Методы разделения переменных в уравнения поля

Электрическое поле обладает осевой симметрией, и поэтому потенциал и напряженность поля зависят только от г и 0. Задача решается методом разделения переменных в уравнении Лапласа для скалярного потенциала. Для металлического щара эта задача решена в [22 ], а для шара из диэлектрика ход решения задачи аналогичен. [c.154]

Исходным пунктом метода эталонных задач является изучение поля лучей — экстремалей функционала геометрической оПтики. Следующий шаг состоит в подборе простейшей, допускающей точное решение (например, по методу разделения переменных) эталонной задачи, поле лучей в которой обладает теми же особенностями, что и у исходной задачи. Анализ решения эталонной задачи позволяет выбрать определенную форму искомого разложения решения исходной задачи. Подставляя это разложение в уравнения и краевые условия первоначальной задачи и требуя их (формального) выполнения, можно получить ряд соотношений между коэффициентами этих разложений. Полученные соотношения позволяют найти неизвестные функции, входящие в эти коэффициенты. [c.158]

Численные методы решения, изложенные во второй главе, позволяют сравнительно просто определить нестационарное температурное поле, удельный тепловой поток в геометрически сложных элементах конструкции без ограничивающих задачу упрощений. Однако такие недостатки, как невозможность общего анализа полученного решения, большая вычислительная работа, в ряде случаев затрудняют использование этих методов в инженерной практике, особенно при проектировании тепловых машин и двигателей. Аналитические методы в отличие от численных позволяют производить общий анализ полученного интеграла, получить удобные и простые для инженерных расчетов решения. Поэтому наряду с численными следует широко применять и аналитические методы решения. Среди аналитических методов решения уравнения теплопроводности наибольшее распространение получили метод разделения переменных и операционный метод. [c.110]

Изложение некоторых математических методов решения уравнений Лапласа. Пуассона, волнового уравнения в призматических, цилиндрических и сферических областях. Подробно исследован, в частности, предложенный автором вариант метода разделения переменных, где функции, по которым производится разложение, удовлетворяют однородным граничным условиям — независимо от граничных условий для искомого решения. Большое внимание уделено электростатике, в частности, впервые установлен характер поля на ребре диэлектрических клиньев. Исследованы некоторые нестационарные задачи, фокусировка электронных пучков с учетом пространственного заряда и т. д. [c.270]

Однородность уравнения (2.5) относительно г и Ф дает возможность использовать метод разделения переменных. Для определения асимптотических полей напряжений и деформаций вблизи вершины трещины ограничимся главной сингулярной частью решения, которую будем искать в форме [c.67]

Исследование уравнений теплопроводности (параболического и эллиптического типа) содержится в курсах математической физики [43, 46, 49]. Здесь рассматриваются задачи теплопроводности, имеюшие наибольшее практическое значение и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности. К ним относятся задача о нестационарном теплообмене пластины произвольного профиля, решение которой основано на аппроксимации температуры по толщине пластины по степенному закону ( 3.2) задачи о стационарном и нестационарном осесимметричном плоском температурном поле диска ( 3.3 и 3.6) задача о нестационарном осесимметричном теплообмене полого цилиндра конечной длины с окружающей средой, исследованная с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных ( 3.7), и др. [c.57]

J j, 2 Х3, ДЛЯ которых поле можно представить в виде произведения функций одной координаты х,-, т. е. = u x )u2 x2)u (x . Этот метод (разделение переменных) можно использовать и для решения уравнения эйконала, но в этом случае 5 нужно представить в виде суммы функций одного аргумента х,. Существование таких координат связано с функциональной зависимостью л (г). Ниже мы рассмотрим несколько практически важных случаев. [c.104]

Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системалт обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое [c.208]

Задача 1. Решить уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби методом разделения переменных для случая однородного гравнтацнонного поля (см. задачу 2, п. 5). Из этого решения получить lF-функцию Гамильтона и показать, что результат совпадает с прежним результатом, когда U -фyнкция строилась на основе полученного предварительно полного решения уравнений движения. [c.301]

