Ядра уравнений наследственные

Ядра уравнений наследственные 723, 727 [c.857]

Частный вид зависимости (18.5.2) получается при условии, что оператор К имеет ядро Абеля, K t — %Y K Уравнение (18.5.4), по-видимому, достаточно хорошо описывает наблюдаемые эффекты и в этом смысле может конкурировать с уравнением теории упрочнения. Более того, уравнение наследственного типа описывает некоторые вторичные эффекты, которые гипотеза упрочнения во внимание не принимает, например, возврат после снятия нагрузки, который наблюдается и у металлов, хотя далеко не в такой степени, как у полимеров. [c.625]

Зависимость ядра ползучести Q от величины нагрузки обеспечивает нелинейное суммирование деформаций. Следует отметить, что уравнение наследственного типа учитывает влияние истории нагружения на процесс деформации, не связанное с изменением реологических параметров материала. [c.52]

Материалы подобного рода относятся к так называемым материалам с наследственными свойствами. Их напряженное состояние a t) зависит от предшествующей истории изменения деформации e(i). Математическим аппаратом, описывающим деформирование материалов с наследственностью, являются интегральные уравнения Больцмана-Вольтерра. Однако если ядро уравнения является экспоненциальной функцией разности аргумента (времени) и переменной интегрирования, то интегральное уравнение сводится к дифференциальному (2.22.1) и решение многих задач упрощается. [c.482]

При решении линейных и нелинейных вязкоупругих соотношений особую роль играют методы определения характеристик материала, которые в случае уравнения наследственного типа сводятся к отысканию ядер ползучести и релаксации. Если ядра заданы аналитически, то их параметры определяют путем аппроксимации соответствующих экспериментальных данных. Из-за [c.33]

Полученные следствия из вариационного принципа типа Рейс-нера носят, конечно, достаточно тривиальный характер. Эти уравнения можно было получить из обычных уравнений изгиба балки простой зз]меной модуля упругости соответствующим оператором. Но можно представить себе более сложный случай, когда Е и К представляют собою функции координаты у. Так будет, например, если балка неравномерно нагрета по толщине ядро наследственности в сильной степени зависит от температуры. Уравнение (17.11.6) в этом случае сохраняет силу, только вместо i/E и К нужно подставить приведенные величины, а именно. [c.606]

Ядро оператора Вольтерра К t, т), входящее в реологическое уравнение (1.1), часто называют наследственной функцией влияния или функцией памяти . Эта функция, характеризующая реакцию стареющего материала на единичный импульс, приложенный в некотором возрасте т, однозначно выражается через модуль упругомгновенной деформации Е (т) и меру ползучести стареющего материала С I, т). [c.13]

Поскольку для металлических материалов сопротивление определяется мгновенными условиями нагружения (скоростью пластического деформирования) и мгновенной структурой материала в момент регистрации напряжений, влияние истории нагружения связано с изменением структуры материала в зависимости от процесса предшествующего нагружения. В связи с этим интегральные наследственные уравнения можно рассматривать как удобный метод аппроксимации экспериментальных данных путем выбора параметров ядра (чаще всего используются ядра типа Абеля или дробно-экспоненциальные функции), обеспечивающих удовлетворительное соответствие экспериментальным данным. Этим объясняется непригодность таких уравнений для описания процессов деформирования с резким изменением скорости, которые дают наиболее рельефное проявление Б экспериментальных исследованиях чувствительности материала к истории предшествующего нагружения [50]. [c.48]

Для построения наследственных кинетических уравнений повреждений типа (3.8) необходимы испытания на длительное разрушение при постоянных напряжениях с периодическими разгрузками различной длительности. Если отдых материала во время разгрузок увеличивает общую долговечность, то это и свидетельствует о наличии свойств наследственности, хотя ядро интегрального уравнения определяется с помощью кривой статической усталости. [c.99]

Коэффициент наследственности. Выбор для данного материала коэффициента наследственности <]j t — х) — ядра интегрального уравнения (73.2) — представляет известные трудности. Больцман остановился на ядре [c.309]

Как указывалось выше, ядро ползучести с точностью до множителя является скоростью деформации ползучести. Эксперименты показывают, что в момент мгновенного нагружения эта скорость близка к бесконечности, чего не отражают экспоненциальные зависимости. Поэтому, если с помощью наследственных уравнений (3.32) необходимо описать деформированное состоя- [c.75]

