Схемы высокого порядка аппроксимации

Таким образом, в классах линейных схем высоких порядков аппроксимации на фиксированном шаблоне невозможно построить монотонную схему. [c.69]

Замечания разд. 3.1.10 по поводу ограничений на схемы высокого порядка аппроксимации еще в большей мере относятся к течениям сжимаемой жидкости. Как уже было указано в разд. 5.5.2, в сверхзвуковых течениях ири больших числах Рейнольдса искомые функции не обязательно непрерывны по пространственным переменным и в этих случаях ряды Тейлора, применяемые для оценки ошибок аппроксимации, непригодны. [c.423]

Для точности разностных решений при фиксированном шаге h или для увеличения шага h при фиксированной точности естественно использовать схемы высокого порядка аппроксимации. Однако для реального h увеличение к необязательно уменьшит правую часть (0.5), поскольку константа С сама может возрастать с ростом к как величина, ограничивающая высшие производные, входящие в погрешность аппроксимации. Например, для [c.5]

Большая точность схем высокого порядка аппроксимации, достигаемая на гладких и плавно меняющихся решениях исходной задачи, стимулировала разработку схем, порядок которых больше двух. Некоторые методы построения таких схем можно условно классифицировать следующим образом использование многоточечных шаблонов использование дифференциальных следствий исходных уравнений применение компактных аппроксимаций. [c.9]

Схемы высокого порядка аппроксимации 423 [c.423]

Чем выше порядок аппроксимации, тем меньше при той же сетке погрешность, обусловленная заменой дифференциального оператора разностным, или тем более крупная сетка может быть использована при обеспечении той же точности. Однако при этом существенно усложняется и разностная схема, поэтому разностные схемы высокого порядка (р>2) используют редко. [c.60]

Мы опускаем доказательство этой теоремы (его можно найти, например, в 1]). Можно привести ряд известных схем первого порядка точности, которые при определенных ограничениях на число Куранта являются монотонными. Сложнее дело обстоит в случае разностных схем второго и более высоких порядков аппроксимации. С.К. Годуновым была доказана следующая [c.69]

Из примера видно, что погрешность аппроксимации определяется не только шагами сетки, но и величиной производных от точного решения исходной задачи, которые, конечно, не известны. А так как структура этой погрешности у различных схем, как правило, неодинакова, то на заданной сетке схема с высоким порядком аппроксимации может в принципе дать менее точное разностное решение, чем схема низкого порядка аппроксимации. Поэтому при априорном сравнении аппрокси- [c.36]

Существенным моментом при построении схем высокого порядка может стать тот факт, что сходимость разностного решения к точному для устойчивого алгоритма обеспечивается аппроксимацией на точном решении и не требует аппроксимации на произвольной гладкой функции. [c.10]

Компактные схемы. Альтернативный путь построения схем высокого порядка состоит в использовании так называемых компактных аппроксимаций. Их сущность удобно Проиллюстрировать на примере приближенного определения производной функции по ее значениям в узлах. Если традиционное представление производной [c.11]

Если в эти условия входят дискретизации производных, то для сохранения высокого порядка аппроксимации можно пользоваться трехточечными односторонними формулами типа формул (2.34) из гл, 1. Однако в этом не всегда существует необходимость. Например, при применении каких-либо экстраполяционных условий на нижней по течению границе расчетной области заведомо предполагается, что возможные возмущения от неточности этих условий слабо распространяются вверх по потоку. Поэтому в этом случае совершенно необязательно использовать формулы высокого порядка. Можно также понижать порядок аппроксимации граничных условий, считая, что в среднеквадратичной норме это не сильно скажется на точности решения. Такое понижение является вполне разумным также и тогда, когда в качестве одного из главных свойств схемы рассматривается не ее третий и ш четвертый порядок, а благоприятные качества получаемых решений. [c.153]

В последние годы стали разрабатываться гибридные схемы или схемы с переменным порядком аппроксимации с первым порядком в зоне ударной волпы и болео высоким порядком в области гладкого течения [93, 111, 231, 241 и др.]. [c.89]

