Уравнение плоских поперечных волн

Назовем плоской поперечной волной такое решение уравнений (1.56), (1.57) гл. III, которое представляется в виде [c.433]

Плоскую поперечную волну вдоль оси х описывает уравнение [c.9]

Анализ явления полного отражения плоской поперечной волны произвольного вида дан в главе, написанной С. Л. Соболевым в книге Франк и Мизес, Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М. — Л., 1937,—Поим, перев. [c.44]

Рассмотрим теперь волновые движения с взаимно дополнительным типом поляризации (горизонтальная поляризация), представляющие собой плоские поперечные волны со смещениями, параллельными свободной поверхности полупространства и перпендикулярными направлению распространения волны. Пусть волновой вектор лежит в плоскости хг, а смещения параллельны оси у (рис. 1.7). Эти волны с горизонтальной поляризацией также удовлетворяют уравнению (1.1), являясь его вторым линейно-независимым решением. Действительно, пусть 11у Ф О, 11х = = О и д/ду = О, поскольку волны плоские. Тогда уравнение (1.1) принимает следующую простую форму [c.22]

Решениями этого уравнения являются волны произвольной формы, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси X со скоростью Движение частиц в этом случае перпендикулярно к направлению пробега волны. Снова, переходя к положительному направлению, найдем, что плоская поперечная волна характеризуется следующими величинами [c.25]

В случае плоской поперечной волны уравнение (2,8) эквивалентно уравнению [c.101]

Если в (5.34) и (5.35) подставить среднее радиальное смещение из уравнения (5,33), то найдем соответственно давление и скорость частиц во флюиде скважины, вызванные прохождением плоской поперечной волны [c.169]

Простые плоские продольные волны, рассмотренные в 167, могут существовать в стержне прямоугольного поперечного сечения только тогда, когда на боковых гранях действуют компоненты напряжений и о , определяемые уравнениями (е). Для стержня произвольного поперечного сечения также требуется действие соответствующих усилий на боковой поверхности. [c.496]

Из этих формул сразу следует свойство поперечности однородных плоских электромагнитных волн из уравнений (1.26) и (1.28) [c.16]

Приводятся уравнения плоского движения цепи, подвешенной за один конец в однородном поле силы тяжести. Рассматривается одна из схем применения поперечной бегущей волны, являющейся движителем в волновом редукторе непрерывного вращения. Составлены уравнения для определения формы гибкого элемента волнового редуктора. [c.177]

Рассмотрим следующую задачу, относящуюся к плоскому деформированному состоянию. Пусть в плоскости Xz = О, ограничивающей упругое полупространство Xz О, действует нагрузка Р х, t) = е р х ). Эта нагрузка вызывает в полупространстве напряженное и деформированное состояния, возникают продольные и поперечные волны. Требуется решить волновые уравнения [c.700]

Волновой вектор ki. определяет направление распространения соответствующей плоской волны, а е . — направление вектора-потенциала, а также и вектора напряженности электрического поля. Поэтому уравнение (1.12-17) означает, что речь идет о представлении чисто поперечной волны. В этом заключается, как уже указывалось, особое преимущество кулоновской калибровки. Поскольку для каждого вектора распространения существуют два независимых вектора поляризации, то по этим векторам в уравнении (1.12-15) следует суммировать, причем целесообразно выбрать эти два вектора взаимно ортогональными [c.134]

Если источник звука находится в одном конце трубы с постоянным поперечным сечением, а другой конец трубы удален в бесконечность, то в такой трубе образуется плоская бегущая волна (уравнение ее см. в 1.5). При этом предполагается, что поперечные размеры трубы значительно меньше длины волны. [c.22]

Свойства поперечно-поляризованных колебаний. Экспериментируя с пружиной или изучая приведенные выше уравнения, можно проверить следующие свойства поперечно-поляризованных колебаний (ими обладают также и плоские электромагнитные волны). [c.359]

Однако подобное расширение области исследований с целью охвата дополнительных сложностей нелинейных явлений должно с самого начала сопровождаться жесткими ограничениями в других отношениях. В разделах 2.8—2.11 мы сосредоточим внимание на плоских звуковых волнах, хотя укажем в нескольких местах, что соответствуюш ие результаты применимы также к продольным волнам обш его вида в однородных трубах или каналах (если пренебречь трением), и в разд. 2.12 непосредственно возвратимся к случаю длинных волн в однородном открытом канале. Отбрасывая во всех этих пяти разделах любые усложнения, вызванные неоднородностью физических характеристик жидкости или поперечного сечения, ослаблением волны или влиянием эффектов трехмерности, мы сможем сфокусировать внимание непосредственно на характерных особенностях, привносимых нелинейными членами уравнений движения даже в те очень простые свойства плоских звуковых волн, которые уже полностью изучены с помош ью линейной теории в разд. 1.1. [c.173]

