Условие устойчивости предельного цикла

Таким образом, в соответствии с изложенными выше условиями устойчивости предельного цикла предельный цикл с частотой со устойчив. [c.152]

Прежде чем переходить к доказательству сформулированного условия устойчивости предельного цикла, мы. остановимся, забегая по некоторым пунктам немного вперед, на принципиальном вопросе [c.327]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Итак, наличие устойчивых предельных циклов на фазовом портрете системы является определяющим признаком автоколебательной системы. Условие устойчивости пре- [c.46]

Учет влияния членов высших степеней в разложении момента в уравне НИН (98) привел бы к заключению, что размахи колебаний маятника в действительности не растут неограниченно. Движение стремится к некоторому периодическому режиму, параметры которого не зависят от начальных условий. Соответствующая этому режиму фазовая траектория представляет замкнутую кривую (рис. 438, а), называемую устойчивым предельным циклом. [c.518]

Общие сведения об автоколебаниях и автоколебательных системах приведены в п 2 гл 1 Для автоколебательной системы с одной степенью свободы характерно наличие на фазовой плоскости одного или нескольких устойчивых предельных циклов Соответственно в автоколебательных системах могут существовать несколько стационарных процессов с различными амплитудами. Установление конкретного процесса зависит от того, в какой области притяжения находятся начальные условия. [c.171]

Подстановка решений указанных уравнений относительно t и в неравенство (28) приводит к окончательному выражению энергетического критерия устойчивости. С точки зрения цели данного исследования самая примечательная черта этого критерия устойчивости состоит в зависимости результата от угла 0. В случае л < п указанное условие может быть нарушено при значениях угла 0, близких к нулю, но удовлетворяется при значениях угла 0, превышающих некоторую конечную величину. Итог проведенного рассуждения можно выразить следующим образом имеет место устойчивый предельный цикл, соответствующий тому значению угла 0, которое обращает в нуль левую часть неравенства (28). [c.111]

Рис. 31. Условие устойчивости кругового колебания с большой амплитудой. 1 — затухание 2 — нарастание 3 — устойчивый предельный цикл.

Начиная с некоторого значения q — qг ( г 98,47 при Vo = 20) устойчивые предельные циклы вокруг верхнего и нижнего положений равновесия сливаются с неустойчивыми и исчезают, В результате остаются лишь режимы регулярного вращения. Для таких режимов вьшолняются следуюпще условия x t+ 2nn/V( ) — 2nm=x(t), x(t+2nn/vo) = x t), где ге = 1, 2,., 7 г = 1, 2,, .. (синхронизмы типа п, т, как они были названы в гл, 7). [c.281]

При исследовании устойчивости с целью выявления предельных циклов можно использовать описывающие функции или прямой метод Ляпунова. Для того чтобы определить описывающую функцию одной многоточечной нелинейной характеристики, например пятиточечной, необходимо соединить параллельно две трехточечные нелинейности (см. [5.14], гл. 52). Условием возникновения предельного цикла является наличие пересечений графиков функции, обратной и имеющей противоположный знак по отношению к частотной характеристике линейной части системы, т. е. —1/0(](о), и описывающей функции. [c.451]

Третья область, как уже указывалось, является весьма интересной с теоретической точки зрения. Здесь возможны и двухзонные и трехзонные автоколебания. Этому соответствует наличие в фазовом пространстве двух устойчивых предельных циклов. Разумеется, что одновременно они существовать не могут. Существуют или один или другой. Какой именно тип автоколебаний установится в системе и соответственно какой из предельных циклов фазового пространства будет существовать, зависит от предшествующего движения. Оба предельных цикла имеют свои области притяжения, причем в них нет участков взаимного проникновения, и поэтому, задавшись начальными условиями движения, можно однозначно определить, к какому предельному циклу придет фазовая траектория системы. [c.117]

Из проведенного анализа видно, что независимо от поведения функции Р Ок) вдали от точки равновесия характер внутреннего предельного цикла зависит от свойств характеристики /"(Рк) вблизи точки равновесия. Только что рассмотренный случай соответствует условию мягкого возбуждения Ф —Р) > Ф(Р), и в системе действительно возникает внутренний устойчивый предельный цикл. [c.64]