Свойство консервативности не обязательно связано с повышением точности схемы. Например, неустойчивые решения консервативных уравнений сохраняют свойство консервативности. Более того, неконсервативный метод может быть в некотором смысле точнее консервативного. Например, для представления функций по значениям в узлах сетки можно было бы применять одномерные аппроксимации полиномами высокого порядка и при этом производные по пространственным переменным будут, вероятно, определяться с ошибкой более высокого порядка (см. Томас [1954]). Однако построенная таким образом схема может быть неконсервативной, а если критерий точности включает условие консервативности, то неконсервативная схема окажется менее точной. [c.56]

Те, кто знаком только с численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянно удивляется низкому порядку аппроксимации в схемах, применявшихся в прошлом для дифференциальных уравнений в частных производных. Причина этого просто заключается в том, что для нетривиальных задач гидродинамики трудно добиться фактического получения результатов равномерно высокого порядка точности. В полной задаче точность решения уравнения переноса вихря будет ограничена точностью решения уравнения Пуассона (см. разд. 3.2) и постановкой граничных условий "(см. разд. 3.3.1). Последняя особенно увеличивает трудность достижения равномерно высокого порядка точности для задачи в целом при использовании стандартных многоточечных уравнений высокого порядка точности, таких, которые рассматриваются в разд. 3.2.10. (Например, вблизи прямолинейной границы, обычно параллельной одной из осей координат, для схемы с ошибкой порядка О Ах ) требуется знать значения на границе и в пяти ближайших внутренних точках см. Саусвелл [1946].) Исследовать устойчивость таких схем очень трудно, хотя здесь на помощь может прийти понятие расщепления по времени (разд. 3.1.13). [c.170]

Данная схема дает гораздо более резкие скачки (т. е. меньшие толщины скачков), чем другие схемы, однако дает и больший всплеск за скачком. Лаке и Вендрофф [1964] объясняют это тем, что все схемы высокого порядка аппроксимации по времени должны давать осцилляции за скачком см. также по этому поводу работу Фрёгденхила [1969], посвященную решению линейного модельного уравнения (5.47). (Представляется, что для многошаговых неявных схем это не имеет места см. разд. 5.5.7.) Для уменьшения всплеска и для получения удовлетворительных результатов при наличии в течении сильных скачков необходимо ввести явную искусственную вязкость в какой-либо форме (Лаке и Вендрофф [1960, 1964], Рихтмайер и Мортон [1967]). [c.370]

Кроме методов профилирования плоских и осесимметричных сопел в ЛАБОРАТОРИИ развивались приближенные способы профилирования пространственных сопел максимальной тяги и сопел аэродинамических труб. В [45] развит метод профилирования цилиндрических боковых стенок пространственного сопла максимальной тяги, которое отличалось от плоского дополнительным медленным расширением его верхней и нижней стенок. Вариационная задача решалась в квазитрехмерном приближении, сводящим пространственное течение к двумерному с отвечающими расширению верхней и нижней стенок слагаемыми в условиях совместности на и С -характеристиках. Тяги построенных сопел, определенные в квазитрехмерном приближении, сравнивались с величинами, рассчитанными интегрированием пространственных уравнений Эйлера по маршевой схеме второго порядка аппроксимации. Выполненные сравнения подтвердили высокую точность развитого приближения. [c.367]

Для исходной недеформированной сетки СГК за счет более высокого порядка аппроксимации во всей рассчитываемой области также обеспечивает лучшую точность, чем СГ. Так, в данном примере ошибки по р/р и по полной энтельнии / в точке торможения, достигающие в СГ 8.6 и 5%, в СГК на той же сетке снизились до 0.1%. С удалением по торцу от точки торможения погрешности обеих схем растут. [c.204]

Рассмотренная схема С.К. Годунова имеет первый порядок аппроксимации как по пространственной переменной, так и по К настоя1цему времени предложены различные модификации этой схемы, которые обладают более высокими порядками аппроксимации (вторым и третьим). [c.73]

