Оператора индекс верхний

Если К — нормальный оператор, то верхний индекс оператора ао — К равен либо О, либо I. Этот результат обусловлен тем, что нуль-пространства операторов ао — К и ау Ю одинаковы и, следовательно, область значений [c.200]

Здесь верхние индексы + и — относятся к состояниям по разные стороны от поверхности разрыва St, а квадратные скобки [ ]d обозначают оператор, определяющий скачок стоящей внутри скобок функции или выражения на этой поверхности. Далее п ИТ — нормальное и касательное направления к поверхности Бь, а D — скорость ее перемещения вдоль нормали п. Чтобы замкнуть систему (1.1.62), т. е. иметь возможность по параметрам с одной стороны Sb определять все параметры течения с другой, необходимо использовать данные о физико-механических свойствах фаз и их взаимодействиях друг с другом в рассматриваемых узких зонах. [c.35]

Операторы 8, 5 обеспечивают присваивание переменной а значения h, если a>h. Такое присваивание необходимо для того, чтобы значение индексов массива т не превышало верхнего допустимого значения h. Операторы 10—12 производят увеличение значений массива т на единицу для тех значений индекса v, при которых в данном цикле система исправна. Поскольку в начале работы всегда считаем систему исправной, то начальное значение v полагается равным единице (оператор S), а после окончания каждого рабочего цикла переменной V присваивается очередное значение р-Ы (оператор/4). [c.90]

В этом уравнении верхние индексы г и О относятся соответственно к четной и нечетной частям нового оператора временной эволюции Ф. [c.151]

Здесь и далее мы опускаем верхний индекс h у разностного вектора щ. К схеме (3.14) применим метод расщепления, ибо Aij является факторизованным оператором. Соотношения (3.14) можно записать в виде [c.225]

В выражениях (3.42), (3.43) L " — дифференциальные операторы по переменным р и у. вид которых определяется видом функции f(Q. Величины (р, у,- з),... и ы (р,7>- з) находятся из выражений (3.40 ) через потенциалы с верхним индексом т, если в полученных выражениях формально г и 0 заменить на р и у. Укажем, что величины тО] и можно найти по формулам (3.43), если в них заменить и Ыд соответственно на и — по выра- [c.61]

Поскольку указанные операторы действуют только на аэрозольные спектральные характеристики, то мы опустили для сокращения записи верхний индекс а , полагая, что это не вызовет путаницы в понимании смысла (3.37). Компоненты вектора Оц [c.164]

Верхний индекс оператора В есть наименьшее целое число М, такое, что нуль-пространства операторов б и равны его нижним индексом является наименьшее [c.200]

Обратное утверждение здесь доказываться не будет (см. [8241, стр. 310). Допустим, что существует целое число п, такое, что область значений и нуль-пространство оператора (ао — /С)" являются взаимно дополнительными, а область значений оператора (ао — /С)" замкнута, и пусть т 1 — наименьшее из таких целых чисел. Тогда оператор резольвенты (а — К) имеет в точке ао полюс порядка т. Если областью определения оператора К является все ( -пространство и /С — вполне непрерывный оператор, то каждая ненулевая точка спектра является полюсом ([8241, стр. 311). По существу этот результат вытекает из факта конечности верхнего и нижнего индексов вполне непрерывного оператора. [c.201]

Полезно сопоставить понятие верхнего индекса оператора и появление полюсов более высокого порядка у оператора резольвенты со свойством, на возможность существования которого иногда не обращают внимания. Допустим, что верхний индекс оператора К — а больше единицы. Тогда существует вектор Фа, который принадлежит как области значений, так и нуль-пространству оператора К — а [c.201]

Таким образом, собственный вектор Ф оператора К, принадлежащий собственному значению а, ортогонален всем собственным векторам Ф оператора принадлежащим собственному значению а. Аналогичным образом существует собственный вектор Ф оператора К принадлежащий собственному значению а, который ортогонален всем собственным векторам Ф оператора К, принадлежащим собственному значению а. Такое положение связано с тем, что верхний индекс оператора К — а больше единицы, а также с тем, что полюс резольвенты оператора К имеет порядок, больший единицы. Конечно, если К — нормальный оператор, то это не может иметь места. [c.201]

Пусть Рс X) — спектральная функция непрерывной части спектра оператора А в том смысле, что выполняется соотношение (7.97а), так что Рс ( ) непрерывно возрастает от Рс ( i) = 0. Пусть аф О есть собственное значение оператора С С, М — верхний индекс оператора (С С — а) и Q — ортогональный проектирующий оператор на нуль-пространство оператора ( f —а) . Тогда [Q, Рс (Я,) О для всех к и, следовательно, оператор R (к) = QP (к) также является ортогональным проектирующим. Так как С С — вполне непрерывный оператор, то область значений оператора Q имеет конечную размерность и таким же свойством обладает область значений оператора R (к). Кроме того, R (к) является монотонно возрастающей функцией к, которая при к = >.1 обращается в нуль. Введем теперь базис в области значений оператора R (кг) и вычислим Sp R (к) л (X) < оо для к кг. При этом п (к) должно быть непрерывным и целым. Поскольку R (ki) = О, то для всех к величина п обращается в нуль. [c.203]