Теория упругой наследственности. Как известно, дифференциальное уравнение (2.1), которое обычно принимается за исходное физическое соотношение в реологии упруго-вязких материалов, при п р может быть заменено интегральным соотношением, содержащим оператор Вольтерра, подобно тому как дифференциальное уравнение (2.2) заменяется интегральным соотношением (2.3), с той только разницей, что теперь ядро ползучести К (t — т) содержит уже не одну экспоненциальную функцию, а целый набор таких функций вида [c.174]

Основным вопросом при построении линейной теории ползучести бетона является выбор наследственной функции влияния, т. е. вида ядра К (i, т) или Г (i, т) в интегральных уравнениях (2.17) или (2.18) на основании которых должны быть получены решения основных задач равновесия упруго-ползучего тела, подверженного старению, каким является бетон. Разумеется, выбор наследственной функции влияния эквивалентен выбору вида функций для модуля упруго-мгновенной деформации Е (т) и для меры ползучести бетона С (t, г). [c.182]

Интегральное уравнение (2.17) наследственной теории старения с ядром, отвечающим выражению (2.39), можно свести к дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. [c.187]

Наследственная теория старения, как это следует из основного интегрального уравнения (2.17) с вырожденным ядром, например, вида (2.33) или (2.36), учитывает частичную обратимость деформации ползучести, причем доля необратимых деформаций определяется интенсивностью процесса старения материала. [c.187]

Таким образом, по экспериментально полученной функции С может быть найдено ядро интегрального уравнения. Из выражения (21) следует, что по гипотезе пластической наследственности кривые ползучести в координатах е, о являются подобными. [c.237]

Третья часть, написанная В.Е. Роком, состоит из четырех глав и посвящена изложению феноменологического подхода к описанию переходных (нестационарных) волн в средах, обладающих в своей структуре фрактальными элементами. На основании основных свойств таких элементов, прежде всего самоподобия при масштабных преобразованиях (скейлинге) в некотором диапазоне масштабов, построен класс моделей распространения возмущений состояния таких сред, основным свойством которых является нелокальный запаздывающий отклик эффективного макроскопического состояния среды на внешнее возмущение, характеризуемое специальными законами дисперсии волн. Макроскопические наследственные свойства среды при этом оказываются определяемыми интегральными соотношениями с ядрами слабо-сингулярного степенного типа. Рассмотрены методы построения решений уравнений такого типа и физические следствия, вытекающие из их основных свойств, включающие влияние дисперсии на наблюдаемые скорости распространения импульсов. Рассмотрены также качественные подходы к рассмотрению взаимосвязи сейсмоакустических свойств таких сред с изменением геометрической и топологической структуры включений при деформациях, вызванных, например, напряжениями в среде. [c.4]

С учетом такого экспоненциального множителя, плавно выключающего фрактальные эффекты в наследственном ядре (3.44) на достаточно больших временах, дробно-дифференциальные операторы В° могут быть заменены на [В + р , что приводит к новым наследственным уравнениям для свободных волн вида [c.145]

С точки зрения описания процессов распространения возбуждений в средах, содержащих фрактальные элементы, рассмотренные здесь модели относятся к наследственным, то есть таким, в которых локальное (макроскопически) состояние системы зависит от истории процесса (изменения величины характеризующего состояние параметра) в предшествующие моменты времени. Для переходных процессов, то есть таких, которые связаны с распространением возбуждений, созданных некоторым источником (или источниками) в первоначально невозбужденной среде, такая история, во всяком случае, ограничена в прошлом моментом, когда в среде возник источник возбуждения ( слабая причинность отклик в каждой точки среды на возбуждение от источника не может произойти раньше, чем возник источник, но допускается в любой момент, даже сколь угодно близкий, после этого события). Этому условию удовлетворяют уравнения (3.32), (3.49) и эквивалентные им, также как и построенные на их основе дальнейшие возможные обобщения, например, использующие ядра с экспоненциальным убыванием в области малых времен (высоких частот). В случае обобщенных волновых уравнений (3.33), (3.50) и их возможных модификаций, существует предельная скорость распространения возмущений в системах, описываемых этими уравнениями (в выбранной здесь форме записи уравнений мы воспользовались этим, чтобы за счет подходящего выбора единиц измерения длины и времени, эта скорость формально оказалась равной единице). В этих случаях история изменения локального значения параметра, характеризующего возмущение среды в некоторой произвольной точке, начинается только с момента, когда её формально достигнет наиболее быстрая часть распространяющегося возбуждения, пришедшего в эту точку от источника ( сильная причинность возмущение от источника достигает каждой точки среды с некоторой конечной скоростью и, следовательно, спустя конечное время после начала действия источника). Таким образом, естественно рассматривать уравнения (3.32), (3.49) и им подобные как обобщенные уравнения диффузии, а (3.33), (3.50) - как обобщенные волновые уравнения. [c.150]