Выше отмечалось, что в некоторых случаях при одном и том же положении дросселя могут происходить колебания различной интенсивности. Один из таких случаев соответствует диаграмме, показанной на рис. 2.23. Здесь равновесный режим динамически неустойчив, поэтому при сколь угодно малом начальном толчке должны установиться помпажные колебания небольшой амплитуды. Этим колебаниям на рисунке соответствует внутренний устойчивый предельный цикл. Однако если произвести достаточно сильный толчок, то установится помпажный режим большей амплитуды. Этому режиму соответствует внешний устойчивый предельный цикл. Таким образом, в зависимости от начальных условий в рассматриваемой системе может происходить помпаж различной интенсивности. [c.85]

Если же система попадает в одну из точек области, где выполнены неравенства (3.52) и (3.53), а (3.54) не выполнено, то система не может здесь оставаться, так как эта точка неустойчива, не может совершать и периодических движений вокруг этого неустойчивого состояния равновесия, так как предельные циклы не существуют. Следовательно, здесь мы снова встречаемся с возможностью разрыва в экспериментально снимаемых характеристиках компрессора, когда система самопроизвольно по той или иной незамкнутой траектории, в зависимости от начальных условий, смещается к новому состоянию равновесия, которое или само устойчиво, или вокруг него существует устойчивый предельный цикл. [c.114]

Индекс 1п зависит от высших производных функций F и 5 воздействия среды, знак которых нам, вообще говоря, неизвестен. Если принять выполнение условий (0,9) и (0.7), то индекс 1п может быть отрицателен, что свидетельствовало бы о рождении устойчивого предельного цикла при / кругового цилиндра с такими геометрическими и динамическими пара- [c.287]

Следствие 2. Находясь в условиях следствия 1, можно утверждать, что существует Л>0 такое, что единственный устойчивый предельный цикл у систем вида (2.2) в полосе П существует тогда и только тогда, когда Й6(A,4F (0)). [c.300]

Как видно из главы 2, у системы (8.8) при к >0 в полосе П при некоторых условиях могут возникнуть устойчивые предельные циклы, соответствующие устойчивым автоколебаниям следующего вида тело совершает ограниченные по амплитуде плоские угловые колебания вокруг некоторой асимптоты, уходя на бесконечность. Угол атаки при этом лежит на интервале (О, тс/2). [c.304]

Отсюда следует, в частности, что при отих условиях в С существует по крайней мере один устойчивый (неустойчивый) предельный цикл. Если н е траектории, пересекающие один из граничных циклов без контакта, входят в С, а пересекающие другой — выходят из О, то число устойчивых предельных циклов в области С равно числу неустойчивых, в частности, тех и других мои ет не быть совсем. [c.231]

Здесь X,- — параметры, которые в принятой идеализации соответствуют тем реальным параметрам, которые были учтены при написании дифференциальных уравнений. В случае автоколебательных систем эти уравнения заведомо нелинейны и, кроме того, заведомо неконсервативны. Кроме того, как мы ун е говорили ранее, такие системы, вообще говоря, за исключением некоторых бифуркационных значений параметров, являются грубыми. Реальные автоколебательные режимы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями вида (А ), математически соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов в соответствующей системе дифференциальных уравнений является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе. [c.218]

НИЖНИЙ фазовый полуцилиндр, если Ч 2(1)<0. Из условия Ч 2(1)<0 вытекает, что d — 3>0 и, следовательно, выражение (33) при убывании X может менять знак. Обращению в нуль величины гС ) при убывании к соответствует стягивание устойчивого предельного цикла к сепаратрисе седла, охватывающей нижний фазовый полуцилиндр (рис. 145). [c.270]

Существенно, что характер поведения кривой S = f (s) вблизи точки = S полностью определяется характером поведения фазовых траекторий вблизи соответствующего этой точке предельно1о цикла. Это позволяет сформулировать на языке точечных преобразований условие устойчивости предельного цикла. Рассмотрим последовательность точек, определяемую соотношениями [c.72]