Что касается аппроксимации уравнений для энергии и диссипации турбулентности вида (1.14), то может возникнуть вопрос есть ли необходимость в аппроксимации их схемами высокого порядка в условиях приближенности самой модели и некоторой неопределенности в ее константах Такой же вопрос возникает относительно членов с турбулентной вязкостью в исходных уравнениях. Ответы на эти вопросы, по-видимому, мож1ю получить в результате сравнения численных решений с экспериментальными данными. [c.131]

Метод расчета. Примененный расчетный алгоритм основан на обобщенной процедуре глобальных итераций, предназначенной для решения конечно-объемным факторизованным методом уравнений переноса на многоблочных пересекающихся сетках О- и Н-типа. Система исходных уравнений записьшается в дельта-форме в криволинейных, согласованных с границами расчетной области координатах относительно приращений зависимых переменных, включающих декартовые составляющие скорости. После линеаризации система исходных уравнений решается с помощью согласованной неявной конечно-объемной процедуры коррекции давления [1], основанной на концепции расщепления по физическим процессам и записанной в -факторной формулировке. При этом для дискретизации временных производных используется схема второго порядка аппроксимации [10]. Для уменьшения влияния численной диффузии в расчетах течений с организованным отрывом потока, весьма чувствительных к ошибкам аппроксимации конвективных членов, в явной части уравнений переноса используется одномерный аналог противопоточной схемы с квадратичной интерполяцией [11]. Одновременно, чтобы избежать ложных осцилляций при воспроизводстве течений с тонкими сдвиговыми слоями, в неявной части уравнений использован механизм искусственной диффузии в сочетании с применением односторонних противопоточных схем для представления конвективных членов. В свою очередь, для устранения немонотонностей в распределении давления при дискретизации градиента давления по схеме с центральными разностями на согласованном (с совмещенными узлами для скалярных переменных и декартовых составляющих скорости) шаблоне в блок коррекции давления введен монотонизатор с эмпирическим сомножителем. Его величина 0.1 определена в ходе численных экспериментов на задаче обтекания цилиндра и шара потоком вязкой несжимаемой жидкости. Высокая эффективность вычислительной процедуры для решения дискретных алгебраических уравнений обеспечена применением метода неполной матричной факторизации. Более подробно детали описанной процедуры расчета течения на моноблочных сетках изложены в [11]. [c.46]

Рассмотренные нами схемы Эйлера имеют первый порядок аппроксимации. Для построения схем с более высоким порядком в разложении (1.32) нужно оставить члены более высокого порядка малос- [c.31]

Разностные схемы 2-го и более высоких порядков точности, как правило, неположительны и немонотонны. В гетерогенных задачах на грубых сетках при сильно меняющихся решениях это может приводить к появлению отрицательных потоков и выбросов в разностном решении, которые в силу балансности схем распространяются дальше в виде осцилляций. Для обеспечения положительности, улучшения свойств монотонности разработаны различные алгоритмы коррекции и монотонизации. Коррекция (возможно, ценой некоторого ухудшения точности расчета интегральных величин) существенно улучшает локальные характеристики решения, являясь дополнительной страховкой схемы от грубых погрешностей аппроксимации. Введение в расчетную схему таких нелинейных включений в настоящее время является общей чертой большинства используемых алгоритмов [1]. [c.265]

Метод построения неявных операторов для определяюгцей системы уравнений описан в [23]. Регнение неявных дифференциальных операторов основано на применении симметричной релаксационной схемы Гаусса-Зейделя. Использовались комбинированные граничные условия. В зависимости от направления потока через границу задавался либо снос параметров из области течения, либо фиксированные значения параметров. В случае течения в канале и в пристеночной трехмерной струе при Ке <3-10 на стенке ставились условия прилипания. При Ке >3-10 вводились законы стенки. Типичные расчетные сетки для трехмерных течений содержали от 30 до 40 узлов по каждому направлению (обгцее количество узлов — до 200 тысяч), при этом по-грегнность расчета за счет высокого порядка схемной аппроксимации не превыгпала 5 %. [c.588]

