Оператор линеаризация

Определения. Пространство ростков вещественных векторных полей в особой точке разделяется на три части область устойчивости, область неустойчивости и граница области устойчивости. Эта граница состоит из таких ростков, оператор линеаризации которых не имеет собственных значений строго в правой полуплоскости, о имеет хотя бы одно собственное значение на ее границе. [c.39]

Теорема. Если оператор линеаризации дифференцируемого векторного поля V в особой точке имеет собственные значения только с отрицательной вещественной частью, то эта особая точка асимптотически устойчива. Если одно из упомянутых собственных значений имеет положительную вещественную часть, то эта особая точка не устойчива по Ляпунову. [c.29]

Предположим, что рассматриваемый класс механических задач таков, что можно произвести линеаризацию всех зависимостей по перемещениям и и по производным от ы в частности, любой из тензоров напряжений будет линейным оператором от и . Как видно из формулы (1.79), в этом случае t = ta, и для того чтобы зависимости (1.78), (1.81) были линейными по и, необходимо положить Vo = v, Gi = ki, следовательно, в линейном варианте теории все тензоры напряжений совпадут. Для того чтобы отличать тензор напряжений для этого линейного случая от других, будем использовать специальное обозначение or [c.20]

Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по формулам (71.9), то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам, поскольку оператор производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, необходимо произвести линеаризацию правой части уравнения (71.22) посредством извлечения корня. Введем обозначения [c.386]

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ [c.77]

Среди приближенных методов исследования нелинейных операторов наиболее простым и универсальным является метод линеаризации. [c.78]

Как было показано в разделе 2.2, нелинейность оператора, задаваемого дифференциальными уравнениями, проистекает либо от наличия ненулевых начальных условий, либо от нелинейности дифференциальных уравнений. Рассмотрим последовательно оба этих случая. Пусть технологический объект описывается линейным дифференциальным уравнением с ненулевыми начальными условиями. Рассмотрим процедуру линеаризации нелинейного оператора такого объекта. В этом случае линеаризация приводит к линейному оператору А, который эквивалентен исходному нелинейному оператору А в том смысле, что каждая выходная функция v(t) =Au t) оператора А с помощью точного соотношения выражается через соответствующую выходную функцию линейного оператора А. [c.78]

Перейдем к рассмотрению нелинейных операторов, задаваемых с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. В этом случае уже невозможно свести нелинейный оператор к эквивалентному линейному, т. е. нельзя написать соотношение, аналогичное (2.3.6), с помощью которого можно было бы точно выразить любую выходную функцию нелинейного оператора с помощью соответствующей выходной функции некоторого линейного оператора. Процедура линеаризации дает лишь приближенное выражение выходных функций нелинейного оператора с помощью выходных функций линейного оператора, причем даже такое приближенное выражение справедливо далеко не для всех входных функций u(i). Для реальных технологических объектов, как правило, линеаризованный оператор эквивалентен исходному на входных функциях, значения которых не слишком сильно отклоняются от значения соответствующего параметра в некотором стационарном режиме работы объекта. Таким образом, линеаризованный оператор позволяет описывать поведение технологического объекта в условиях, когда вхо,п,ные параметры меняются лишь в незначительных пределах. [c.79]

Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею линеаризации, которая заключается в выделении некоторого стационарного режима работы объекта. При этом считается, что все переходные процессы в объекте закончились и на выходе установилось стационарное значение выходного параметра. Если скачок значения выходной функции от нуля до стационарного значения произошел в некоторый конечный момент времени (о, то теоретически переходной процесс в объекте нельзя считать закончившимся поэтому необходимо предполагать, что стационарное входное воздействие подается бесконечно долго, т. е. момент времени to отодвинут в —00. Исходный нелинейный оператор заменяется эквивалентным нелинейным оператором, входными функциями которого являются малые отклонения входного воздействия от начального стационарного значения. Разлагая все нелинейные функции параметров, входящие в дифференциальные уравнения, по степеням отклонений этих параметров от их стационарного значения и отбрасывая все члены разложения, содержащие степени отклонений выше первой, получим линейные дифференциальные уравнения, задающие линейный оператор. Этот оператор и является результатом линеаризации. При входных параметрах, мало отклоняющихся от их значений в выбранном стационарном режиме, выходные функции исходного оператора приближенно выражаются через выходные функции построенного линейного оператора. [c.81]

Основным условием возможности замены выходной функции нелинейного оператора с помощью выходной функции линеаризованного оператора является малость отклонений параметров объекта от их значений в выбранном стационарном режиме, относительно которого производится линеаризация. В общем виде [c.81]

Будем исследовать оператор объекта в исходном виде, не прибегая к линеаризации. Применим к уравнению (4.1.1) преобразование Лапласа по t. Изображение левой части уравнения с учетом начального условия (4.1.3) примет вид [c.115]

