Уравнения движения изменяющегося тела

Уравнения движения изменяющегося тела. Отметим, что три общих уравнения движения, аналогичных уравнению [c.31]

Уравнениями (88) особенно удобно пользоваться при изучении движения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изучения движения любой изменяемой системы этих уравнений будет недостаточно, так же как недостаточно уравнений статики для изучения равновесия любой механической системы (см. 120). [c.346]

Каждое из этих семи всеобщих уравнений движения выглядит так или иначе, в зависимости от того, для какого объекта оно составлено, написано ли оно для одной материальной точки, для твердого тела, совершающего определенное движение, или для изменяемой механической системы. Они могут быть написаны в конечном или в дифференциальном виде. В зависимости от условий задачи приходится выбирать уравнение и форму его, соответствующую заданным условиям. При этом полезно иметь в виду, что если проекции силы являются функциями времени, то часто бывает возможно проинтегрировать уравнения проекций количества движения. Уравнение кинетической энергии дает интеграл в тех случаях, когда силы являются функциями расстояния. Этим часто определяется выбор того или другого уравнения для решения задачи. Выводу семи всеобщих уравнений движения для различных движущихся объектов посвящены 35—37. [c.132]

Заметим, что для полного изучения движения любой изменяемой механической системы уравнения (7) являются только необходимыми, но недостаточными. Однако для абсолютно твердого тела уравнения (7) будут также и достаточны и, следовательно, они вполне определяют движение тела (конечно, при заданных начальных условиях), и вторая задача динамики при этом сводится только к интегрированию этих уравнений движения. [c.727]

Итак, система уравнении движения подобно изменяемого тела есть [c.305]

Уравнениями (100) особенно удобно пользоваться при изучении движения твердого тела или системы твердых тел. Для полного изучения движения любой изменяемой системы этих уравнений будет недостаточно ). [c.428]

Уравнения движения. Рассмотрим случай, когда изменяемое тело состоит из собственно твердого тела (корпуса) и материальной точки массы ш, которая перемещается внутри корпуса. Предполагается, что движение всей системы начинается из состояния покоя. Движение точки относительно корпуса считается заданным в том смысле, что в системе отсчета, жестко связанной с корпусом, координаты точки — известные функции времени. Фактически задача сводится к изучению совместного движения тела (корпуса) в жидкости и точки при наличии нестационарных голономных связей. В соответствии с принципом освобождаемо-сти от связей (см., например, [4]), движение составного тела в идеальной жидкости (система тело + жидкость + точка) можно интерпретировать как классическую задачу о движении в жидкости твердого тела (система тело + жидкость) при действии некоторых заданных внутренних сил, в общем случае зависящих от времени. Указанные силы, очевидно, представляют собой не что иное, как силы [c.465]

Как известно, еще Г. Галилей и И. Ньютон открыли начала динамики и доказали их достоверность опытами над падением тяжелых тел и объяснением движения планет Ш. Л. Лагранж создал общий метод решения задач динамики. Было, однако, замечено, что не каждое состояние механической системы, отвечающее математически строгому решению уравнений движения или равновесия, наблюдается на самом деле. Это объясняется тем, что в действительности всегда существуют неучитываемые в уравнениях движения малые силы и незначительные отклонения в начальном состоянии материальной системы, которые и возмущают равновесия или движения. Движения, мало изменяющиеся при возмущениях, были названы устойчивыми, а прочие -г неустойчивыми. Таким образом, для выяснения действительной осуществимости движений из числа всех теоретически возможных необходимо было иметь [c.7]

Движение изменяемого твердого тела. Уравнения Лиувилля [c.36]

Небезынтересно выписать в явном виде систему уравнений на группе 50(3), обобщающую уравнения (2.11) главы II для волчка Эйлера. Для определенности рассмотрим случай, когда вектор кинетического момента направлен вдоль 7 АГ = к /, к = К. Считая вектор 7 вертикальным, введем углы Эйлера в,(р,ф, задающие ориентацию главных осей инерции изменяемого тела. Используя кинематические формулы Эйлера, можно записать уравнения движения на [c.202]

