Линеаризация системы уравнений

И. А. Чарным предложена линеаризация системы уравнений (60.15), достигаемая в результате допущения [c.228]

При решении задач ламинарного потока вследствие математических трудностей широко применяются различного вида линеаризации системы уравнений движения, чаще всего заключающиеся в замене производных Э Э [c.95]

Численное решение системы (3) не позволяет судить о степени влияния различных параметров на устойчивость равновесия номинальной точки БП в малом (в смысле Ляпунова). Для анализа устойчивости номинальной точки используем первую теорему Ляпунова [3]. Линеаризуем функции (4), входящие в правые части уравнений (3), в окрестности исследуемой равновесной точки Хах) разложением в ряд Тейлора с удержанием первого члена. После линеаризации система уравнений (3) приобретает вид [c.77]

Выполнив с учетом (5-21) линеаризацию системы уравнений (5-20), получим при /г=1 [c.138]

При исследовании и расчете конструкций, имеющих ограниченные деформации, применяется приближенная теория — техническая теория мягких оболочек. Она основана на общем нелинейном подходе, но предполагает выделение некоторого основного напряженного состояния й линеаризацию системы уравнений оболочки. [c.167]

Частичная линеаризация системы уравнений (1.46) позволяет записать ее следующим образом [c.32]

Уравнения для возмущений скорости у, температуры Т, давления р и поля Е получаются путем линеаризации системы уравнений конвекции и уравнений Максвелла около основного течения. В размерной форме эти уравнения имеют вид [c.125]

Очевидно, Га зависит от значений и, около которых произведена линеаризация системы уравнений, и от W. Из нижней полуплоскости к будут стремиться к нулю 1а = Па — Га корней при и> 0. Таким образом, в верхней полуплоскости при а = О останется р — Га, а в нижней д — 1а корней А дисперсионного уравнения линеаризованной полной системы уравнений (1.66). [c.106]

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ [c.411]

Чтобы произвести формальную линеаризацию системы (7.92), в ней выделены чертой сверху величины, значения которых берутся из предыдущей итерации, из этих величин формируются коэффициенты. Выберем коэффициенты следующим образом для первого уравнения [c.260]

После линеаризации исходной системы уравнений (4.7.2) получим [c.377]

Положим H = Ho- h и Е = Ео- -е, где h и е — возмущения магнитного и электрического полей. Проведем теперь линеаризацию основных уравнений, описывающих движение при наличии упругого электрического и магнитных полей (см. 5 гл. II). В системе MKS эта линеаризированная система уравнений имеет вид [248] [c.541]

Линеаризацию этого выражения на отрезке (—А, А) выполним по методу Чебышева из условия равенства предельных отклонений с чередующимися знаками (рис. 70). Тогда ордината искомой прямой с и величина отклонения Атах могут быть найдены из системы уравнений [c.240]

Одна из этих гиперповерхностей соответствует столкновению устойчивого положения равновесия с неустойчивым, после которого оба положения равновесия исчезают (становятся комплексными). На медленной поверхности это явление наблюдается в нерегулярных точках (критических точках проектирования медленной поверхности на базу) в этих точках линеаризация быстрого уравнения в слое имеет нулевое собственное число. Например, для системы Ван дер Поля срыв происходит в точках вертикальности касательной к медленной кривой. [c.170]

Заметим, что линеаризация уравнения (или системы уравнений) предусматривает то, что механическая система, которой отвечает уравнение (система уравнений), геометрически неизменяема. При этом условии смещения, в частности, узлов и деформации (удлинения или укорочения) элементов системы имеют один порядок величины. При таком условии потенциальная энергия деформации, возникающая вследствие смещений, отлична от нуля. Если же деформации элементов имеют более высокий порядок малости, чем смещения, или вовсе равны нулю, то система является соответственно особой (мгновенно изменяемой или мгновенно жесткой) или изменяемой. [c.307]

В качестве начального приближения может быть принято любое приближенное решение, полученное путем линеаризации исходной нелинейной системы уравнений движения. В последующих главах приводятся конкретные рекомендации по выбору начального приближения в зависимости от конкретного вида характеристики нелинейного звена. [c.159]

При написании книги предполагалось, что в каждом конкретном случае вначале было составлено математическое описание процессов в элементах систем. Каждый раз это требует самостоятельных подходов и в данной работе не рассматривается. Опускается также рассмотрение приемов линеаризации этих уравнений. Предполагалось известным свернутое уравнение системы в целом. [c.11]

Замещающие системы уравнений для нестационарных и нелинейных систем и прием кусочной линеаризации позволяют развить различные обобщения метода эффективных полюсов и нулей для этих систем. В данном параграфе рассматривается ряд особенностей протекания процессов в нестационарных системах, которые позволяют осмыслить как существо указанных обобщений, так и влияние ограничений. [c.176]

