Ван-дер-Поля метод

Ван-дер-Поля метод 199 Виброгаситель 334, 336, 338 Виброзащитные системы 333 Виттенбауэра диаграмма 207 [c.570]

Методы теории К. и волн — это методы анализа ур-ний, описывающих модели реальных систем. Поэтому большинство из них являются общими с методами качеств, теории дифференц. ур-ний (метод фазового пространства, метод отображений Пуанкаре н др.), асимптотич. методами решения дифференц. и иных ур-ний (метод Ван дер Поля, метод усреднения и т. д.). Специфика методов теории К. и волн состоит в том, что ири изучении моделей колебат, или волновых явлений интересуются, как правило, общими свойствами решений соответствующих ур-ний. [c.400]

Пример. Рассмотрим решение уравнения Ван-дер-Поля методом фазовой плоскости. Уравнение Ван-дер-Поля имеет вид [c.26]

Методы К. и в. т.— это методы анализа ур-ний, описывающих модели реальных систем. Большинство из них совпадают с методами качеств, теории дифф. ур-ний (метод фазового пр-ва, метод отображений Пуанкаре и др.), с асимптотич. методами решения дифференциальных и иных ур-ний (метод ван дер Поля, метод усреднения и т. д.). Специфика методов К. и в. т. состоит в том, что при изучении моделей колебат. или волн, явлений интересуются, как правило, общими св-вами решений соответствующих ур-ний. [c.293]

Этот метод известен как метод Ван дер Поля. [c.284]

Найти решение уравнения u+o)o w=ef( , й), e- l, используя метод усреднения канонических систем. Рассмотреть уравнение Ван-дер-Поля ef(u, й)=у 1—и 1с )й [126]. [c.324]

Изложенный Б предыдущем параграфе метод поэтапного рассмотрения, как указывалось, не накладывает никаких ограничений на нелинейность исследуемой колебательной системы и пригоден для любых законов затухания. Однако этот метод обычно приводит к громоздким вычислениям или сложным графическим построениям, причем полученные результаты относятся только к одному виду движения при заданных начальных условиях и не позволяют наглядно представлять общие особенности движений системы при различных условиях и разных значениях ее параметров. Поэтому весьма важно рассмотреть те приближенные методы, которые хотя бы для ограниченного класса колебательных систем могли бы дать единое решение для любого момента колебательного процесса при произвольных начальных условиях. Такого рода приближенный метод был в свое время предложен Ван дер Полем и получил в дальнейшем название метода медленно меняющихся амплитуд. Он позволяет весьма успешно исследовать класс колебательных систем с малой нелинейностью и малым затуханием. Электрические контуры с ферромагнитным сердечником при малых потерях на гистерезис в области значений амплитуд магнитного поля, далеких от насыщения, контуры с нелинейными емкостями при аналогичных ограничениях, линейные контуры с постоянными Ь и С при малых затуханиях (независимо от их линейности или нелинейности), многочисленные механические аналоги указанных выше высокодобротных линейных и нелинейных систем составляют тот класс систем, в которых движения можно приближенно рассчитывать методом медленно меняющихся амплитуд. Условия малой нелинейности подобных систем [c.70]

Задача решается в первом приближении по методу Ван-дер-Поля. Использованный в работе прием является достаточно общим и пригоден для любых нелинейных систем с произвольными петлевыми характеристиками (гистерезис, вязкое трение и т. д.). [c.7]

Производя обычные для метода Ван-дер-Поля [1] комбинации уравнения (За) с условием (9), получим [c.9]