Отметим, что рассуждения, приводящие к этим важным результатам в нелинейной теории плоских звуковых волн, столь же справедливы для других видов продольных волн произвольной амплитуды, а именно для волн в трубах или каналах с постоянным поперечным сечением и однородными физическими характеристиками жидкости, потому что в соответствии с уравнением (12) эти волны определяются такими же локальными соотношениями между выражениями для избыточного давления и скоростью жидкости, как соотношения (146) и (147), и можно аналогично определить интеграл, в точности подобный (150). С другой стороны, приведенные рассуждения требуют однородности жидкости, и в частности постоянства энтропии S в противном случае подинтегральное выражение (150) не является просто функцией р, а зависит также и от S, которая, вообще говоря, не постоянна вдоль кривых С+ или С , а скорее имеет свойство сохранять постоянство вдоль траектории жидкой частицы dx = udt. Если свойства поперечного сечения меняют- [c.176]

Чтобы сделать книгу доступной широкому кругу читателей, автор вначале излагает основные сведения о динамических свойствах металлов и грунтов, теориях пластичности (включая малоизвестную у нас билинейную теорию) и уравнениях динамики металлов и грунтов. Далее рассматриваются условия непрерывности на фронтах разрывов и анализируются, математические методы, которые затем применяются к задачам о распространении плоских, сферических и цилиндрических пластических волн в металлах и грунтах. Отдельно изучаются продольно-поперечные волны и волны температурных напряжений. [c.5]

В настоящей главе сначала рассматриваются решения задач о распространении простых волн ). Дается анализ случаев двухпараметрического нагружения границы исследуемой среды. Последовательно рассматриваются тела, свойства которых определяются соответственно уравнениями теории пластического течения, уравнениями динамики грунтов С. С. Григоряна и уравнениями билинейной теории пластичности. Затем излагаются решения задач о распространении продольно-поперечных волн в упруго/вязкопластических однородных средах (плоские и радиальные цилиндрические волны). [c.186]

Из сравнения результатов, вытекающих из теории балки Тимошенко и рассмотренной теории, следует, чго при больших длинах волн теории эквивалентны, при коротких волнах соответствие может быть получено посредством подбора коэффициента k. Отмечается, что коэффициент сдвига k в динамических задачах зависит не только от формы поперечного сечения, как это принимали некоторые авторы [1 267]. Необходимо отметить, что приведенное построение не является точным, поскольку перемещение и определяется из уравнений плоского напряженного состояния, которые при наличии краев весьма приближенны, и правильным было бы только решение трехмерной задачи [c.55]

Рассмотрим вначале задачу о распространении плоских гармонических поверхностных волн на границе двух полупространств — твердого и жидкого. Будем считать направлением распространения ось лг, а ось г направим перпендикулярно границе в глубь твердого полупространства (см. рис. 1). Твердое полупространство будем считать однородным изотропным абсолютно упругим, а жидкость идеальной. Выражения для потенциалов ф, продольных и поперечных волн в твердом полупространстве должны (как и для рэлеевских волн) удовлетворять волновым уравнениям (1.2), а выражения для потенциа- [c.55]

Решениями уравнения являются плоские сдвиговые волны поперечного смещения в направлении оси у [c.449]

Очень интересный и важный результат состоит в том, что плоские звуковые волны, являющиеся произвольными волнами, подчиняются тому же самому волновому уравнению, которому подчиняются поперечные волны в струне. Все результаты, которые мы получили для волн в струне, могут быть применены и для плоских звуковых волн, за исключением того, что содержание некоторых терминов, как-то смещение, форма волны и т. д., должно быть несколько изменено. [c.247]

Применим уравнение (4.12) к случаю плоских сдвиговых волн. Для зтого заменим Е на С и, полагая площадь поперечного сечения равной единице, получим [c.350]

Поток энергии. Перед выводом уравнений (2.10) и (2.15) мы отметили, что для плоских продольной и поперечной волн в изотропной твердой среде направление потока энергии перпендикулярно к фазовому фронту и что скорость переноса энергии такая же, как фазовая скорость. Для анизотропных сред эти две скорости отличаются как по величине, так и по направлению. В литературе упоминается несколько способов вычисления скорости переноса энергии для плоской волны с любой заданной фазовой скоростью. Один из ранее применявшихся способов базировался [c.50]

Если ipi и ijjj, положить равным нулю, а считать независимой от I/ и г, то решением уравнений (2.4) будет плоская поперечная волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х [c.28]