Если выразить (10) в проекциях иа инерциальные (неподвижные) оси координат, то через Ду, Кг в полученные уравнения, согласно (3) в общем и (4) в частном случаях главных осей, войдут изменяющиеся с течением времени моменты инерции, для вычисления которых следует уже знать движение тела, которое само [c.477]

Понятие динамической устойчивости связано с двумя видами движения летательного аппарата — невозмущенным (основным) и возмущенным. Движение называют невозмущенным (основным), если оно происходит по определенной траектории со скоростью, изменяющейся в соответствии с каким-либо заданным законом, при стандартных значениях параметров атмосферы и известных начальных параметрах этого движения. Эта теоретическая траектория, описываемая конкретными уравнениями полета с номинальными параметрами аппарата и системы управления, также называется невозмущенной. Благодаря воздействию случайных возмущающих факторов (порывы ветра, помехи в системе управления, несоответствие начальных условий заданным, отличие реальных параметров аппарата и системы управления от номинальных, отклонение действительных параметров атмосферы от стандартных), а также возмущений от отклонения рулей основное движение может нарушиться. После прекращения этого воздействия тело будет двигаться, по крайней мере, в течение некоторого времени по иному закону, отличному от первоначального. Новое движение будет возмущенным. [c.37]

Скорости м, V, V будут все время движения выражаться по формулам (10), в которых за ц щ надо считать изменяющиеся со временем компоненты угловой скорости телЬ. Посмотрим, нельзя ли удовлетворить уравнениям (4) и (5), допуская, что и, все время движения выра- [c.265]

Рассмотрим ограниченное тело, подверженное воздействию источников, изменяющихся во времени по гармоническому закону. Будем считать, что источники, вызывающие движение тела, влияют лишь на краевые условия. Прежде чем строить соответствующие интегральные уравнения, мы рассмотрим две вспомогательные задачи. [c.175]

Это уравнение показывает, что при кинематическом возбуждении системы (рис. 1-20) в точке подвеса пружины по уравнению у = Кд sin ti)t абсолютное движение тела протекает так, как при возбуждении непосредственно приложенной к нему изменяющейся [c.39]

Предположим, например, что тело движется или катится под действием силы тяжести, соприкасаясь в одной точке с неподвижной поверхностью, которая либо абсолютно шероховатая, либо абсолютно гладкая, так что трения скольжения нет. Пусть тело каким-либо образом приходит в движение, и нам известна живая сила в начальный момент. Живая сила уменьшается или увеличивается в зависимости от того, поднимается или опускается центр тяжести по сравнению с его первоначальным положением. В то время как тело движется, давление его на поверхность изменяется, оно может обраш,аться в нуль и изменять знак. В последнем случае тело покидает поверхность. Тогда, согласно п. 79, центр тяжести будет описывать параболу, а угловая скорость тела относительно его центра тяжести будет постоянной. Вскоре тело, возвращаясь, может удариться о поверхность, но до тех пор, пока не произойдет такой удар, уравнение живых сил остается неизменным. Дело обстоит совершенно иначе, когда тело возвратится на поверхность. Чтобы пояснить это утверждение, предположим, что Р — реакция поверхности, А — точка тела, к которой приложена эта сила, а Р (11 ее элементарная работа (см. п. 138). Тогда, если тело катится по поверхности, то й/ равно нулю, а если тело покидает поверхность, то Р равно нулю, так что во время движения тела до удара элементарная работа Р с1( равна нулю по той или иной причине. Следовательно, реакция в уравнение живых сил не входит. Но если тело возвращается на поверхность, то точка А вжимается в поверхность, и реакция Р препятствует движению точки А, так что ни Р, ни не равны нулю. Здесь реакцию Р измеряют точно таким же образом, как и в начальный момент движения, считая ее весьма большой силой, резко изменяющей скорость точки А за очень короткое время (см. п. 84). В течение времени сжатия сила Р оказывает сопротивление движению точки А, и, стало быть, живая сила тела уменьшается. Но за время восстановления сила Р помогает перемещению точки А, и следовательно, живая сила увеличивается. В дальнейшем будет показано, что при ударе живая сила уменьшается, за исключением предельного случая абсолютно упругих тел, и будет исследована величина ее потери. [c.128]