Система (6.90) может иметь одно или несколько решений (Ло Л/. 5/1. Однако не каждое из полученных решений должно соответствовать устойчивому колебательному режиму. Для проверки динамической устойчивости полученных режимов дадим установленным значениям Ло, Л/, В/ некоторые возмущения Ц СО. I (0. S (i)- Тогда возмущенное движение снова может быть описано в форме. (6.68), однако теперь Л о (О = Лд + т) (г ) Л/ (t) = Л/ + I (/) Bj (О = В j,+ Z (t) — некоторые неизвестные функции времени, которые будем считать медленно меняющимися. Напомним, что этот термин указывает на малость приращений этих функций за один период по сравнению со средним значением на этом периоде. Проведем некоторые преобразования на основании метода Ван дер Поля [18, 41 ]. Поскольку одна неизвестная функция q° (t) представлена в виде зависимости от трех неизвестных функций Л о, Л/, Bj, мы вправе наложить на-эти функции два дополнительных условия, выбираемых по нашему усмотрению. В качестве первого условия потребуем, чтобы для возмущенного движения сохранялось первое уравнение системы (6.90). Легко показать, что при этом [c.286]

Приближенное решение задачи легко построить по методу Ван-дер-Поля (см. статью А. И. Лурье [2]). [c.120]

В настоящем параграфе мы займемся изучением устойчивости регулятора давления, в котором возникает кулоново трение при движении поршня клапана. При учете кулонова трения уравнения малых колебаний системы в отличие от предыдущего будут уже нелинейными и для их интегрирования придется пользоваться приближенным методом, аналогичным методу Ван-дер-Поля, развитому только для обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.210]

Следуя идее метода Ван-дер-Поля, разлагаем правые части dA dB [c.213]

Хилл [11], Будянский [12, 13], Кернер [14] и Ван-дер-Поль [15] проанализировали упругость гетерогенных композиций с дисперсными частицами в непрерывной матрице, исходя из различных допущений о напряженном состоянии композиций. Кроме того, для обработки экспериментальных данных, особенно по вязкоупругим свойствам гетерогенных композиций, широко используется метод механических моделей [16—24]. В некоторых случаях параметры моделей связывают с вязкоупругими свойствами материалов, сравнивая результаты анализа моделей и результаты теоретических исследований [25]. [c.152]

Ван-дер-Поль получил выражения для G и Кс, основываясь на представлениях, близких к представлениям Кернера. В его модели сфера наполнителя радиусом а = ф / предполагается окруженной сферой материала матрицы с радиусом, равным единице. Полученная сфера в сфере, в свою очередь, окружена большой сферой радиусом R, состоящей из материала с макроскопическими свойствами гетерогенной композиции (рис. 3.3, в). Упругое поведение такой модели описывается с помощью метода, предложенного в работе [28]i. В этом методе предполагается, что при заданном наборе граничных напряжений перемещения в любой точке композиции при г = 7 3>1 будут одинаковы, за исключением членов ряда высокого порядка, с перемещениями в аналогичной сфере радиусом R, обладающей средними макроскопическими свойствами композиции. [c.156]

Приближение медленных амплитуд (хорошо известное в радиотехнике как метод Ван-дер-Поля) состоит в пренебрежении последним слагаемым по сравнению с предпоследним в силу условия [c.32]

Метод усреднения, или метод Ван-дер-Поля, рассмотрим в форме, предложенной Б. В. Булгаковым. Он исследует вынужденные колебания нелинейной системы, уравнения движения которой в форме Гамильтона имеют вид [c.205]

При исследованиях системы (156) приближенным методом Ван-дер-Поля сначала рассматриваются упрощенные укороченные уравнения, которые обладают замечательным свойством аппроксимировать решения исходных уравнений с заданной степенью точности, и учитывать специфику нелинейных систем. [c.206]

Рассмотрим вывод таких укороченных нелинейных уравнений и метод Ван-дер-Поля. При изложении последнего весь процесс выведения укороченных уравнений удобно представить в несколько этапов. [c.206]

Однако наиболее распространенный вариант метода осреднения, предложенный Б. Ван-дер-Полем [16] и развитый Н. М. Крыло-вым и Н. Н. Боголюбовым [56], пригоден лишь для таких процессов, частота которых остается близкой к некоторому постоянному значению. [c.191]

