Особенности комплексного потенциала

Показатель 3 определяется из некоторого характеристического уравнения, которое может быть установлено из анализа сингулярных интегральных уравнений [3151. На основе соотношения (1.69) заключаем, что особенность функций ср (г ) и ср (т]) в точках = dzl такая же, как и максимальная особенность комплексного потенциала напряжений Ф (г) в угловых точках клиновидных областей, на которые разбивается тело ломаной или ветвящейся трещиной. В данном случае [c.61]

Особенности комплексного потенциала 84 Отображение однолистное 37 Отрыв 338. 383 [c.458]

СО скоростью в физической плоскости) имеет вид полукруга, соответствующего одному периоду решетки. В точках, отвечающих бесконечности перед решеткой и за ней (у —сх>) = v vlv - -оо) = v ), располагаются логарифмические особенности комплексного потенциала w (v), вихреисточник и сток с интенсивностями [c.107]

В случае замены границы тела и каверны особенностями типа источников и стоков используют известные из кинематики жидкости формулы для комплексного потенциала и комплексной скорости. Составляют выражение для суммарной скорости, обусловленной скоростью потока, присутствием тела в потоке, а также распределенными по поверхности каверны неизвестными источниками и стоками. С помощью граничных условий на каверне составляют интегральное уравнение для нахождения неизвестной интенсивности особенностей и их распределения по телу и каверне. [c.68]

Комплексный потенциал особенности (источника) определяется [c.159]

Применение конформных отображений области течения позволяет упростить вычисление комплексного потенциала и, в частности, свести расчет периодического течения через решетку к расчету течения в односвязной области. При последовательном применении метода прямая задача сводится к нахождению конформного отображения внешности заданной решетки на особенно простую (каноническую) область, после чего определение комплексного потенциала производится по простым конечным формулам при любых условиях обтекания. В расчете используется тот факт, что при любом конформном отображении внешности решетки из плоскости д на некоторую вспомогательную область в плоскости Z — Z(z) комплексные потенциалы в соответствующих точках равны (с точностью до несущественной постоянной), а комплексная скорость выражается как производная сложной функции [c.65]

Комплексный потенциал W (Zq) в круге представляет собой многозначную аналитическую функцию, за исключением точек Z = q, в которых она имеет особенности логарифмического типа, вихре- [c.78]

Комплексный потенциал И/ = И/( ) вблизи этих точек имеет логарифмические особенности вида [c.109]

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо найти комплексный потенциал (Ve ) в области годографа или же просто потенциал скорости Ф (а) на контуре годографа. Если это не удается сделать непосредственно, область годографа предварительно отображается на какую-либо односвязную каноническую область (круг, полуплоскость или полосу) в плоскости С, после чего комплексный потенциал вычисляется в этой области с известными особенностями, [c.119]

Функция С ( и) регулярна везде в области годографа скорости обычной решетки, за исключением точек, соответствующих бесконечностям плоскости С. В этих точках комплексный потенциал W (V) имеет особенности логарифмического типа [c.137]

Комплексные потенциалы (4) и (5) описывают особенности, связанные с наличием в теле дефекта. Если краевая задача теории упругости решается для тела с дефектами, то вблизи последних комплексный потенциал имеет вид [c.127]

Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение, для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция тока, введенная впервые Лагранжам в 1781 г. кинематическая интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функций— потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции — комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции классических Лекций по математической физике (ч. 1, Механика) Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г. Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным безвихревым движением были изучена некоторые простейшие задачи нестационарного дви кения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.). Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельмгольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди. [c.25]

Если вихрь находится внутри цилиндра, то функция, определенная формулой (8), оказывается непригодной, так как она имеет особенность в области течения в точке 2=0. Однако и в этом случае комплексный потенциал можно получить из теоремы об окружности он имеет вид [c.346]