Последовательность бифуркационных значений параметра, соответствующих выходу в комплексную область мультипликаторов цикла периода 2", возникающего в каскаде удвоений, имеет вид e = 6 +0(6 a ), где б — константа Фейгенбаума, а — максимальное сжимающее собственное значение линеаризации оператора удвоения в неподвижной точке G, с — константа, зависящая от семейства. [c.85]

Задача линеаризации уравнений (4) может быть сформулирована следующим образом. Требуется построить такой линейный оператор А, чтобы для каждой точки области D уравнения (4) и (5) были бы в известном смысле близкими (например, равномерно по X D ъ смысле введенной метрики). [c.85]

Если применить оператор Р (р) к функции ф (л , х), то в общем случае получим функцию типа Д- (xi,. . ., д ). Применяя к этой функции статистическую линеаризацию как к многомерной, получим [c.152]

Комплекс М-40 осуществляет сбор информации с аналоговых датчиков автоматическую компенсацию температуры холодных спаев термоэлектрических термометров преобразование аналоговых сигналов в цифровой код линеаризацию и масштабирование параметров сравнение контролируемых параметров с уставками вывод информации на цифровые индикаторы и электронно-лучевые трубки периодическую регистрацию текущих значений измеряемых параметров регистрацию параметров по вызову оператора регистрацию параметров, отклонившихся за уставку выдачу двухпозиционных сигналов на исполнительные механизмы прием сигналов с двухпозиционных датчиков запись информации на перфоленту или магнитную ленту обмен информацией с ЭВМ более высокого уровня иерархии. [c.811]

Линеаризация оператора % z) не столь проста. Однако читателю легко убедиться с помощью (17.8.4) и (17.8.17), что [c.214]

Мы закончим наше краткое обсуждение линейных кинетических уравнений одним замечанием. Обратим внимание на то, что после линеаризации квазиравновесного статистического оператора (5.4.7) все равновесные корреляционные функции, определяющие статические восприимчивости и кинетические коэффициенты, вычисляются с полным гамильтонианом системы Н. Таким образом, в кинетическом уравнении (5.4.18) точно учитываются равновесные многочастичные корреляции. С этой точки зрения формализм функций памяти напоминает подход к кинетической теории плотных систем, который обсуждался в разделе 4.3.4 в связи с выводом квантового аналога уравнения Энскога ). [c.390]

При линеаризации определяющих соотношений в начально-деформиро-ванной конфигурации необходимо исходить из уравнений движения (1.7.8) и граничных условий (1.7.9) и (1.7.10), заданных в векторном базисе актуальной конфигурации. Однако процесс варьирования в этой конфигурации представляется достаточно сложным в связи с тем, что возмущению должны подвергаться как описывающие напряженно-деформированное состояние функции (тензоры напряжений и деформаций), так и сама актуальная конфигурация (т. е. система координат, связанная с ее векторным базисом, а также определенный в этом базисе набла-оператор). [c.38]

Простейшая модель линеаризованного оператора столкновений получается при линеаризации БГК-модели. Полагая в (II. 10.3) / = /о(1 + ft) и пренебрегая степенями h выше первой, имеем [c.232]

Подставляя формулы (1.122) в уравнение (1.121) и учитывая, что в результате статистической линеаризации уравнение (1.121) теперь уже линейно, на основании общих свойств теории преобразования случайных функций линейными операторами (см., например, работу [91], 88) получим следующие два уравнения для определения регулярных и случайных составляющих Q(p)m (0 +Р(р)ту(0 = N(p)mAt) (1.123) [c.41]

Центр тяжести системы расположен выше неподвижной точки (рис. 28.1). Учитывается внешнее вязкое трение. Сопротивление отклонению оси тела от вертикали оказывает радиальная податливая опора, обладающая упругими свойствами и гистерезисом. Показано, что реакция этой опоры представляется силовым полем, получаемым в результате применения композиции оператора Гамильтона и оператора поворота к силовой функции (после линеаризации это поле позиционной неконсервативной силы). [c.192]

Наиболее просты линейные задачи, для которых оператор А — линейный относительно (ф, Т), так как для таких задач наиболее развиты точные методы решения. В общем случае распространен метод линеаризации на основе уравнения (12.41) в вариациях если некоторое решение ф°(х, /), Р(х, t) уравнения (12.41) известно, то разыскивается близкое решение ф Т удовлетворяющее уравнению [c.179]

