинеарные либрационные точки, расположенные на прямой АВ - между массами /и, и - [c.110]

При рассмотрении задачи п тел можно сформулировать несколько полезных утверждений, имеющих общий характер и представляющих собой десять интегралов движеиия. Эти интегралы были известны уже Эйлеру, но с тех пор других подобных соотношений не обнаружено. Кроме того, Лагранжем были найдены некоторые частные решения задачи трех тел, представляющие интерес как для астрономии, так и для астродинамики. Эти решения реализуются, если начальные условия удовлетворяют определенным соотношениям. [c.128]

Применение таких методов и численное интегрирование показало, что наличие промежутков и сгущений орбит астероидов в местах, соответствующих соизмеримостям, в самом деле обусловлено возмущающим действием Юпитера. В гл. 5 мы уже имели дело с Троянца.ми как с практическим случаем реализации одного из решений задачи трех тел — треугольных точек Лагранжа. Это решение устойчиво, так что астероиды группы Троянцев совершают колебания около треугольных точек либрации. [c.266]

Однако фактически это не так. Действительно, мы покажем, что если сила притяжения пропорциональна не второй, а третьей степени расстояния, то утверждение (гг) 371 оказывается неверным Даже в случае трех тел, хотя десять интегралов имеются также и в этом случае. Не удивительно, что Лагранж считал основным достижением теории гомографических решений задачи трех тел доказательство того факта, что каждое гомографическое решение является плоским (конечно, в этом случае каждое решение является компланарным). [c.357]

Частные решения задачи трех тел были найдены Эйлером, Лагранжем и Лапласом. Мы здесь кратко рассмотрим частное к решение Лагранжа — так называемое треугольное решение. Лагранж [c.167]

Полученный результат известен из решения задачи трех тел в небесной механике —это треугольные решения Лагранжа. [c.482]

Ограниченная задача трех тел (К. Г. Якоби, 1835 г.). Вектор I (см. задачу 3.3.7) описывает окружность (рис. 2.9а>. Найти ограниченное решение уравнений движения в окрестности треугольных точек Лагранжа [56, 65]. [c.142]

Хотя не известно никакого обш его формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа ), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую прямую линию, либо треугольник это следующие движения [c.162]

Однако еще Лагранж заметил, что общая задача трех тел допускает некоторые простые частные решения, в которых все три материальные точки Мо, М2 находятся в неко- [c.738]

Чтобы установить существование частных решений общей задачи трех тел, найденных Лагранжем заметим сначала, что если начальные скорости всех трех тел располагаются в плоскости треугольника, образованного начальными положениями этих гел, то три точки, Мо, М), Ма, всегда будут оставаться в этой плоскости, т. е. движение системы будет плоским ). [c.745]

Частные решения Лагранжа соответствуют плоским движениям в задаче трех тел, что. мы и покажем. [c.745]

Разумеется, ограниченная задача трех тел имеет бесчисленное множество частных решений другого рода (например, решения, близкие к лагранжевым), но они не являются столь простыми, как решения Лагранжа и не могут быть представлены конечными формулами. [c.774]

А. М. Ляпуновым выведены уравнения движения в задаче трех тел [1] в специальных переменных, особенно удобных для отыскания частных решений Лагранжа. [c.527]

Об устойчивости периодического решения Лагранжа для ограниченной задачи трех тел. Докл. АН СССР, 1962, 143, №3, с. 525 528. [c.273]

Применим эти довольно скромные результаты к плоской задаче трех тел. В качестве исходных выберем решения Лагранжа, которые, согласно 16, во вращающейся системе координат являются равновесными решениями. Возьмем в качестве системы Гамильтона шесть дифференциальных уравнений (16 27), которые представляют собой результат исключения из уравнений движения интегралов центра инерции и интегралов площадей. Тогда если в случае равностороннего треугольника [c.282]

Это частное решение соответствует периодическому движению Лагранжа (точке либрации) задачи трех тел. Для решения (2.1), в случае эллиптической задачи, три тела во все время движения образуют в абсолютном пространстве равносторонний треугольник, длины сторон которого периодически изменяются. В случае круговой задачи длины сторон треугольника постоянны. Решение [c.123]

Движение происходит таким образом, как если бы каждая масса притягивалась центром инерции с сплоп, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Таким образом, каждая масса описывает коническое сечение, фокус которого находится в центре инерции. Расстояния между массами всегда образуют равносторонний треугольник, п если конические сечения будут параболами или гиперболами, то расстояния могут неограниченно возрастать. Это первое из найденных Лагранжем точных решений задачи трех тел. [c.346]