Для дальнейшего анализа нестационарных процессов удобнее иметь аналитическое решение. Однако получить аналитическое решение возможно лишь при определенных упрощениях. Последние должны быть столь минимальны, чтобы не искажать результаты решения. Для данного случая наиболее общепринятым методом минимальных упрощений является линеаризация исходной системы уравнений. Для линеаризованной системы приходится ограничивать область применимости полученных решений, о чем будет сказано в соответствующих мес- [c.81]

Для анализа динамики при малых перемещениях заслонки выражение для силы F-p можно упростить, применяя линеаризацию уравнений расходов через сопла, входящих в систему уравнений (6.53). Делая те же допущения, что и при анализе системы уравнений (6.55), запишем равенство расходов через сопла в таком виде [c.420]

С целью анализа устойчивости и переходных процессов статического гидроусилителя с малым трением золотника в его расчетной зоне (h hm рв рт), в которой справедливы линейные зависимости между расходом и давлением и не достигаются ограничения хода заслонки, нелинейное уравнение гидроусилителя может быть линеаризовано с точностью, достаточной для инженерных расчетов. Линеаризация уравнения движения гидроусилителя в первую очередь заключается в линеаризации зависимости Qg = f h рд). Эта линеаризация осуществляется разложением системы уравнений (6.53) в ряд Тейлора и получением после принятых допущений линеаризованной зависимости в виде уравнения (6.57) [c.424]

Динамические характеристики электрогидравлического усилителя. Для анализа динамики ЭГУ составим систему дифференциальных уравнений, описывающих совместную работу гидроусилителя и электромеханического преобразователя с учетом силового воздействия струй на заслонку. Дифференциальные уравнения ЭГУ составим применительно к быстродействующим системам, для которых справедливы следующие допущения масса и трение золотника, а также утечка и зона нечувствительности гидроусилителя малы и ими можно пренебречь. Будем также считать, что все рабочие процессы гидроусилителя протекают в зоне практически линейных характеристик гидравлического мостика сопло-заслонка, в которой справедлива линеаризация уравнений расхода (6.56) и отсутствует ограничение по ходу заслонки. Кроме того, будем считать, что суммарное силовое воздействие на заслонку струй, вытекающих из сопел, выражается зависимостью (6.66). При этих допущениях система уравнений, описывающая двил<ение электрогидравлического усилителя в линейной зоне, в которой справедливы обозначения h = Д/г рд = Ара л = Ах и / = Д/, запишется в таком виде [c.437]

Система уравнений, описывающих движение ЭГУ с учетом гармонической линеаризации усилия трения, на оснований соот- [c.448]

Система уравнений ЭГУ при учете гармонической линеаризации гистерезисной петли, обусловленной совместным действием сухого трения и пружин золотника, позволяет представить передаточную функцию ЭГУ для анализа гармонических колебаний в таком виде [c.450]

Система уравнений следящего привода с учетом гармониче-екой линеаризации сухого трения в силовом цилиндре Frp = = Frp(sy), гистерезисной петли гидроусилителя х = (р(рв) и нелинейной зависимости гидравлической проводимости от хода золотника на основании уравнения (6.100) при т = О, Сш = О и. f = О запишется в таком виде [c.471]

Система уравнений (54) нелинейна и решить ее в таком виде невозможно. Для решения этой системы уравнений применяем метод линеаризации в окрестности точки смены режима, для чего каждую составляющую уравнений раскладываем в ряд Тейлора с учетом только линейной составляющей. [c.52]

Система уравнений (67) нелинейна, и решить ее в таком виде невозможно. Поэтому для решения уравнений применяем метод линеаризации в окрестности точки смены режима, для чего каждую [c.60]

После линеаризации, при ранее использованных допущениях, система уравнений (74) примет вид [c.66]

Рассматриваемая система уравнений нелинейна, поэтому ее надо линеаризовать. Линеаризация проводится по общему правилу (см. 3-3). Уравнения для отклоне- ний параметров имеют следующий вид [c.76]

Функциональный оператор адсорбера А 1вх(0> 0 вх(0. G t), 0свх(О, ф(0 0t p(O. 0свых(О , очевидно, является нелинейным, поскольку в уравнения (5.3.1) — (5,3.3) входят нелинейные члены произведения входных, выходных и внутренних параметров и нелинейная функция х(0,ф). Произведем линеаризацию системы уравнений (5.3.1) — (5.3.3). В предыдущем разделе была подробно описана процедура линеаризации системы уравнений, описывающих процесс ректификации на отдельной тарелке ректификационной колонны. Метод линеаризации математической модели процесса адсорбции в общих чертах совпадает с аналогичным методом, использованным при линеаризации математической модели процесса ректификации. В связи с этим в настоящем разделе процедура линеаризации системы уравнений (5.3.1) —(5.3.3) будет изложена более сжато, без подробного разъяснения каждо- [c.237]