До сих пор мы обсуждали линеаризованные уравнения возмущенного движения для упругого тела. Аналогично могут быть составлены уравнения для тел, материал которых обладает неупругими свойствами. Так, уравнения для линейного вязко-упругого материала получаются из уравнений для упругого материала, если произвести замену упругих постоянных соответствующими вязко-упругими операторами. Однако в случае упруго-пластического материала возникают существенные трудности. Поведение упруго-пластического материала весьма чувствительно к малым изменениям пути деформирования, что проявляется, в частности, в необходимости различать сколь угодно малые нагружения и разгрузку. Уравнения деформирования упруго-пластических систем, вообще говоря, не допускают линеаризации. Линеаризация возможна лишь при некоторых дополнительных предположениях (например, при предположении, что всюду происходит нагружение). Предположения такого рода сужают класс рассматриваемых возмущенных движений поэтому результаты, полученные на их основе, имеют ограниченный или условный характер. [c.333]

Сбор информации, линеаризация, фильтрация. повышение достоверности первичной информации. Избирательный контроль по вызову оператора. [c.40]

Оператор А перехода от (-го к (+1-му состоянию системы не содержит производных по времени. Линеаризация оператора на отрезке 5/ означает, что оператор системы можно [c.170]

Задача. Докажите, что линеаризация — корректно определенная операция оператор А не зависит от системы координат. [c.92]

Теорема. Векторное поле на окружности задает структур но устойчивую систему, если и только еслн оно имеет лишь не вырожденные особые точки (особая точка поля V называете невырожденной, если линеаризация поля в особой точке — не вырожденный оператор). Два векторных поля с невырожденны ми особыми точками на окружности топологически орбиталь эквивалентны, если и только если числа особых точек у ни одинаковы. Структурно устойчивые поля образуют в простран [c.44]

Для определения и" достаточно сначала найти предварительное значение из (1.51), подставить его в (1.50), а затем обратить оператор [А +(2/3)г ] в (1.50). Ввиду нелинейности оператора L, как и в случае рассмотренных выше неявных схем, требуется его линеаризация относительно известных значений сеточной функции у. Эти значения можно получать, например, по тем или иным экстраполяционным формулам или из предыдущей итерации в случае использования какого-либо итерационного процесса для решения нелинейных уравнений. [c.32]

После исключения переменной д и линеаризации обращаемого оператора [c.73]

Особые точки дифференциального уравнения иногда называют также положениями равновесия. Собственные значения оператора линеаризации векторного поля в особой точке а (оператора, ( 1 о лг(а -называют- иогда -собственными значениями особой точки. [c.16]

В разделе 2.3 будет показано, что нелинейность оператора, связанная с ненулевыми начальными условиями, довольно легко может быть устранена. Нелинейность оператора, связанная с нелинейностью дифференциальных уравнений математической модели, не может быть, как правило, устранена. Для таких операторов необходимо либо придумымать индивидуальные методы исследования, либо с некоторой степенью точности заменять их линейными операторами. Более подробно процедура такой замены (линеаризации) будет описана в разделе 2.3. [c.53]

Линеаризацией нелинейного оператора А называется его замена некоторым линейным оператором А, таким, что на определенном множестве М входных функций u(t) каждую выходную функцию v(t) =Au(i) оператора можно приближенно выразить с помощью соответствующей выходной функции v (t) =A u t) линейного оператора А. Обычно А можно заменить линейным оператором Л несколькими различными способами. В зависимости от выбора множества М и требуемой степени точности выражения выходных фукций линейного оператора этот оператор будет иметь различный вид. [c.78]

Функциональный оператор адсорбера А 1вх(0> 0 вх(0. G t), 0свх(О, ф(0 0t p(O. 0свых(О , очевидно, является нелинейным, поскольку в уравнения (5.3.1) — (5,3.3) входят нелинейные члены произведения входных, выходных и внутренних параметров и нелинейная функция х(0,ф). Произведем линеаризацию системы уравнений (5.3.1) — (5.3.3). В предыдущем разделе была подробно описана процедура линеаризации системы уравнений, описывающих процесс ректификации на отдельной тарелке ректификационной колонны. Метод линеаризации математической модели процесса адсорбции в общих чертах совпадает с аналогичным методом, использованным при линеаризации математической модели процесса ректификации. В связи с этим в настоящем разделе процедура линеаризации системы уравнений (5.3.1) —(5.3.3) будет изложена более сжато, без подробного разъяснения каждо- [c.237]

СптРп — дифференциальный оператор с коэффициентами с т , , Ьпт, Спт ( = ), учитывающими эффекты гвометриче-ской нелинейности. Величины с индексом О представляют собой дополнительные усилия и моменты, обусловленные нелинейным поведением материала. Введенные обозначения для усилий и моментов показаны на рис. 8.1, выражения для Дг и gl, g2 приведены в работе [8]. В этих выражениях в отличие от [7] г не отождествляется с Гд, что в ряде случаев ведет к уточнению уравнений (8.3). Известны и другие упрощения уравнений (8.3), многие из которых связаны с их линеаризацией, однако при численном решении с использованием ЭВМ более точная формулировка не вносит дополнительных трудностей. [c.153]