Опубликованные результаты, касающиеся допустимых значений приращения (безразмерного времени) Ат, связаны главным образом с методами конечных разностей (очень хороший обзор основных проблем сделан Кренделлом [14]) и методами конечных элементов, для которых Смит [15] получил очень интересные результаты об использовании аппроксимаций более высокого порядка при экспоненциальном изменении р со временем, позволяющих проводить расчеты с более крупными шагами. При использовании схем с дискретизацией всей области в сочетании с обычной явной разностной схемой по времени сходимость гарантируется,если отношение Ат/(Ал ) не превышает 1/2, где Ал — пространственный шаг сетки или размер элементов [281. Так, в типичном случае, скажем. Ал = L/10, и, следовательно, Ат < 0.005. Хотя, как упоминалось выше, применительно к МГЭ эти вопросы не являются столь же. детально изученными, Томлин [2], например, успешно применял [c.253]

Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), Хёрщ [1975] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. При помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии мащинпого времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно прп той же точности). Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Хёрш, личное сообщение). В схеме Рубина —Хосла [1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится переменный шаг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для F остается О (А ), но порядок ошибки для S уменьшается до О (А ). [c.174]

Левая часть (2.49) получена после линеаризации функций и р в обращаемом операторе, причем матрицы 2 и и предполагаются вычисленными по известным значениям функции и на предыдущем временном слое (или на предыдущих временных слоях). Основная сложность обращения оператора в квадратных скобках состоит в сложной структуре оператора Стс1лВ Сх Поэтому является естественной замена последнего на некоторый трехточечпый оператор без нарушения устойчивости схемы. Поскольку перед оператором диффузионных членов в обращаемом операторе стоит множитель т, такая замена приведет к эквивалентной схеме (2.49) с точностью до членов порядка О (г). Если высокий порядок аппроксимации схемы относительно шага т не требуется, то вновь полученная схема может оказаться вполне приемлемой. Именно гак происходит в случаях, когда интерес представляют лишь стационарные решения исходной задачи. [c.71]

Формулы компактного численного дифференцирования, обеспечивающие пятый порядок аппроксимации. Трехточечные формулы (4.11), свя-зьшающие значения в узлах функции и, а также значения в узлах разностных аналогов ее первых и вторых производных (с и г), содержат большее количество коэффициентов, чем аналогичные формулы, связьшающие значения функций и к д. Отсюда естественным образом возникает идея использовать эти дополнительные коэффициенты для построения таких соотношений, которые позволили бы определить д к г как аппроксимации производных функций, обладающие более высоким, чем третий, порядком аппроксимации. Если бы такие аппроксимации имели благоприятные свойства, то их использование в качестве составной части схемы для уравнения (4.8) было бы вполне разумным, поскольку процесс решения разностных уравнений оказался бы не более сложном, чем в случае схемы третьего порядка (4.10). Для уравнения первого порядка (4.1) функция и является лишней, однако может оказаться, что применеше векторных прогонок с матрицами 2X2 вместо скалярных прогонок является разумной платой за высокую точность и другие положительные свойства схемы. [c.107]

В алгоритме, описанном вьиис, вторые производные аппроксимировались с третьим порядком с использованием операторов, сопряженных с операторами конвективных членов это не усложняло заметным образом процесс решения разностных уравнений. Непосредственное введение аналогичных аппроксимаций в схему с матрично-разностными операторами заставило бы искать пути уменьшения размерности обращаемых матриц при помощи внутренних и те раций (нап мер,описанныхв гл. 1). Если не ставить целью получение высокого порядка локальной аппроксимации внутри областей с существенной ролью вязкости (что во многих случаях является вполне разумным), то оказываются применимыми дискретизации вторых производных, обеспечивающих погрешность схемы вида 0(h + (1/Re)А) или OQi + (1/Re)А ),описанные в гл. 1. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...