Вполне естественно раз уж не удается найти обш ее решение пытаться получить частные решения задачи трех тел, для которых интегрирование оказывается возможным, например за счет соображений симметрии. Легко убедиться в том, что система из гравитирующих материальных точек не может иметь состояния статического равновесия. Лагранжу и Эйлеру удалось, однако, показать, что возможно равновесие динамическое три тела находятся в точках с неизменными координатами, но в неинерциальной, равномерно вращающейся системе координат. Другими словами, каждое из тел совершает равномерное круговое движение вокруг общего центра масс, с одной и той же угловой скоростью. [c.34]

Среди работ, затерянных в безбрежном океане статей и монографий, посвященных задаче трех тел, многие результаты и поныне не утратили своего значения. XVIII в. оставил нам частные решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, теорию возмущений и метод вариации постоянных . XIX столетию принадлежит великое открытие па копчике пера , сделанное У. Леверрье и Дж. Адамсом. Идея представления решений в виде степеииых и тригонометрических рядов также в духе того столетия для вычисления орбит небесных тел астрономы до сих пор нередко используют методы, восходящие к исследованиям того времени. Итог исследованиям XIX в. подвели Новые методы небесной механики Л. Пуанкаре и знаменитая теорема К. Зундмана об аналитической регуляризации любого решения задачи трех тел с ненулевым значением момента количества движения. [c.133]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Лагранж думал, что найденные им частные решения пе имеют астрономического значения. По позднее было установлено, что Солнце, Юнитер и малые планеты троянской грунны образуют приблизительно равносторонний треугольник. Поэтому представляет интерес найти решения задачи трех тел, близкие к решениям Лагранжа это будет сделано в 16. [c.131]

Частные решения задачи трех тел, которые мы здесь рассмотрим, впервые были получены Лагранжем в преми .ова 1Ном мемуаре 1772 г. Метод, принятый здесь, радикально отличается от метода Лагранжа и легче поддается обобщению для сл гчая большего количества тел. Но, с другой стороны, этим методом не достигается понижение порядка задачи, что составляло интересную черту мемуара Лагранжа. Однако так как не было возможности использовать каким-либо путем это понижение, то оно не имеет особого практического значения. [c.248]

Это в точности уравнение пятой степени Лагранжа относительно А и имеет лишь один действительный положительный корень, так как коэфициенты меняют знак лишь один раз. Единственное А, имеющее значение в задаче для выбранного порядка масс, положительно, поэтому уравнение (60) имеет единственное решение, определяюп(ее распределение тел в решении задачи трех тел в форме прямой. Оч видно, что еще два другие решения в форме прямой можно получить при помощи круговой перестановки трех тел. [c.278]

Первый пример — это движение астероидов — многочисленных тел, обращающихся вокруг Солнца. Орбиты астероидов в ос-товном расположены между орбитами Марса и Юпитера, но есть астероиды (имеющие обычно сильноэксцентричные орбиты), которые могут заходить внутрь орбиты Меркурия и удаляться за орбиту Юпитера. Кроме того, есть две группы астероидов (Троянцы), которые колеблются около фиксированных относительно орбиты Юпитера точек. Троянцы представляют собой примеры одного интересного решения задачи трех тел, впервые найденного Лагранжем. Этому решению соответствует конфигурация, при которой малое тело все время остается в вершине равностороннего треугольника, в остальных двух вершинах которого расположены два массивных тела, обращающихся относительно друг друга по кеплеровским орбитам. Троянцы располагаются в двух точках (массивными телами в данном случае являются Юпитер и Солнце), гелиоцентрическая долгота которых на 60° больше и на 60 меньше долготы Юпитера. Можно сказать, что движение Троянцев соответствует соизмеримости порядка единицы. [c.16]

Однако, прежде чем перейти к описанию таких методов, рассмотрим частные решения задачи трех тел, полученные Лагранжем. При этом будем следовать Дэнби [5]. [c.139]

При некоторых специальных начальных условиях можно получить очень простое решение задачи трех тел (случай Лагранжа), представляющее большой интерес для астрономии. Частным случаем задачи трех тел является так называемая ограниченная задача трех тел, в которой два тела конечной массы движутся вокруг центра инерции по эллиптическим орбитам, а третье тело имеет бесконечно малую массу. Для ограниченной задачи удалось построить разнообразные классы периодических движений (периодические орбиты Пуанкаре, Шварцшильда и др.). Для общего случая задачи трех тел подробно изучены предельные свойства движения при -> -ь оо и [c.6]