Пусть i n , п = О, 1,2,. . ., оо, есть полный набор ортонормированных векторов. Введем оператор а согласно уравнениям а Уд = О, аЧ п = л = 1, 2,. ... а) Указать область определения и область значений оператора а. Найти спектр оператора а, указав по отдельности точечный, непрерывный и остаточный спектры. Является ли а изометрическим оператором Имеет ли он левый или правый обратный оператор Если да, то каковы эти операторы Является ли а ограниченным оператором Является ли Он вполне непрерывным оператором Является ли он нормальным оператором Чему равны его верхний и нижний индексы Найти область аналитичности оператора резольвенты (г — )" . Для каких значений Y и для каких V уравнение Ч = V -г имеет решение Когда оно единственно б) Дать ответ па те же самые вопросы для оператора Ь =- а К [c.204]

Выражение спектра через нули функции А. Тот факт, что полюсы резольвенты К — ос) совпадают с нулями функции А (у) при у = 1/а, позволяет исследовать спектр оператора К, рассматривая нули функции А. Каков смысл появления кратного нуля функции А при у = Появление кратного нуля может указывать либо на то, что имеет место вырождение либо на то, что полюс оператора [К — t) не является простым. В случае операторов конечной размерности доказательство спектральной теоремы состоит как раз в доказательстве того, что для эрмитовых операторов алгебраическая кратность (кратность нулей функции А) совпадает с геометрической кратностью (с вырождением). То же самое справедливо и для случая операторов бесконечной размерности. Для эрмитовых операторов нуль функции А порядка п указывает на п-кратное вырождение соответствующего собственного значения (или характеристического значения). Числитель резольвенты в той же самой точке имеет нуль порядка п — 1, так что результирующий полюс является простым. В более общем случае алгебраическая кратность может отличаться от геометрической. При этом п-кратный нуль функции А может указывать либо на вырождение, либо на то, что верхний индекс оператора К — et больше единицы [т. е. полюс оператора К — a) i имеет порядок больше единицы), либо на то и на другое. [c.245]

Для индексов всех трех видов принимается эйнштейновское соглашение о суммировании, причем суммирование проводится по всему числу измерений соответствующего пространства. Будем вести записи так, чтобы из двух одинаковых индексов, по которым ведется суммирование, один был кова-риантным (нижним), а другой контравариантным (верхним). При этом дифференциальный оператор = д дх считается ковариантной величиной, а дифференциальный оператор д = = д дxi = — контравариантной. [c.94]

Здесь верхний индекс / отмечает принадлежность переменной Х/ операторов центральных До, левых Д и правых Д+ разностей, а также операторы сдвига на расстояние kh [c.80]

Обозначения различных объектов, относящихся к Яо, как правило, снабжаются нулевым индексом, а объектов, относящихся к абсолютно непрерывной части оператора,—верхним индексом а . В унитарном случае сохраняются многие обозначения и определения самосопряженной теории. В обозначениях различных функциональных пространств в скобках обычно указывается множество, на котором определены рассматриваемые функции. В случае вектор-функции дополнительно указывается пространство, в котором функции принимают свои значения. Через С и с обозначаются различные оценочные постоянные, точное значение которых безразлично. Мы применяем следующие сокращения [c.9]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Отметим, что при формировании матрицы G необходимо учитывать способ записи матрицы в машинной памяти для используемой стандартной подпрограммы решения системы линейных уравнений. В данном случае предполагается использование гюдпрограммы МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [151, реализующей метод квадратного корня для симметричных ленточных матриц. При этом коэффициенты матрицы должны быть записаны в одномерный массив путем пос.1едовательного обхода верхней части ленты над главной диагональю по строкам. Такой пересчет индексов элемента матрицы в индекс одномерного массива реализован операторами 168—177. [c.155]

Такие же ф-лы справедливы для величин с нункгирными индексами.) По двум одинаковы.м. верхнему и нижнему, индексам пр0И31ЮЛИ.гся суммирование. Величины шпа Оф —и Оф = 01ф являются лоренцовыми скалярами. Дифференцирование по образующим производи (ся посредством дифференц. операторов [c.33]

Связь с условием полноты. Допустим, что ограниченный оператор К имеет только точечный спектр а , и пусть верхний и нижний индексы оператора К — равны Мп- Кроме того, допустим, что оператор резольвенты (а — К) можно разложить в ряд Миттаг-Леффлера [c.202]

В уравнениях (1)-(3), как и во всей статье, обозначено -оператор ковариантной производной =5 +ag ,J =е, + g,J /3 -компоненты тензоров напряжений и скорости деформации, соответственно - компоненты девиаторов напряжений и скорости деформации, соответственно а, - компоненты шаровых тензоров - компоненты метрических тензоров У , у - компоненты векторов скорости и ускорения, соответственно g , - плотность заданной массовой силы р - массовая плотность верхние индексы соответствуют контравариантным, а нижние - кова иант-ным компонентам тензоров. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...