Следует подчеркнуть, что даже в классических> дифференциальных задачах математической физики не всегда операторы эрмитовы. В общем же случае нелинейных дифференциальных уравнений корректная линеаризация основного оператора и построение оператора, сопряженного к линеаризованному, представляют одну из главных трудностей, с которыми приходится иметь дело при постановке сопряженных задач. [c.213]

Впервые такая задача рассматривалась в [11-13] для упругого полупространства, взаимодействующего без трения со штампами различной формы (пирамида, конус, параболоид). После линеаризации по и правой части условия (2) и замены в нем перемещений и, V ш. известными выражениями через контактное давление р, получается интегральное уравнение первого рода относительно р х). Решение этого уравнения, при условии равновесия и соотношениях р х) О, ж а, р а) = О, строится либо с помощью конечно-разностной аппроксимации интегрального оператора, либо методом последовательных приближений с применением регуляри-зующего алгоритма. Проведенный анализ показывает, что уточненная постановка задачи приводит к уменьшению несовместности контактных деформаций. [c.251]

Трудность решения уравнения Шредингера с таким оператором Гамильтона заключается в нелинейности первого члена. В случае спиновых волн эту трудность можно было обойти с помощью преобразования Холштейна —Примакова с последующим разложением корня, содержащего оператор, и учетом только первого члена. Для настоящей проблемы должны были бы бьггь учтены по крайней мере следующие члены разложения. Более простой аппроксимацией для (40.1) является линеаризация оператора. Это достигается тем, что один из обоих спиновых операторов заменяется своим средним значением [c.171]

Лроделав подобные операции линеаризации со всеми разностными операторами, входяш,ими в схему (3.2), получим следуюш,ую линейную разностную схему [c.20]

Выбор естественного базиса в нелинейных задачах, как правило, требует специального рассмотрения. Один из распространенных способов состоит в использовании в качестве базиса собственных функций соответствующей линейной задачи, которая формулируется в результате линеаризации исходной нелинейной системы относительно известного стационарного состояния. В задачах гидродинамики, кроме того, с этой же целью нередко используют собственные функции оператора Лапласа с учетом граничных условий и геометрии области, занимаемой жидкостью. Рассмотрим несколько конкретных примеров применения метода Галеркина в гидродинамике с учетом специфики в постановке задач. Это позволит, в"частности, получить простые малопараметрические динамические системы, играющие важную роль в исследовании различных типов гидродинамической неустойчивости. Уместно также отметить, что метод Галеркина эффективно используется для решения сложных математических проблем статистической гидромеханики, подробное изложение которых содержится в [36 . [c.13]

Если оператор Ь линейный, то функционал имеет квадратичную форму, что приводит к линеаризации полученной системы алгебраических уравнений. То же самое в методе Галёркина, где линейность I приводит к линеаризации уравнений (1.29), так как в каждом из них коэффициенты м, можно вынести из-под знака интеграла [c.24]

Оператор (2.14) соответствует уравнению (2.5), в котором положено Ом/Э ) = (и -и )/т и произведена линеаризация функцииi/5(m относительно слоя t = t . При еs о этот оператор приводит к рассмотренной выше системе уравнений для чисто конвективного случая. [c.54]

Левая часть (2.49) получена после линеаризации функций и р в обращаемом операторе, причем матрицы 2 и и предполагаются вычисленными по известным значениям функции и на предыдущем временном слое (или на предыдущих временных слоях). Основная сложность обращения оператора в квадратных скобках состоит в сложной структуре оператора Стс1лВ Сх Поэтому является естественной замена последнего на некоторый трехточечпый оператор без нарушения устойчивости схемы. Поскольку перед оператором диффузионных членов в обращаемом операторе стоит множитель т, такая замена приведет к эквивалентной схеме (2.49) с точностью до членов порядка О (г). Если высокий порядок аппроксимации схемы относительно шага т не требуется, то вновь полученная схема может оказаться вполне приемлемой. Именно гак происходит в случаях, когда интерес представляют лишь стационарные решения исходной задачи. [c.71]

Как и в случае новой независимой переменной циз (2.48), схема (2.57) после линеаризации функций Г и Р может быть представлена в виде системы трехточечных разностных уравнений относительно вектора г, компонентами которого являются компоненты векторов и и ц. Эта система решается, в частности, методом векторной прогонки с матрицами размерности 2рХ2р. Для того чтобы использовать прогонку с матрицами рХр, достаточно в обращаемом операторе в (2.58) член Аг заменить [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...