Уравнения движения изменяющегося тела были приведены Лиувиллем [c.31]

Существует один метод выбора указанных осей, преимущество которого состоит в том, что он упрощает уравнения движения. Пусть система осей 0 , От), 0 движется вокруг центра тяжести как начала координат с такой угловой скоростью, что если бы в какой-нибудь момент времени изменяющееся тело мгно-монио стало твердым, то движеиие осей в течение времени dt было бы таким же, кик если бы они были неподвижны в теле. Эти оси обладают свойством, что момент количеств движения изменяющегося тела относительно каждой нз них р. шен моменту количеств движения абсолютно твердого тела, связанного с осями и и.чеющего такие же мгновенные моменты инерции и центробежные моменты инерции, как и изменяющееся тело. Моменты количеств движения, следова-чельно, могут быть выражены с помощью обычных формул, установленных для твердого тела, а именно — ЕО. ,. .. [c.31]

Принцип близкодействия, используемый в механике тел нере-мериюй массы, состоит в том, "что процесс присоединения или удаления частиц, изменяющих массу, происходит мгновенно при этом частица либо мгновенно приобретает связь (масса увеличивается), либо ее теряет (масса уменьшается). Нанрнмер, для случая присоединения массы, исходя из этого принципа, уравнение движения точки с переменной массой записывают в виде уравнения И. В. Мещерского [c.364]

Для исследования свойств сферических движений твердого тела оказалось полезным использование уравнений движения в некоторых осях координат, связанных с движущимся телом, но не жестко, а изменяющих свое положение в теле при его движении. За такую систему координат принимается обычно система Ouvz (О — неподвижная точка тела), в которой ось Он совпадает с линией узлов Он — линия пересечения подвижной плоскости Охр тела с плоскостью Ог , ось Ог — подвижная, OJ —вертикаль неподвижная в пространстве [211. [c.515]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Иногда расчеты циркуляции приводят к неоднозначным результатам. Существует предположение, что в этом случае возникают пульсации [1]. Оно, по нашему мнению, является ошибочным, так как из рассмотрения уравнений стационарных процессов принципиально невозможно получить какие бы то ни было сведения о процессах, изменяющихся во времени. Нам представляется, что пульсации, или, точнее, автоколебания, являются результатом гидродинамической неустойчивости стационарного режима движения рабочего тела. Такое объяснение находится в согласии с экспериментальными данными, свидетельствующими о возможности автоколебаний при наличии однозначных гидродинамических характеристик 12]. Любое решение, полученное из расчетов циркуляции, осущебтВится, если оно устойчиво. То, какой из режимов реально будет иметь место, определится процессом стабилизации или математически — начальными условиями. Если же все расчетные режимы неустойчивы, в контуре появятся автоколебания. [c.37]

В 1951 г. А. А. Космодемьянский несколько видоизменил свой вывод основных теорем механики тела переменной массы по сравнению с 1946 г. Новые дифференциальные уравнения движения тела переменной массы были составлены для случаев, когда могло иметь место и относительное движение изменяющих масс по внутренним каналам тела. Кроме того, Космоде-242 мьянский вывел уравнения движения тела переменной массы в обобщенных координатах, которые по внешнему виду отличались от уравнений Лагранжа второго рода тем, что в правых частях к обычным обобщенным силам присоединялись реактивные силы. Там же он выводит канонические уравнения для тела переменной массы. [c.242]

