Лагранжевы решения задачи трех тел

Если притяжение пропорционально произведению масс двух точек и обратно пропорционально N-u степени взаимного расстояния, то лагранжево решение задачи трех тел-точек при N > 3 всегда неустойчиво. Если же N <. 3, то это движение устойчиво, если выполнено неравенство [c.372]

Подверглась также большой переработке часть X Качественная небесная механика . В ней расширена теория устойчивости движения, в частности, приведены формулировки теорем Ляпунова, включены новые параграфы, посвященные методу разделения переменных, намного подробнее изложена теория периодических и условно-периодических решений в приложении к задачам небесной механики, добавлены новые результаты по устойчивости лагранжевых решений задачи трех тел. [c.18]

Лагранжевы решения задачи трех тел. В т. I, гл. IV было показано, что если три точки расположены в вершинах равностороннего треугольника и определенным образом приведены в движение, то под действием сил взаимного притяжения они будут двигаться так, что всегда будут оставаться в вершинах равностороннего треугольника. Нашей целью является исследование того, будет ли это движение устойчивым или неустойчивым. [c.90]

Лагранжевы решения задачи трех тел [c.139]

Лагранжевы движения. В 1772 г. Ж. Лагранж нашел решение задачи трех тел, предполагая, что равнодействующая сил, приложенных к каждой частице, проходит через центр масс С, а их величины пропорциональны расстоянию от С. Эта ситуация соответствует известной теореме статики о трех силах (одна из них — во вращающейся системе отсчета — центробежная сила инерции). Покажем, что в этом случае каждая частица движется по коническому сечению, причем в любой момент времени частицы находятся в вершинах правильного треугольника [30, 35]. [c.66]

Определение. Лагранжевыми частными решениями задачи трех тел называются вещественные решения системы [c.528]

В частности, все еще неизвестно, сходятся ли преобразования Биркгофа в ограниченной задаче трех тел при фиксированном отношении масс в окрестности лагранжевых равновесных решений. По поводу этой задачи К. Зигель заметил, что она, по-видимому, лежит вне возможностей известных методов анализа [60]. [c.311]

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже в первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных — в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными. [c.344]

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова — Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками ). [c.355]

Мы видели во второй части этой книги, что общая ограниченная задача трех тел может допускать простые частные решения, называемые либрационными, в которых пассивная точка образует с активными точками равносторонний треугольник [лагранжевы решения ( 4) и ( 5)) или лежит на одной прямой, проходящей через активные точки (эйлеровы решения ( 1), (Ь2), (1з)). [c.357]

Здесь мы рассмотрим частный случай задачи многих тел, когда число тел равно трем, и покажем, что при выполнении некоторых дополнительных условий задача может допускать частные решения, аналогичные лагранжевым и эйлеровым решениям задачи трех материальных точек. [c.419]

Лагранжевы и эйлеровы решения задачи трех твердых тел [c.428]

Таким образом, были выявлены условия, при наличии кото-ры.х могут существовать частные решения задачи трех твердых тел, аналогичные классическим лагранжевы.м и эйлеровым решениям задачи трех материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. [c.441]

Разумеется, ограниченная задача трех тел имеет бесчисленное множество частных решений другого рода (например, решения, близкие к лагранжевым), но они не являются столь простыми, как решения Лагранжа и не могут быть представлены конечными формулами. [c.774]

Ограниченная круговая задача трех тел имеет известные частные решения треугольные лагранжевы решения и коллинеарные лагранжевы решения. Гомографических лагранжевых решений нет, так как расстояние PqP постоянно. [c.535]

Приведен ые в 2.03 лагранжевы решения ограниченной круговой задачи трех тел являются примером периодических орбит. Но этим не исчерпываются все известные периодические решения ограниченной круговой задачи. [c.539]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел неустойчивы в смысле определения 1 ( 3.01). Действительно, если рассматривать некоторое частное решение неограниченной задачи трех тел, определенное начальными условиями, близкими к лагранжевым, то для этих начальных данных центр масс системы будет двигаться в неподвижной системе координат со скоростью, отличной от скорости, определенной лагранжевыми начальными данными. А это приводит к тому, что по истечении некоторого конечного промежутка времени точки, изображающие возмущенное движение, будут находиться на достаточно большом расстоянии от точек, изображающих лагранжево движение в абсолютной системе координат. [c.843]

Усилия многих исследователей были направлены на то, чтобы исследовать устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной круговой задачи трех тел не только в первом [c.843]

Существуют и другие частные решения, в которых конфигурация трех тел остается все время подобной самой себе [11]. В одних, которые можно назвать лагранжевыми [67], треугольник р1, р2, Рз равносторонний, в других — эйлеровых [68] — все три тела лежат на одной прямой каждое из тел Рг движется вокруг общего центра масс по некоторому коническому сечению, возможно вырождающемуся в часть прямой. Далее мы увидим, что эти решения встречаются неожиданным образом в двух разных аспектах качественного анализа задачи трех тел. [c.34]