Общие математические проблемы, связанные с применимостью интегральных преобразований (Фурье-Лапласа) к этим ядрам и решениям динамических задач, возникающих при использовании в их постановке уравнений состояния, содержащих такие ядра, бьши рассмотрены в [48]. В дальнейшем мы будем считать, что все необходимые условия, требующиеся для вьшолнения тех или иных математических операций или преобразований при решении рассматриваемых задач, выполнены, и сосредоточимся на получении конструктивных результатов и анализе их физического смысла. Сразу можно сказать, что функции, входящие в определения интегральных ядер уравнений (в интегро-дифференциальном представлении), построенных в предыдущей главе, удовлетворяют всем необходимым условиям, и некоторые из них встречались ранее в научной литературе, посвященной феноменологическому описанию механики наследственно-упругих тел. [c.153]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

Глава 3. Пропагаторы волн (функции Грина) для обобщенного волнового уравнения с абелевой особенностью наследственного ядра [c.162]

Вычисление пропагаторов волн для уравнений со степенной слабой сингулярностью в ядре наследственности [c.162]

Мы проведем исследование (3.89) для случая простого Абелева ядра, соответствующего в наших обозначениях. Это ядро служит основой для остальных ядер наследственности в уравнениях, введенных в Гл. 1. [c.162]

Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности [c.170]

Прежде чем перейти к интегральным представлениям для функции Грина, соответствующей частному случаю общего выражения (3.89) при ф t) = фa t), обратим внимание на некоторые особые свойства этого варианта наследственного ядра обобщенного волнового уравнения. [c.170]

Для всех Я > О по мере приближения к своему фронту пропагатор бесконечно гладким образом плавно убывает до нуля. Эта особенность поведения решений уравнений в теории наследственной упругости со (слабо-) сингулярными ядрами наследственности была обнаружена достаточно давно. Авторы, рассматривавшие в рамках наследственной упругости задачи о возбуждении переходных волн в наследственно-упругой среде, при использовании ядер наследственности, имеющих интегрируемую особенность, обнаруживали (и доказывали) плавное (бесконечно гладкое) убывание переходной волны по мере приближения к её фронту. В общем случае такие решения строились и вычислялись с использованием асимптотических методов или разложения в ряды по спецфункциям, родственным гипер- [c.171]

Свертка по / любой из функций Грина для уравнений вида (3.76) с наследственными ядрами вида (3.77) и некоторой достаточно гладкой и интегрируемой функцией g( ) в точке х = 0 при всех О О будет удовлетворять условию [c.176]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Введение. Большая часть исследований в области наследственной теории ползучести, берущих свое начало с основополагающих работ Больцмана [540—541] и Больтерра [642, 643], посвящена нестареющим материалам, т. е. материалам, реологические свойства которых описываются ядрами разностного типа. Для этих материалов выполняется условие замкнутого цикла, вытекающее из того, что уравнения теории ползучести с разностными ядрами инвариантны относительно сдвига начала отсчета времени. К упомянутым уравнениям применима алгебра резольвентных операторов, методы преобразования Лапласа — Карсона, предельные теоремы и др. [c.59]

В предыдущем параграфе приведено две формы представления линейных наследственных уравнений. При использовании соотношений (3.39)—(3.42) предварительному экспериментальному определению подлежат мгновенные модули G и К, а также ядра ползучести и релаксации П, U, R, V. Между ядрами ползучести П, и и релаксации R, V существуют интегральные боотношения, с помощью которых одна пара ядер может быть найдена, если из эксперимента установлена вторая. Испытания на ползучесть технически относительно более просты, поэтому в большинстве случаев экспериментально определяют параметры ядер ползучести. [c.82]

В работе Рэду (С. Radu) [436] рассматривается трехслойный материал под действием внешней сдвигающей (сжимающей) силы, лежащей в срединной плоскости одного из несущих слоев. Предполагается, что связующий слой выполнен из наследственного вязкоупругого материала. На основе некоторых упрощающих допущений выведено интегродифференциальное уравнение относительно нормального усилия в несущем слое, которое решается только для частного вида ядра ползучести. [c.12]