Все замечания, сделанные для уравнений (2,12), применимы и в данном случае. Векторный потенциал поперечной волны имеет единствениую компоненту, перпендикулярную как к направлению распространения волны, так и к направлению смещения частиц и пропорциональную скалярной функции /(i—ж/Р). Ясно, что плоская поперечная волна, распространяющаяся в произвольном направлении, должна подобным же образом зависеть от единственного вектора, перпендикулярного к направлению распространения волны, направлению смещения частиц и пропорционального функции [c.28]

Катящаяся по жесткой опорной поверхности гибкая нить мо кет рассматриваться как специфический плоский механизм с одной степенью свободы, кинематическая схема которого описывается уравнением у = Q(x) формы нити, а траектории точек нити представляют собой волно-иды. Функционирование этого механизма является идеализированной моделью многих явлений и процессов используемых в технике и существующих в живой и неживой природе. Известны, например, транспортные средства, передвигающиеся за счет волнообразного движения опорных гибких лент (движителей), шаговые редукторы и электродвигатели, принцип работы которых основан на использовании шагового движения гибкой связи (многозвенной цепи, зубчатого ремня, магниточувствительного гибкого элемента, троса и т. д.), сцепленной с опорной поверхностью (некоторые из этих устройств будут описаны ниже). Поперечные волны на гибких элементах в этих устройствах могут образовываться и перемещаться механическим способом (например, изгибанием ремня или цепи вращающимся роликом), электромагнитным (формированием и движением волны на гибком магниточувствительном элементе под действием электромагнитных сил), гидравлическим, пневматическим и т. д. [c.99]

Из (8.43) следует, что компонейта смещения из" должна удовлетворять однородному волновому уравнению, но поскольку из"(0) t) = О, очевидно, что щ" = О, т. е. при распространении лоперечной волны в изотропном твердом теле не генерируется поперечная вторая гармоника. Этот результат физически довольно очевиден, так как при распространении поперечных волн не изменяется плотность среды и в изотропном твердом теле упругие напряжения при сдвиговых деформациях не зависят от знака деформации. Последнее, в частности, проявляется в том, что для плоских волн внутренняя энергия (8.13) является четной функцией сдвиговых компонент тензора деформации. По этой же причине две поперечные волны, распространяющиеся в одном направлении, не будут взаимодействовать. [c.316]

Рассмотрим теперь случай контакта твердого тела с жидкостью. Пусть на плоскую границу с жидкостью из твердого тела под углом е к оси X (см. рис. 67, в) падает сдвиговая волна, поляризованная в плоскости падения (для волны, поляризованной в перпендикулярном направлении, всегда р а% О- Для волн, рас-пространяюи1ихся в твердом теле, мы сохраним все прежние обозначения. Суммарное поле смещений в твердом теле будет иметь такой же вид (Х.32), как и в случае свободной поверхносги, т. е. U = Ux + Ut + U/, где Ux, Ut И u — векторные смещения в падак5-щей поперечной, отраженной поперечной и отраженно продо.ть-ной волнах, соответственно описываемых уравнениями (Х.29) — (Х.31), В жидкости может существовать только продольная волна, характеристики которой снабдим индексо.м ж. Уравнение преломленной продольной волны в случае, соответствующе.м рис. 67, в, можно записать в виде [c.224]

Динамические задачи теории упругости 310 Уравнения динамической теории упругости (310). Упругие волны (310). Монохроматические волны (312). Представление решений через скалярный и векторный потенциал (313). Интеграл энергии (316). Теорема взаимности для динамических задач теории )П1ругости (317). Возбуждение волн в неограниченном пространстве объемными силами (320). Отражение плоских монохроматических волн от свободной границы полупространства (325). Падение поперечной волны (328). Поверхностные волны (328). Упругие волны в стержне (332). Волны в пластинках (333). [c.9]

При исследовании поверхностных волн в плоском деформированном состоянии исходят из волновых уравнений (для продольной и поперечной волн) и уравнения теплопроводности. Волна распространяется параллельно плоскости, ограничивающей полупространство, и затухает с глубиной. Принимается, что в плоскости, ограничивающей полупространство, обращаются в нуль либо напряжения и температура, либо напряжения и тепловой поток. Из определителя системы уравнений, выражающих однородные граничные условия, получается алгебраическое уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами. Один из корней этого уравнения, удовлетворяющий заданным неравенствам, дает фазовую скорость поверхностной волны. Оказывается, что поверхностная волна обладает затуханием и дисперсией и что ее скорость меньще скорости продольной и поперечной волн. [c.791]