В предельном случае, когда стенки клина простираются в бесконечность в обоих направлениях (рис. 18,6), можно произвести отражение на обоих прямых участках стенки. Если п = = 2т — четное число, отражение можно повторить, чтобы сделать критическую точку внутренней критической точкой, как в случае сталкивающихся струй, уже обсуждавшихся в п. 6. Особенно простой случай получается, когда прямые стенки исчезают (и = 1, С = —1), чему соответствует комплексный потенциал [c.50]

Теорема 1. Вблизи любой особенности Т =Т в конечной плоскости Т комплексный потенциал W можно написать в виде [c.59]

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда Т = оо отображается на точку, в которой W конечно. Тогда на основании теоремы 1, если просуммировать все локальные особенности, можно установить, что разность /1(7 ) между правой и левой частями соотношения (3.4) (при с = с1 = 0) должна быть аналитической и однозначной функцией, действительной на действительной оси и не имеющей особенностей в (замкнутой) верхней полуплоскости. Согласно принципу отражения Шварца, функция /1(7 ) может быть аналитически продолжена до функции, регулярной на всей конечной плоскости Т. Кроме того, поскольку № (оо) конечно, то функция /1(7 ) ограничена. Следовательно, по теореме Лиувилля [6, т. 1, стр. 153], ЦТ) постоянна. Поскольку комплексный потенциал W определяется с точностью до аддитивной постоянной, утверждение (3.4) теоремы для случая с = й = О доказано. Если же W имеет особенность при Т = оо, мы можем отобразить верхнюю полуплоскость Т саму на себя путем инверсии, использовать только что полученный результат для конечного значения № (оо) и затем вернуться к первоначальной плоскости Т. Это и дает дополнительные члены сТ - йТ в результате инверсии конечной особенности (3.2). Наконец, дифференцируя (3.4), получим действительную рациональную функцию с общим знаменателем Д (Г—Т ) (некоторые множители могут повторяться). Разлагая действительный многочлен в числителе на линейные множители, приходим к (3.5). [c.61]

Рассмотрим теперь комплексный потенциал № (/) = W (I). Отражение особенностей относительно действительной оси дает три сопряженные логарифмические особенности одинаковой интенсивности в точках б , Отражение относительно полуокружности Г (или ее зеркального образа) не дает никаких новых особенностей (рис. 22,6). Суммируя, получаем [c.66]

Используя прежние координаты и считая ширину отходящей струи, равной я (о(=я), находим, что комплексный потенциал W имеет логарифмическую особенность при = [c.69]

Отобразим течение на единичный круг в плоскости параметрического переменного t так, чтобы вихрь V перешел в начало координат, а бесконечно удаленные точки струй /1 и /г — в точки окружности е и е соответственно. Если — интенсивность вихря, то комплексный потенциал имеет в точке = О логарифмическую особенность с коэффициентом - /2т , а в точках ( и е — логарифмические особенности противоположного знака (источник и сток) с коэффициентами ( /1 [й — асимптотическая толщина струй). В результате инверсии относительно единичной окружности вихрь в точке = 0 переходит в равный [c.80]

Комплексный потенциал течения, изображенного на рис. 51, S, имеет особенность в точке S4, где 7г = 1//г на рис. 51, г имеется по особенности на каждой из двух пластин, так что —1//г < 7] < —1, 1 < 7г < 1/й. [c.132]

Внутренние источники и вихри. Простое распространение предыдущих идей позволяет рассмотреть течения, ограниченные двумя пластинами и двумя свободными линиями тока и имеющие внутри точечные источники и вихри Комплексный потенциал (7 ) в этих случаях имеет логарифмические особенности вида = т 1п (7 —Т о) +. .. в точках, в которых помещены источники, и логарифмические особенности = = гт 1п (7 — 7 о) +. .. в точках, в которых помещены вихри [62, гл. 13]. Отражая W относительно действительной оси Т, мы получаем дополнительные члены потенциала W(Т) от [c.157]