В работах А. Г. Горшкова и М. И. Мартиросова [29], М. И. Мартиросова [51-53] проведен численный анализ динамического поведения упругих сферических оболочек, связанных с твердым телом, при несимметричном входе в полупространство, занятое идеальной несжимаемой жидкостью. Гидродинамические нагрузки, действующие на оболочку со стороны жидкости, определяются как суперпозиция нагрузок от вертикального проникания оболочки и горизонтального движения изменяющейся во времени ее погруженной части. Для исследования напряженно-деформированного состояния тонкой упругой оболочки используется один из вариантов геометрически нелинейных уравнений движения, учитывающих инерцию вращения и деформацию поперечного сдвига. К ним добавляются уравнения движения всей конструкции как твердого тела. Задача решается методом конечных разностей с применением явной схемы типа крест . Анализируется влияние на динамическое поведение конструкции начальной скорости и угла входа, начальной угловой скорости вращения, сжимаемости жидкости, подъема ее свободной поверхности (эффект Г. Вагнера), толщины оболочки, массы твердого тела и ряда других факторов. Исследуется также влияние гидроупругого взаимодействия между оболочкой и жидкостью на динамику входа. Показано, что при углах тангажа ч ) 60° задачу о наклонном входе конструкции в жидкость можно заменить задачей о вертикальном входе с начальной скоростью, равной вертикальной составляющей при несимметричном погружении. Кроме того, установлено, что до скоростей Уо 100 м/с сжимаемость жидкости (воды) практически не влияет на напряженно-деформированное состояние сферической оболочки. [c.402]

Равенство (25) является общим дифференциальным уравнением " движения тела переменной массы. Это уравнёние впервые предложе-но И. М. Коноваловым и использовано им при решении различных задач гидравлики переменной массы. (В дальнейшем черточки над векторными величинами условно опущены.) При выводе уравнения движения жидкости с переменным расходом И. М. Коновалов принимает средние значения гидравлических элементов в сечении медленно изменяющегося потока. Присоединение или отделение массы жидкости происходит непрерывно и равномерно по всему сечению потока. Рассмотрим некоторый элементарный объем, вырезанный в потоке жидкости. В момент t объем вырезанной жидкости равен udsi, а в момент t at соответственно будет (ю + с1ш) dsj. Приращение элементарного объема жидкости за время d/ [c.17]

Б таком случае дифференциальные уравнения (125—127) не выражают движения точки М, 1ак как в этих уравнениях onst. Дифференциальные уравнения, описывающие движения точки переменной массы, выведены И. В. Мещерским. Процесс изменения массы точки (или тела) он рассмотрел как присоединение к ней новых частиц ( изменяющих масс ) или как отделение от нее изменяющих масс. В случае присоединения изменяющие массы положительны, а в случае отделения — отрицательны. [c.308]

Это уравнение показывает, что при указанном кинематическом возбуждении системы (рис. 1-20) относительное движение тела протекает так, как при силовом возбуждении синусоидально изменяющейся инерционной силой F — mY ahin со/. [c.39]

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти-эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кепле-ровской (опорной) орбиты элементы постоянны если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли). [c.129]

После всего сказанного остается решить вопрос о том, каковы будут колебания упругого тела, когда его собственный период колебания не совпадает ни с четным ни с нечетным числом периодов внешних сил, действующих на данное тело и изменяющихся гармонически. В этом случае мы имеем дело с т. н. комбинированным колебанием с постоянно изменяющейся амплитудой, то увеличивающейся то уменьшающейся. Как его амплитуда Р, так и сдвиг фазы 0 являются величинами переменными, зависящими от времени t. Подобные колебательные движения известны в физике под названием биений. Амплитуда Р определится из уравнения Р2 BIn2 0 -Ь Р2 0S2 0 = Р2 = f sin2 Ду + [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...