Волновые процессы. Я. И. Френкель (1944), рассматривая плоские монохроматические сейсмические волны в насыщенной пористой среде, установил существование двух типов продольных волн и отметил чрезвычайно быстрое затухание волн второго типа. Для анализа волн первого типа Френкель использовал разложение в ряды по параметру, являющемуся отношением некоторого характерного времени затухания к периоду колебания в волне, т. е. ограничился анализом случая малых частот. Френкель рассмотрел также характер затухания поперечных волн малых частот. Ааал огичйый анализ для варианта сферической симметрии на основе уравнений Френкеля был выполнен в работе [c.594]

Заметим, что wg—поперечное сечение передающей линии. Разделив уравнение (135) на wg, получим интенсивность излучения [в эрг1 см -сек), которую для электромагнитных волн удобно обозначить через S (символ / занят для обозначения тока). Вспомнив наш опыт со струнами и звуковыми волнами, мы можем говорить об интенсивности в точке г, заменив в уравнении 2=0 на г. Для бегущих плоских электромагнитных волн, распространяющихся в направлении z в передающей линии из параллельных пластин, энергия, переносимая за секунду через площадь в 1 равна интенсивности излучения [c.191]

Электромагнитные плоские волны поперечны. Применим уравнения Максвелла к волнам (80) и (81). Вначале используем закон Гаусса сИуЕ=4яр. В вакууме плотность зарядов р равна нулю. Так как любые компоненты поля Е не зависят от х или у, то частные производные ио х м у равны нулю. Окончательно имеем [c.320]

Нелинейная теория распространения простой волны развита в предыдущих разделах2.8—2.12 для любой жидкости, имеющей нри отсутствии возмущений однородные физические характеристики, помещенной внутри трубы или канала с постоянным невозмущенным поперечным сечением. При этих условиях основные свойства простой волны, пока она остается непрерывной, легко устанавливаются для задач с начальными условиями с помощью уравнений (156)—(163), а для задач с граничными условиями — с помощью уравнений (168)—(171), в то время как соответствующий сдвиг волнового профиля развивается согласно уравнениям (184)—(191). Хотя образование разрыва проанализировано выше только в двух случаях (для плоских звуковых волн и длинных волн в открытых каналах), эти случаи наводят на мысль, что любое распространение простой волны, создающее лишь слабые разрывы, может быть описано с высокой точностью введением в полученный однородным сдвигом непрерывный волновой профиль (для обеспечения его однозначности) разрывов, сохраняющих площадь. [c.228]

ТЪх обшд1е уравнения 102 поддержание теплотой 220 Волны 24 — вторичные, обязанные изменениям среды 150 — плоские поперечных колебаний 402 — плоские воздушных колебаний 24 — на воде 333, 335, 342 — плоские 25, 39 — постоянного типы 40 — растяжения 402, 403 [c.474]

В следующей работе D Gross [1.185] (1971) на основе уравнений плоского напряженного состояния построил точные решения для гармонических колебаний бесконечной ор-тотропной балки-стенки, характеризуемой продольным з , поперечным Еу и сдвиговым Gxy модулями упругости В случае несимметричных относительно срединной поверхности колебаний выведено и исследуется дисперсионное уравнение в предельных случаях длинных волн и коротких (волны Релея). Показано, что дисперсия волн сильно зависит от отношения ExIGxy- Коэффициент сдвига k определяется по формуле [1.138, 1.184] [c.55]

Рассмотрим, как используются потенциалы смещения для описания отражения плоской волны от плоской свободной границы, и выскажем ряд замечаний, которые будут полезны при- изучении более сложных явлений. Применив способ разделения переменных, к волновым уравнениям в потенциалах, записанных в прямоугольных координатах, найдем, что решение является экспоненциальной функцией пространственных координат и времени. Коэффициенты в эксЕонентах могут быть вещественными, комплексными либо мнимыми. Первое замечание состоит в том, что хотя некоторые ограничения на эти коэффициенты вытекают непосредственно из требования конечности потенциалов, они должны быть конкретизированы для каждой заданной геометрии границ. Например, некоторые коэффициенты, допустимые для волн в плоской пластине, невозможны в случае упругого полупространства. Второе замечание касается дальнейшего выбора допустимых решений, чтобы выделить падающую волну, являющуюся источником остальных колебаний. Например, выражения, описывающие отражение падающей продольной волны, могут быть получены путем произвольного отбрасывания члена, представляющего падающую поперечную волну. Третье замечание состоит в том, что решения, которые будут получены ниже для спектральных составляющих плоских волн при помощи преобразования Фурье, могут быть использованы для изучения отражений нестационарных (импульсных) сигналов, [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...