Условие устойчивости предельного цикла. Найдем теперь, основываясь на теореме Кенигса, условие устойчивости предельного цикла на фазовой плоскости, выраженное через правые части уравнений динамической системы [c.335]

Излагаемый материал разбит на три части. Сначала даны основные оп ределения метода, затем получены условия устойчивости предельного цикл и в заключение показано, как можно изучать автоколебательные систем с помощью метода точечных преобразований. Метод излагается прим нительно к системам второго пордцка. Для более общих систем разверн изложение метода см. в работе [19]. [c.148]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

Теорема ([66], [67]). В окрестности векторного поля, удовлетворяющего условиям теоремы пункта 6.8, но не являющегося граничным для векторных полей Морса—Смейла, на бифуркационной поверхности всюду плотны векторные поля, обладающие 1) предельным циклом типа седло-узел 2) предельным циклом типа неориентируемый узел (с мультипликатором, равным (—1)) 3) бесконечным множеством устойчивых предельных циклов. [c.147]

На рис. 3 и 4 приведены динамические свойства рассматриваемой модели спутника с двойным вращением при небольшом линейном демпфировании в системе корпуса и демпфировании при помощи кулонова трения (с областью застоя) в системе маховика. На этих рисунках не были учтены члены левой части неравенства (28), содержащие параметры С и С. Однако, когда имеет место значительное демпфирование или же колебательная цепь настроена на критическую частоту (г или г близка к единице), влияние параметров t V может быть заметным. Исследуя условие (28) более подробно в частном случае п = 2, п = , видим, что может существовать устойчивый предельный цикл при некотором значении yrjfa 0 и неустойчивый предельный цикл при некотором большем значении угла 0. Это означает, что кривые на рис. 4 могут пересекаться дважды, когда в системе маховика имеется заметное линейное (вязкое) демпфирование. Для этого частного случая подставим в левую часть неравенства (28) соответствующие выражения параметров р и р и учтем соотношение (27). Тогда условие устойчивости примет вид [c.114]

Ф(—Q), причем при значениях Q > Qe > О выполняется условие sign Ф(Р) = —sign Q = —1 (см. например, рис. 1.13,а). Если амплитуда колебания достаточно велика, то очевидно, что накопление энергии в интервале О < Q < Qe будет меньше, чем рассеяние ее на полупрямых Q < —Qa и Q > Qe- Поэтому колебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать, причем в системе установится одно устойчивое периодическое движение. На фазовой плоскости этому движению будет соответствовать состояние равновесия типа неустойчивого фокуса или узла и один устойчивый предельный цикл, на который изнутри и извне наматываются все соседние траектории (рис. 1.13, б). [c.49]

Ввиду того, что в окрестностях особой точки О функция 0(Q) удовлетворяет условию sign Ф(Я) = sign(Q), в системе будут самовозбуждаться колебания. Вначале они будут возрастать, однако после того, как амплитуда их станет больше Qa, нарастание ее замедлится, и, в конце концов, установится устойчивый предельный цикл при мягком возбуждении. Получится картина, качественно сходная с рис. 1.13, б. [c.49]

Таким образом, существует точка ( фокус ), выше которой стационарное состояние неустойчиво и возникает стационарный периодический процесс, называемый предельным циклом. Иными словами, дело имеем с точкой бифуркации, в которой расщепляется траектория, при этом одной ветвью является устойчивый предельный цикл. Пример траекторий в фазовом пространстве X, V при различных начальных условиях показан на рис. 3.20. Видно асипмтотическое приближение системы к замкнутой орбите (предельному циклу) в плоскости X, У. Можно показать, что система имеет единственный предельпьп1 цикл, устойчивый к малым возмущениям [37]. [c.82]

Устойчивый предельный цикл или аттрактор (от англ. attra t — притягивать) — кривая, на которую при i оо с обеих сторон навиваются траектории. Траектории, соответствующие различным начальным условиям, приближаются к одной и той же периодической траектории. В трехмерных системах возникает более сложный аттрактор — кривая, обвивающая поверхность, напоминающую бублик, — тор. [c.171]