Одной из основных целей при исследовании задач дифракции упругих волн на неоднородностях является получение не только формального математического рещения, а такого, с помощью которого можно было бы эффективно определить дифракционные поля деформаций и напряжений вблизи неоднородностей. В указанных трех традиционных направлениях отмеченная цель ие была достигнута. В последние годы в связи с созданием н применением ЭВМ наметились два направления, по которым проводятся исследования задач дифракции упругих волн на неоднородностях с целью определения динамической напряженности вблизи неоднородностей. Первое направление связано с развитием численных методов при соответствующей дискретизации задач и с применением ЭВМ на всех этапах рещения задач. Развитие этого направления в силу универсальности его алгоритмов, по-видимому, в будущем обеспечит возможность исследования весьма щироких классов задач. Все же основные результаты, полученные за последние годы в СССР и США, относятся ко второму направлению, которое связано на первом этапе рещения задач с применением аналитических методов (метода разделения переменных и его обобщений, методов теории возмущений, метода сведения к интегральным уравнениям после неполного разделения переменных и т. д.) и на заключительных этапах рещения — с применением ЭВМ. В этом направлении в настоящее время уже исследованы достаточно щирокие классы задач и опубликованы две обобщающие монографии по отдельным аспектам рассматриваемой проблемы [44] —по дифракции упругих волн в многосвязных телах (на нескольких полостях) н [125] — по дифракции упругих волн в односвязных телах (на одной полости). Создание же обобщающей монографии, относящейся ко всем основным аспектам рассматриваемой проблемы (в рамках второго направления), представляется в настоящее время целесообразным, так как уже исследованы достаточно щирокие классы задач. Предлагаемая вниманию читателей монография является попыткой реализации такого замысла, хотя при ее написании в значительной мере были использованы результаты авторов и их коллег, полученные в Институте механики АН УССР за последние 10—15 лет. [c.6]

Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42]

Решить задачу дифракции на диэлектрическом эллиптическом цилиндре таким простейшим вариантом метода разделения переменных уже нельзя. Дело в том, что функции, описывающие изменение поля в зависимости от азимутального угла вдоль поверхности, только для кругового цилиндра одинаковы внутри и вне тела. Именно поэтому, сшивая поля внутри и вне цилиндра на его поверхности, мы получали функциональные уравнения (5.45), в которые входят одни и те же функции от углов созтф. Это приводит к тому, что системы (5.46) для различных m независимы. Иная ситуация в случае дифракции на эллиптическом цилиндре здесь аргумент косинусоподобной функции [c.56]

В векторной задаче отличными от нуля при любом возбуждении будут и г, и Нг- КоЭффИЦНеНТЫ рядов для Ег, Нг, ВВО-димые В методе разделения переменных, связаны между собой линейными уравнениями, так что каждое слагаемое в поле, пропорциональное соз Шф, содержит все шесть компонент. Системы линейных уравнений типа (5.12) или (5.46) станут более громоздкими. [c.57]

Методом разделения переменных звуковое поле произвольного источника в слоистой среде может быть представлено в виде интеграла по горизонтальным компонентам волнового вектора от решений одномерного волнового уравнения. Основным способом аналитической оценки полей по их интегральному представлению является асимптотический jnerod зголон ыдг и гегралов, излагаемый в 11. [c.162]

Проектирование соответствующих устройств невозможно без достаточно точного расчета электродинамических характеристик круглых гофрированных волноводов, а такой расчет является весьма трудной математической задачей. Во-первых, рассматриваемая область имеет сложную форму, не допускающую использования метода разделения переменных или других точных аналитических методов. Во-вторых, несимметричйые волны в таких волноводах являются гибридными (т. е. имеющими все шесть компонент электромагнитного поля), ввиду чего требуется решение полной векторной задачи для уравнений Максвелла. [c.177]

В 3 дано описание ДГС-лазера как диэлектрического волновода, а в 4 рассматривается распространение волны в симметричном трехслойиом плоском диэлектрическом волноводе. Центральный слой — это область в ДГС-лазере, в которой происходит генерация света и которая называется активным слоем. Трехмерное волновое уравнение для электрического поля оптической частоты выводится из уравнений Максвелла. Далее выводится дифференциальное уравнение, описывающее распространение электрического поля, поляризованного перпендикулярно направлению распространения, — поперечного электрического поля (ТЕ). Аналогичные уравнения описывают поперечные магнитные поля (ТМ), в которых магнитное поле поляризовано перпендикулярно направлению распространения. Эти поля зависят от двух пространственных переменных и времени, и решение волнового уравнения для них получается методом разделения переменных. Как следует из решений волновых уравнений, показатель преломления активного слоя должен быть больше показателей преломления прилегающих слоев, чтобы в трехслойной структуре происходило волноводное распространение излучения. Граничные условия для электрического и магнитного полей также выводятся из уравнений Максвелла. Применение этих граничных условий на границах раздела диэлектриков (гетеропереходах) приводит к дисперсионному уравнению, являющемуся уравнением на собственные значения, которое дает набор дискретных значений постоянной распространения. Получающиеся для этих дискретных значений конфигурации электрического и магнитного полей называются модами. [c.33]

Перейдем к решению поставленной задачи. Поль> уясь методом разделения переменных ), запишем шщее решение уравнения (7.74) в виде [c.169]

Ui = onst, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можпо использовать классический способ разделения переменных. Таким ь1етодом фактически и воспользовался Мн для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой) особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, замерить, что ли1иь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основно.м к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. [c.514]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...