Действительно, следуя методу Ван-дер-Поля, для решения рассматриваемой задачи нужно положить [c.191]

В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно обосновать известный метод усреднения и его модификации (метод Ван-дер-Поля, стробоскопический метод Минорского и др.) при помощи метода точечных отображений. Идея метода усреднения, как известно, состоит в том, что исследование уравнений [c.89]

В данной главе, имеющей целью показать характерные особенности квазилинейных систем, рассматривается лишь один метод — метод медленно меняющихся коэффициентов, связанный с проблемой осреднения. Начало применения этого метода к задачам теории нелинейных колебаний принадлежит Ван-дер-Полю [15] дальнейшее его развитие и обоснование связано с именами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, Л. И. Мандельштамма, И. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Б. В. Булгакова и их учеников и последователей. Указанный метод нами используется еще и потому, что позволяет в наибольшей степени использовать идеи А. А. Андронова по качественному исследованию дифференциальных уравнений. [c.119]

Задача о вмнужденных колебаниях системы двух колебательных контуров типа Ван-дер-Поля в условиях гироскопической сня ш с применением приведенного здесь метода решалась Дельшамбром [171. [c.195]

Булгаков Б. В., О применении метода Ван-дер-Поля к псевдо-лииейным системам со многими степенями свободы, ПММ 6, вып. 6 (1942). [c.379]

Дж. В. Стрэтт (лорд Рэлей, 1842—1919) в своем труде Теория звука впервые изложил расчеты ряда колебательных процессов с последовательным учетом нелинейных свойств колебательных систем. В современной теории колебаний используются также математические методы, развитые А. Пуанкаре (1854—1912) в его работах по небесной механике нашли применение и исследования А. М. Ляпунова (1857—1918) по устойчивости движений и методы расчета колебательных движений, развитые А. Н. Крыловым (1863—1945). Очень большое значение для формирования теории колебаний имели основополагаюш,ие работы Ван дер Поля (1889—1959) по колебаниям в некоторых нелинейных системах и общие исследования колебательных процессов в нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901 —1952), развившим учение о самоподдерживающихся колебательных процессах, названных им автоколебаниями. Этот термин в настоящее время является общепринятым. [c.10]

Процессы установления в системах, описываемых уравнением Ван дер Поля с разными значениями коэффициентов при диссипативном члене, соответствуют фазовым портретам систем с разными величинами функции / (у), рассмотренным ранее на фазовой плоскости методом Льенара. [c.201]

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т. е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т. п.). Тогда для огыскач ния приближенных решений нелинейных уравнений движения И исследования их устойчивости применим метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный па усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения. [c.199]

J К небрежимо слабо проявляются на вынужденных колебаниях. ф При этом практически имеет место односторонняя корреляция, при которой процесс х через диссипативные факторы может повлиять на характер затухания свободных колебаний, а обратное Рис. 14. Од- влияние по сути дела отсутствует. С учетом отмеченного обстоя-номассовая тельства в работе [19] с помощью метода Ван дер Поля полу-колебатель- чена следующая формула, определяющая усредненное за пе-ная система риод 2я/А значение логарифмического декремента X [c.42]

Асимптотические и другие методы исследований нелинейных колебаний (например, метод Ван-Дер-Поля) предполагают, что выход системы является квазигармоническим или, по терминологии случайных процессов, узкополосным процессом с медленно изменяющейся во времени амплитудой и фазой. Это объясняется тем, что почти все реальные механические, электрические системы и большинство систем автоматического регулирования обладают высокими фильтрующими свойствами. Предположение о квазигармоничности процесса на выходе для систем с малым затуханием хорошо подтверждается экспериментально и является вполне обоснованным. [c.177]

Строгое математическое обоснование операционные методы получили благодаря работам Зфроса и Данилевского [Л. 13], Диткина [Л. 14, 15], Детча [Л. 16, 17], Ван-дер-Поля [Л. 18] и др. В настоящее время они могут рассматриваться как самостоятельные методы решения уравнений математической физики, по своей строгости равноценные классическим методам. В частности, операционный метод Ващенко-Захарченко — Хевисайда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа. [c.79]