Л е о н т о в и ч А. М. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел.— Доклады Академии наук СССР,. 962, т. 143, № 3, с. 525—529. [c.305]

Л у К ь Я н О в Л. Г. Об устойчивости в первом приближении треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел.— Бюлл. ИТА, 1969, т. И, № 10 (133), с. 693. [c.306]

Лукьянов Л. Г. Движение вблизи треугольных лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел.— Вестник МГУ, Физика и астрономия, 1968, № 2, с. 82—96. [c.306]

М а р к е е в А. П. К задаче об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел.— Прикладная математика и механика, 1973, т. 37, вып. 4. [c.306]

Еслп задана последовательность, в которой расположены три массы на прямой, и выбрано для расстояния между двумя внеш-Н1ШИ массами определенное значение, то существует только одно положение среднего тела, которому соответствует лагранжево точное решение задачи трех тел. Еслп изменить порядок расположения масс, то получим три, вообще говоря, различных ро-ш нпя. [c.350]

Те точки, которые определяют лагранжевы точные решения задачи трех тел, мы назовем, следуя Гильдену, точками либрации. [c.350]

Лагранжевы частные решения задачи трех тел, ранее pa Mi, тренные в разд. 5.7—5.9, показывают, что в пространстве междУ Землей и Луной существуют пять точек, в которых (если пренебречь возмущениями от Солнца) останется в равновесии частица, причем геометрия ее положения относительно Земли и ЛунЫ [c.384]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

Факги сская проверка условий сущесгвования лагранжевых и эйлеровых решений для трех тел, обладающих плоскоосевой симметрией и движения которых управляются заданными силами, представляет весьма сложную задачу, требующую вычисления многократных интегралов от громоздких функций с различными областями интегрирования. [c.437]

Из ( 4.80 ), (14.81) и (14,8Г) непосредственно видно, что в каждом ИЗ пяти частных лагранжевых решений точка Мп описывает вокруг точки С (или вокруг точки Мо) кеплеровскую орбиту, эксцентриситет которой равен эксцентриситету е кеплеровской орбиты точки М]. Таким образом, в лагранжевых решениях ограниченной задачи трех тел все три точки Мо, М М (/772 = 0) описывают подобные конические сече1П1Я (эллипсы, параболы или гиперболы, в частности, окружности) вокруг общего центра масс С, сохраняя при этом во все время движения неизменную конфигурацию или оставаясь на одной и той же прямой, или образуя равносторонний треугольник- [c.772]

Лагранжевы решения ограниченной задачи трех тел принимают особенно простой вид в случае круговой задачи. Действительно, в этом случае точка Aii описывает вокруг Мо (или вокруг центра масс G) окружность, и мы имеем е = 0, р=1 и v = n. Тогда различие между системой (14.41) и системой уравнений Нехвила исчезает и все точки либрации оказываются неподвижными и в системе (Gxyz). Следовательно, в каждом из лагранжевых решений точка М2 описывает вокруг точки G окружность радиуса а с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости движения точки Ail. [c.773]

А. М. Леонтович, опираясь на общие теоремы Арнольда (см. 3.11), доказал, что для всех значений масс гПо и гп, удовлетворяющих условию (10.3.37), кроме, быть может, множества лебеговой меры нуль, лагранжево треугольное решение ограниченной круговой задачи трех тел устойчиво [82]. [c.844]

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. Б [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях ц, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, ц = Х], ц = хг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При ц = [Х1 и ц = 112 имеет место неустойчивость. [c.845]

А. М. Леонтович [1] доказал устойчивость периодических лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел плоской и круговой). [c.97]

Приведем краткий обзор работ по исследованию устойчивости лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. В 1964 году было проведено численное исследование в работе Дэнби [110]. В этой работе при помощи численного интегрирования исследовано характеристическое уравнение линеаризованной системы и в плоскости 1, е получены области устойчивости и неустойчивости. Результаты, полученные Дэнби, представлены [c.148]

Некоторые замечания, касающиеся строгого решения задачи об устойчивости лагранжевых решений, сделаны в работе автора [62]. В этой работе при помощи численных расчетов проверены результаты работы Дэнби и в плоскости (х, е внутри областей устойчивости в первом приближении найдены кривые, на которых лагранжевы решения при строгом нелинейном анализе задачи могут оказаться неустойчивыми. Ниже в этой главе излагается полное исследование устойчивости лагранжевых решений в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел. Результаты этог исследования опубликованы в работах [59, 62, 65, 67]. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...