В самом деле, мы можем рассматривать ядро полученного интегрального уравнения Вольтерра независимо от дифференциального уравнения (2.1) или от соответствуюш ей ему реологической модели, т. е., иначе говоря, понимать под ядром К (г — х) не сумму конечного числа экспоненциальных функций, а произвольную функцию, зависящую от разности двух аргументов — времени приложения нагрузки т и момента наблюдения t. Эта функция должна удовлетворять некоторым весьма общим условиям, о которых будет сказано ниже. При этом должен только сохраняться общий принцип наложения воздействий, согласно которому деформация, вызываемая суммой напряжений Ао 1 -Ь АсГг, должна быть равна сумме деформаций, вызываемых напряжениями Ао 1 и Ао г в отдельности. Таким путем мы приходим к основному уравнению теории упругой наследственности, которое записывается в одном из следующих видов [c.174]

Теперь функции L (t, х) ж К t, х) уже не являются наследственными функциями влияния, понимаемыми в обычном смысле, так как они входят в уравнение (2.41), которое отличается от уравнения (2.17) дополнительным членом с другим ядром, и если это ядро удовлетворяет условию (2.40) то уравнение (2.41) уже может отразить различие в эффектах нагрузки и разгрз зки, явление виброползучести и некоторые особенности поведения бетона в условиях неоднородного напряженного состояния. В самом деле, из соотношения (2.41) при выполнении условия (2.40) следует, что на последующем изменении полной деформации во времени разгрузка скажется слабее, чем нагрузка с такой же интенсивностью и такой же длительности. [c.188]

Таким образом, и в нелинейной постановке, основанной на физической зависимости (3.14), контактная задача наследственной теории ползу- 1ести сводится к последовательному решению двух связанных между собой интегральных уравнений (3.22) и (3.23). Решение уравнения (3.22) при различных ядрах (3.15) достаточно хорошо изучено (С. В. Александровский, 1966 Н. X. Арутюнян, 1952 И. Е. Прокопович, 1956 Ю. Н. Работнов, 1966 М. И. Розовский,. 1955) поэтому разыскание функции со (ж, t) не встречает затруднений. Решение же интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.23) со слабой особенностью, когда областью контакта между телами является отрезок — а ж а, строится по методу М. Г. Крейна (1954, 1955). [c.198]

Если описывать кривые разложения методами теории наследственности , вместо б-функции следует использовать интегральные уравнения с ядрами, имеющими особенности при Т = T . Интегрирование уравнения в квадратурах возможно лишь в некоторых частных случаях. Так, при m=l,nФlr Q = 0, уравнение (П.28) превращается в уравнение Бернулли , которое всегда может быть сведено к линейному дифференциальному [c.79]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Здесь мы хотим поставить эти исследования на общую математическую основу и распространить их на описание векторных полей в случайно-неоднородных пороупругих средах любой размерности. С помощью фейнмановской диаграммной техники мы выводим усредненные по статистическим неоднородностям определяющие уравнения пороупругой среды. С их помощью показываем, что связь среднего тензора напряжений с усредненным тензором деформаций описывается наследственным уравнением вида (2.230) с ядром вида(/ + Гц), где / - время запаздывания, Гд - малая константа, определяемая радиусом корреляции статистических неоднородностей Величина устраняет расходимости интегралов от ядер релаксации. Как будет показано далее, эта величина связана с характерным пространственным масштабом неоднородности статистической пороупругой среды. Мы ограничимся рассмотрением квазистационарных процессов в пороупругой среде и не исследуем закон дисперсии волн во всей области частот. [c.88]

В случае распространения плоских волн уравнение (3.76) содержит явно только одну пространственную координату, которую можно принять за координату х, и тогда очевидно, что обобщенные волновые уравнения, рассмотренные в предыдущей главе, являются частными случаями уравнений (3.76). Мы видим, что уравнения, предложенные для описания распространения волн в средах, содержащих фрактально распределенные случайные включения, являются частным случаем уравнений распространения волн в наследственно упругих средах. Заметим, что все обобщенные волновые уравнения, введенные в предыдущей главе, с точки зрения наследственной упругости имеют наследственные ядра специаль-ного вида [c.156]

Итак, основным параметром, определяющим поведение решений уравнений для распространения волн в средах, содержащих фрактальные включения (или являющихся агрегатами фрактальных структур) является показатель степени а, характеризующий степенную зависимость от времени наследственного ядра, эффективно описывающего осредненные свойства таких сред. Причем для волновых пакетов (импульсов), спектр которых полностью лежит внутри полосы масштабов самоподобия соответствующей данной среде случайной фрактальной структуре, этот параметр является единственным существенным параметром, определяюпщм процесс распространения таких импульсов, с точностью до масштабного преобразования координат и времени по формулам (3.129)-(3.130). [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...