А. Г. Багдоев [4] исследовал решение уравнения (13.31), полученного им путем линеаризации системы уравнений X. А. Рахматулина для полупространства при задании на поверхности осесимметричного гранпчного условия [c.120]

После линеаризации системы уравнений (1.3), (1.6), (1.7) и несложных преобразований получим систему уравнений относительно неизвестныхр х, t) и R(x, t) [4] [c.62]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

Учитывая, что односторонние системы наименее удобны в смысле линеаризации их уравнений движения, в качестве примера активных пневмодемпферов был рассмотрен односторонний пневмодемпфер, уравнения движения которого имеют вид (3). Особенность проведения эксперимента в этом случае в том, что исследуемая нелинейность присутствует только во втором уравнении, а совместное моделирование обоих уравнений на АВМ связано с трудностями согласования масштабов. Поэтому задача в этом случае решалась иным способом. [c.82]

Правомерность такой линеаризации проверялась моделированием, которое показало, что решение линеаризованной системы в отклонениях является межорантным по отношению к такому же решению нелинейной системы. Это позволяет судить об устойчивости движения, описываемого системой уравнений (П), по устойчивости решения линеаризованного уравнения в отклонениях. [c.186]

Для нелинейной преобразующей системы принцип суперпозиции неприменим, и, следовательно, написать систему уравнений вида (9.1) нельзя. Однако во многих случаях в достаточно узких пределах изменения входных и выходных переменных допустима с большей или меньшей степенью точности линеаризация преобразующей системы, сводящаяся к замене нелинейных уравнений линейными. Линеаризованные математические зависимости, аналогичные системе уравнений (9.1), могут быть получены следующим образом. [c.261]

Решение этой системы уравнений представляет серьезные математические трудности,.Поэтому в практике принимается ряд допущений, существенно упрощающих исходную постановку и создающих условия для решения задачи. Применяемая линеаризация уравнений (С. А. Чаплыгин, С. А, Христианович, Л. И. Седов, Л. Г. Лой-цянский. Карман, Цзянь и др.) позволила расширить круг задач, решаемых в конечном виде (обтекание тонких, слабоискривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под малыми углами атаки). Однако в ряде случаев линеаризация приводит к существенному осреднению параметров процесса. В подобных задачах использование моделирования 1Может оказаться полезным. [c.320]

Определим, используя метод гармонической линеаризации, влияние внешнего воздействия на устойчивость гидравлического следящего привода. В качестве объекта исследования возьмем наиболее распространенный гидравлический следящий привод с четырехщелевым управляющим золотником (см. рис. 3.1), имеющий открытые рабочие щели размера /lo в среднем положении, которому подается на вход возмущающее воздействие л-с постоянной скоростью V . Она отрабатывается приводом и составляет скорость слежения. Считаем, что привод обладает двумя существенны ми нелинейностями p h, q) и T V ), которые будем учитывать в виде статических характеристик, показанных на рис. 3.6, б и 3.5, в. В этих условиях движение привода описывается системой уравнений (3.20), причем в ней внешнее входное воздействие [c.190]

При принятых упрощениях результат гармонической линеаризации нелинейности F s совпадает с таковым для нелинейности Fis и выражается зависимостями (3.195) и (3.196). Решение системы уравнений (3.203) относительно переменной г, изменение которой предполагается близким к гармоническому z — /Isin по методике, изложенной в 3.3, приводит к следующему дифференциальному уравнению движения привода [c.220]

Исследование динамики дроссельного гидропривода на электронной моделирующей установке Исследование динамики дроссельного привода на электронной моделирующей установке имело целью показать влияние основных нелинейностей на характер переходных процессов и частотных характеристик привода и сделать заключение о диапазонах изменения входных управляющих сигналов, в пределах которых возможна линеаризация уравнения движения для анализа устойчивости сложных следящих систем с дроссельным исполнительным приводом. При этом исследовании было принято, что движение дроссельного гидропривода с достаточной степенью точности можно представить нелинейным диффереециаль-ным уравнением (6.8), полученным на основании системы уравнений (6.7), полагая Ах = О, = 0. [c.377]

Технику линеаризации можно проследить на примере преобразования системы уравнений (3-1) —(3-4). Та , для уравнения силошности заяиаием [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...