Разумеется, О Пейл и его коллеги понимают, что строительство подобных колоний—дело далекого будущего. Поэтому на первом этапе Принстонская группа предлагает построить две вечные станции в либрационных точках орбиты Луны (на 120 градусов от нее в обе стороны). До тех пор, пока существует система Земля — Луна, эти станции останутся на этих местах — частное решение задачи трех тел, сформулированной Ньютоном и решенной Лагранжем. Станции так и предлагалось назвать первую — Ньютон , вторую — Лагранж . Эти станции должны были иметь диаметр около 1,5 километра и вмещать до 10 тысяч человек. [c.624]

Со времен Эйлера, Лагранжа, Лапласа и Якоби, которые обнаружили не- jqq которые случаи интегрируемости дифференциальных уравнений задачи трех тел в конечном виде, уже на протяжении последних двух столетий не перестает быть актуальным вопрос об обобщении этих решений и нахождении в рассматриваемой задаче, при различных законах взаимодействия, таких частных случаев, когда возможно решение в квадратурах или, по крайней мере, понижение порддка системы дифференциальных уравнений движения. [c.109]

Исследуя случай общего соударения в задаче трех тел, Сундман доказал теорему Слудского—Вейерштрасса, а также показал, что при приближении к моменту общего соударения конфигурация, образованная точками, приближается к одной из двух конфигураций, характеризующих решения Лагранжа. [c.113]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Как уже было сказано, в задаче Кеплера или в приводящейся к пей задаче двух тел финальный тип движения определяется знаком константы энергии и остается одним и тем же как при t -Ьоо, так и при t —оо. В своих мемуарах [39] и [40] Ж. Шази сформулировал аналогичное утверждение и для задачи трех тел, и довольно долго математический, и особенно астрономический, мир был убежден, что такая замечательная симметрия действительно имеет место. В ее пользу говорило также и то, что во всех случаях, когда удавалось получить точные результаты (не использующие численного интегрирования), поведение решений при t сх) оказывалось одним и тем же. Кроме частных решений (Эйлера, Лагранжа, периодических решений Пуанкаре и т. д.) можно упомянуть здесь еще о теоремах Биркгофа [1], гл. 9, из которых следовало, что множества ПН и НЕ ПНЕ содержат внутренние точки. [c.44]

Открытие малых планет на орбите Юпитера вблизи точек и 5 показало, что решение частной задачи трех тел, полученное Ла анжем, представляет ие только теоретический интерес. Эти планеты относятся к группе астероидов, захваченных Юпитером, и носят название троянцев. Решение Лагранжа точно описывает совместное движение Солнца ( 2 ), Юпитера (1712) и каждого из троянцев (т ), которые при движении [c.110]

Вышеупомянутые решения были обобщены еще самим Лаграпжем. Оп поставил вопрос, существуют ли для задачи трех тел другие решения, нри которых треугольник, образованный материальными точками, остается все время сам себе подобным Лагранж нашел все такие решения. Мы рассмотрим здесь аналогичный вопрос для задачи п тел в плоскости, причем в соответствии с теоремой о движении центра инерции можем принять, что центр инерции пенодвижен. Тогда для прямоугольных декартовых координат Хк, у к точки Рк будем иметь [c.131]

Применим сформулированную в 14 теорему существования к задаче трех тел на плоскости и докажем существование периодических решений вблизи круговых решений Лагранжа. При этом мы будем использовать обозначения 12, в которых д2к-1, 42к к = 1, 2, 3) будут координатами трех материальных точек в неподвижной плоскости. Урав-пепия движения запишем в форме Гамильтона [c.154]

В последнее время в связи с интенсивным изучением и освоением космического пространства значительно возрос интерес к знаменитой классической задаче трех тел (точек), движущихся под действием их взаимного гравитационного притяжения. Так как эта задача в общем виде неинтегрируема, то большой интерес престав-ляет изучение ее частных решений. В 1767 году Л. Эйлер [124] обратил внимание на то, что задача трех тел имеет три частных решения, для которых гравигирующие точки во все время движения расположены на одной прямой. Через пять лет, в 1772 г., Ж. Лагранж показал [148], что существуют еще два частных решения, соответствующие таким движениям, для которых три тела образуют равносторонний треугольник. Для пяти этих частных решений притягивающие тела движутся по подобным орбитам относительно своего барицентра, образуя во все время движения неизменную конфигурацию. [c.9]

В начале этой главы был рассмотрен вопрос об устойчивости пяти точек Лагранжа в ограниченной задаче трех тел. Что будет с частицей, находящейся в точке Лагранжа, если ее координаты и скорости получат малые приращения Будет ли она колебаться около точки Лагранжа или быстро уйдет от нее Точку Лагранжа в этих случаях называют соответственно устойчивой или неустойчивой. Для того чтобы ответить на вопрос, устойчиво или неустойчиво решение Лагранжа, мы линеаризовывали уравнения в вариациях, решали их и анализировали корни характеристического детерминанта. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...