Уравнение малых колебаний системы

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

Удобным способом составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы является использование уравнений Лагранжа. Эти уравнения для системы с одной степенью свободы имеют вид [c.586]

Наряду с уравнениями Лагранжа, для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы могут быть применены общие теоремы динамики. [c.597]

Применим уравнения Лагранжа для составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы. Находим выражение кинетической энергии системы [c.599]

В добавление к тому, что было сказано в пункте 1° относительно составления дифференциальных уравнений малых колебаний системы, следует учесть при составлении главного момента внешних сил и момент сил вязкого трения. Эги силы считают пропорциональными первой степени скорости и направленными прямо противоположно скорости. [c.613]

Две материальные точки ч с массами т и т , соединенные между собой невесомым стержнем длиной /, движутся в вертикальной плоскости хОу, причем точка M движется без трения по параболе х 12р. Составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты и k . [c.471]

Задача 1315 (рис. 714). Жесткая Т-образная невесомая конструкция может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В точках А и В конструкции закреплены точечные массы М и т соответственно. Третья точечная масса D величиной т может колебаться при помощи пружины жесткостью с по перекладине АС около точки С, причем СА = АВ = АО = /. Приняв за обобщенные координаты угловую координату ф поворота кон- Рис. 714 струкции и относительную координату S точки D относительно точки С, составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты. [c.471]

Предполагая, что движение происходит в центральном ньютоновском поле сил, можно получить следующие уравнения малых колебаний системы в окрестности положения равновесия па круговой орбите [30] [c.92]

Итак, дифференциальным уравнением малых колебаний системы при указанных силах является неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.272]

Дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы получим из уравнений Лагранжа [c.430]

Дифференциальные уравнения малых колебаний системы с N степенями свободы [c.231]

Составим уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Так как коэффициенты a,, постоянны, то [c.548]

Дифференциальные уравнения малых колебаний системы с /I степенями свободы в развернутом виде запишутся так [c.592]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ СИСТЕМЫ ОКОЛО СОСТОЯНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ [c.236]

Решение дифференциальных уравнений малых колебаний системы около состояния стационарного движения найдем, приняв [c.236]

Примем за начало отсчета 1 = 0) момент наибольшей закрутки масс (ф = фтах= А), тогда уравнение малых колебаний системы при заданной характеристике жесткости М(ф) и при отсутствии возмущения будет иметь вид [c.51]

В настоящем параграфе мы займемся изучением устойчивости регулятора давления, в котором возникает кулоново трение при движении поршня клапана. При учете кулонова трения уравнения малых колебаний системы в отличие от предыдущего будут уже нелинейными и для их интегрирования придется пользоваться приближенным методом, аналогичным методу Ван-дер-Поля, развитому только для обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.210]

Предположим, что при прохождении через резонанс, соответствующий какой-либо собственной частоте Xv, форма колебаний системы близка к собственной форме колебаний, отвечающей этой частоте. Подобное предположение часто делается при исследовании стационарных вынужденных колебаний оно может быть обосновано теоретическими соображениями н хорошо согласуется с экспериментальными данными. Тогда можно представить колебательные обобщенные координаты системы при проходе через резонанс на частоте Xv в форме частного решения уравнений малых колебаний системы, соответствующего той же частоте Xv Иными словами, положим, что колебания системы при переходе через резонанс определяются известными выражениями (см. т. 1) [c.185]

Уравнения малых колебаний системы можно получить и относительно функции чр, исключая из (50) Е с помощью кинематического соотношения = после дифференцирования по f последнего условия в (32). Это приводит к искусственному повышению порядка системы. Д. Е. Охоцимский 17] предложил вместо потенциала скоростей использовать потенциал смещений, определяемый равенством ( /= ф. Тогда уравнения запишутся так [c.295]

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис. 2.6), на которую в точке К действует произвольно направленный случайный импульс. Воспользовавшись выражениями для перемещений в канонической форме, получаем следующие уравнения малых колебаний системы (без учета сил сопротивления) [c.44]

Если линейное уравнение малых колебаний системы с одной степенью свободы имеет постоянные коэффициенты и решение однородного уравнения асимптотически устойчиво, то в такой системе возможны случайные стационарные колебания (при случайной стационарной правой части). [c.183]

Уравнение (20.20) называется дифференциальным уравнением малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Для получения этого уравнения не обязательно прибегать к уравнениям Лагранжа второго рода — можно пользоваться любыми другими методами, например, общими теоремами динамики. Важно, чтобы в результате получилось линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Однако изложенный здесь метод является общим, одинаково пригодным как для простых, так и для сложных систем с несколькими степенями свободы. [c.466]

В заключение отметим, что методы составления и интегрирования дифференциальных уравнений малых колебаний системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия без всяких изменений могут быть распространены на системы с большим числом степеней свободы. [c.483]

Принимая во внимание формулы (39), уравнения малых колебаний системы можно написать в виде [c.504]

Уравнения (1.5) называются уравнениями малых колебаний системы около положения равновесия. В случае произвольных обобщенных сил линеаризованные уравнения движения также имеют вид (1.5), но соотношения ац = ац, Ьц — Ьц, сц = сц вообще не выполняются. [c.244]

При переходе к переменным Xk функция Релея запишется в виде 2Р = где ки > О, а уравнения малых колебаний системы [c.255]

Для математического программирования задачи уравнения малых колебаний системы представим в матричной форме [c.198]

Для решения этой задачи мы воспользуемся методом Лагранжа. Мы составим дифференциальное уравнение малых колебаний системы [c.372]

Таково дифференциальное уравнение малых колебаний системы с одной степенью свободы. [c.375]

Напомним еще раз, что здесь = и ij = ji. Таковы дифференциальные уравнения малых колебаний системы с к степенями свободы. [c.451]

Пример 6. Из одной и той же бесконечно тонкой металлической полосы постоянной ширины изготовлено п цилиндров радиусами a >. .. > а . Они помещены один в другой и все вместе в неподвижный цилиндр радиусом а, ось которого горизонтальна, так что оси всех цилиндров параллельны. Пусть (Ог обозначает угол поворота цилиндра радиусом относительно его положения при равновесии системы, и пусть М, = + +...- -а . Тогда уравнения малых колебаний системы запишутся в виде [c.322]

Пользуясь принципом Гам [ль-топа — Остроградского, составить уравнения малых колебаний системы, состоя-птей из консольной балки длины / и груза массы т, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жесткости с. Плотность материа.яа балки р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного сечения Е, момент инерции поперечного сечения У. [c.378]

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокого порядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф os ф, которое входит в первое из уравнений, надо положить со5ф=1, а во втором уравнении принять sin ф=ф, OS ф= 1 и член лф sin ф отбросить целиком как имеющий порядок е. В результате уравнения (б) примут вид [c.385]

Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы т, и грузов А и D, жесткость с пружины BE и длины стержней 0/4 = / , ОВ = 0С D = 1 . Массами пружины и стержней, а также размерами груза А можно пренебречь. При горизонтальном положении стержня А В вес груза А уравновеши-ваегся силой упругости пружины. При малых отклонениях систег ы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вертикальной. [c.405]

Дифференциальное уравнение малых колебаний системы можно получить также, применля уравнение вращательного движения твердого тела (стержень с грузом) вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку 0 [c.432]

Получить уравнения малых колебаний системы oi o.To лоло кення pajmoBe HB, приняв следующи обозначения [c.238]

Уравнение малых колебаний системы получаем из (7.1) при ffii = onst, Qjo = onst, qy = 0. Ha массу m действуют три силы сила веса mq аэродинамическая сила Fy t) и сила инерции [c.315]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...