Рассмотрим в качестве примера применение метода Льенара при изучении автоколебаний в системе, описываемой уравнением Ван-дер-Поля [c.50]

Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что Этот метод органически связан с суш,ествованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений с произвольной степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя из физических соображений, указал, как строить не только систему первого приближения, но н усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью. [c.85]

Для системы с симметричной характеристикой Ао=0 кроме того, при надлежащем выборе начального отчета времени 5 =0, т.е. д — А со8со1. Значение находят из второго уравнения (6.5.10), которое в этом случае дает тот же результат, что и формула (6.5.9) для основной частоты свободных колебаний, полученной по методу Ван-дер-Поля. [c.368]

Е. Кернером [344] и К. Ван-дер-Полем [374] была предложена расчетная схема по методу самосогласования, известная из монографии [142] как трехфазная модель композита и отчасти свободная от недо t статков предыдущей расчетной схемы. Для двухфазного композита случайной структуры со сферическими или цилиндрическими включЦ ниями в матрице бесконечная область содержит единичное состав- ное сферическое или цилиндрическое включение, причем геометрии составного включения определяется объемным содержанием фаз. В случае однородных условий для напряжений (деформаций) на беско нечности такая модель композита эквивалентна однородной среде с эффективными свойствами при условии, что знергия деформировзг ния обеих систем одинакова при равенстве осредненных напряжений (деформаций). [c.96]

Другой метод, подтверждающий правильность работы Хевисайда, был разработан Карсоном и Ван-дер-Полем, которые показали, что искомое решение можно найти из операционного выражения Хевисайда, решая интегральное уравнение. Это интегральное уравнение представляет собой просто интеграл, который появляется в уравнении (2.1) данной главы как определение преобразования Лапласа отметим здесь же, что упоминавшийся выше контурный интеграл Бромвича представляет собой просто контурный интеграл, который появится в соотношении (3.8) в теореме обращения преобразования Лапласа. [c.293]

Устойчивость решений уравнения Матье (23) можно определить несколькими способами, например с использованием диаграмм Стретта. Однако для этой задачи более наглядным является метод Ван дер Поля. Ввиду малости Ао решение для 6F в окрестности устойчивого положения будет иметь вид [c.74]

Приближенные методы исследования нелинейных систем в принципе совпадают с первым приближением асимптотического метода Н. И. Боголюбова и с методом Ван-дер-Поля, поскольку известные уравнения Реллея и Ван-дер-Поля имеют аналогичный вид. Они также аналогичны и с первым приближением методов малого параметра А. Пуанкаре и Б. В. Булгакова и с теорией возмущений для медленно затухающих процессов, изложенной в работе Н. Н. Боголюбова. Оценка первого приближения в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. Пуанкаре, Б. В. Булгакова, Я. 3. Цыпкина и других авторов производится путем учета последующих приближений, но связана с большими математическими вычислениями и практически обычно не применяется. [c.38]

Следует особо отметить, что большинство приближенных методов исследования устойчивости регулирования нелинейных систем Б. В. Булгакова, А. Пуанкаре, Ван-дер-Поля, Л. С. Гольдфарба, Е. П. Попова, изображающих амплитудных кривых К. Магнуса, эквивалентного комплексного коэффициента усиления и другие базируются на методах малого параметра А. Пуанкаре и гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. [c.59]

Если Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов, а также Ван-дер-Поль ищут решение нелинейного уравнения, близкое к синусоидальному, то в рассматриваемом методе Е.П. Попова ищется решение нелинейного уравнения, близкое к решению линейного уравнения, oomвem mвyюu eгo быстрозатухающим колебаниям. Такое решение ищется на весьма ограниченном и конечном участке времени. Излагаемый [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...