В последние годы решение эддачи о панельном флаттере развивалось по пути учета нелинейных фак юров, в первую очередь геометрической нелинейности, связанной с относительно большой гибкостью панели и возникновением цепных усилий. При этом для условий флаттера удается найти устойчивый предельный цикл, т. е. амплитуды стационарных автоколебаний. Существенные результаты в этом плане получены В. В. Болотиным (1956 и сл.) отметим также работы Р. Д. Степанова (1957) и Ю. Н. Новичкова (1962 и сл.). [c.104]

Следствие. Функция F=Fo= 5sina osa A,B>Q (см. (0.9)) удовлетворяет условию леммы 2.1. В силу этого в полосе П появится устойчивый предельный цикл. [c.76]

Теорема 34. Пусть С — цикл однократного пересечени.я, а С — ограниченная им область, принадлежащая области определения системы (I). Если выполняются следующие условия 1) все траектории, пересекающие С, при возрастании I входят в С, 2) в области Ст имеется единственное состояние равновесия О, являющееся неустойчивым узлом и.ш фокусом 3) в области С имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в С устойчивых предельных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. Следовате.аьно, существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.) [c.230]

Обратимся к случаю < <0. Условие (4) выделяет на плоскости (Л, d) область, для точек которой в фазовом пространстве системы (1) есть устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре. При d < О состояние равновесия Oi устойчивое. Качественная структура фазового пространства в этой области будет такой, как на рис. 178,4. Крпвые к (для — (3/4)я ( < < 0) соединяют области пространства параметров, соответствующие структурам, представленным на рис. 178, 4, 6. При возрастании X вдоль А -кривых точкп Ра п Р5 на со- п а-сепаратрпсах седла на верхнем полуцилиндре (см. рнс. 179) монотонно сближаются, сливаются при некотором значении Х = Хо к) (соответственно d = do k)) и затем монотонно расходятся. Множество точек (Хо к), do k)), соответствующее негрубой бифуркационной структуре, для которой а- и со-сепаратрисы седла образуют петлю на верхнем полуцилиндре, образует непрерывную кривую — продолжение -кривой в область d<0. Через любую точку L+ проходит одна пз -кривых (—(3/4)яу < А <0). [c.352]

Поведение бифуркационных кривых в зависимости от у. Другие возможные бифуркации. Проследим за изменениями в фазовом пространстве и неведением бифуркационных кривых прп переходе от малых положительных значений у к немалым в интервале 0= 7= . При возрастании у состояния равновесия О1 и О2 сближаются. Поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах монотонно поворачивается соответственно по и против часовой стрелки, и при этом устойчивые предельные циклы на верхнем и нижнем полуцилиндрах поднимаются. Если устойчивый предельный цикл на верхнем полуцилиндре существует для некоторого 70, то он будет существовать и для всех 7 > 70. Если для некоторого 70 существует петля на нижнем или верхнем полуцилиндрах, то при возрастании петля снизу разрушается без возникновения предельного цикла, а петля сверху—с возникновением устойчивого предельного цикла. Точкп -кривой, разделяющей области 1 и 2 на рпс. 180, нри возрастании 7 становятся внутренними точками области 2. При возрастании у точки -кривой становятся внутренними точками областей 3 ш 4, а точки -кривой — внутренними точками областей 4 и 7 (либо принадлежат их границе). Кривая начи-нающаяся в точке пересечения с прямой 1 + йУ 1 — = О, не существует выше прямой (иредноложение о существовании таких точек приводит к необходимости существования для двух значений 71 и уо точек пересечения кривых ( 1) и " ( уо), что невозможно из-за монотонности поворота поля на полуцилиндре при монотонном изменении у), и поэтому условие 1 + + йУ 1 — < О, может служить оценкой области существования структуры разбиения фазового цилиндра с двумя предельными циклами на верхнем полуцилиндре, представленной на рпс. 178, 7. Область 7 пространства параметров, соответствующая структуре на рис. 178, 7, с возрастанием у опускается. [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...