I = и = а свободные границы отображаются на действительный диаметр. Бесконечно удаленным точкам струй между кавернами соответствует 2= +оо. Это отображение можно выполнить в два приема. Во-первых, посредством функции е гг/в (3 —разность комплексных координат двух сходственных точек соседних дужек) решетка отображается на односвязную область, граница которой взаимно однозначно соответствует границе одного периода течения, а бесконечность перед решеткой переходит в начало координат. Во-вторых, по известной теореме конформного отображения, полученная область может быть конформно отображена на единичный полукруг с указанным выше соответствием. Комплексный потенциал, очевидно, имеет логарифмические особенности в точках t = t и = О, причем первая соответствует вихреисточнику, а вторая — стоку той же интенсивности. При дифференцировании эти точки становятся [c.188]

Используя результаты предыдущего пункта, можно указать комплексный потенциал, описывающий обтекание раздувающейся (или сжимающейся) окружности потоком, обладающим произвольными особенностями, лежащими вне окружности. Действительно, пусть на границе окружности нормальная скорость будет заданной функцией времени v t), тогда радиус а окружности будет меняться по закону [c.144]

Жуковский предложил строить комплексный потенциал для всей области при обтекании твердого тела, но подбирать особенности так, чтобы образовалась замкнутая линия тока, совпадающая с нашим твердым контуром. Эти особенности называются присоединенными. Комплексный потенциал представляется в виде [c.389]

Пусть точке О отвечает на плоскости ( точка О. Так как О лежит на струе, то О находится на полуокружности в плоскости t, причем в силу симметрии задачи точке О отвечает точка I. Кроме критической точки А, которая переходит в Л ( = 0), мы будем иметь в нашем потоке еще одну критическую точку К (положение ее заранее неизвестно) вне области кавитации. Пусть она переходит в точку К на мнимой оси с координатой =гЛ(0< <1). Наконец, бесконечно удаленной точке С первого листа плоскости г отвечает точка С с координатой с (О < с < й < 1). Пусть отображение дается функцией 2 = / 1). Обозначим, как всегда, w z) = w f t)) = W I) и будем рассматривать (О как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения внутри нашей полуокружности плоскости 1. По особенностям в плоскости 1 легко определить вид функции dW dt. Действительно, в нашем фиктивном течении мы должны расположить особенность типа стока в точке О, особенность типа дублета в точке С, вихрь в точке О точки К и А этого течения, так же как и В, В , должны быть критическими точками. Таким образом, dW dt имеет полюс первого порядка в точке t = i, полюс второго порядка [c.355]

Горизонтально движущаяся особенность постоянной интенсивности. Пусть комплексный потенциал плоского потока имеет вид W = Сд + Wl, где д = п 2 - при я = О, <7 = (7 - при п= 1,2,..., функция, аналитична в окрестности точки тогда в точке 7() = Л() -I- (з>о локализована гидродинамическая особенность порядка п и интенсивности С. Такие особенности интерпретируются как вихри, источники, диполи и т.д. и широко используются при описании возмущений жидкости неоднородностями различной природы. Если точечная гидродинамическая особенность порядка п переменной интенсивности С = С 1) движется по закону 7о = 2о(0 = хо(г) + 1у () в изначально неподвижной и занимавшей всю полуплоскость у < О весомой идеальной жидкости, [c.78]

Решение комплексной задачи повышение эффективности безаварийной работы технического ресурса разветвленных подземных трубопроводных сетей различного назначения требует применения специальных и разнообразных методических подходов. Это связано с тем, что трубопроводы (водопроводы, газопроводы и теплопроводы) испытывают различные режимы эксплуатации и подвергаются соответственно различным видам коррозионного разрушения. Традиционно основным путем защиты от наружной (почвенной, грунтовой) коррозии трубопроводов в городских условиях является катодная защита, а для резервуаров НПЗ и сельских районах, особенно на большом удалении от источника электроэнергии др., преимущественно - протекторная. Трубопроводы городского водоснабжения защищаются от коррозии в основном путем использования катодной электродренажной защиты. В теплопроводах подземной канальной прокладки в основном используется защитное покрытие. В этих сетях наиболее коррозионно-чувствительными является являются компенсаторы тепловых перемещений, которые в настоящее время изготовляются в виде гибкой металлической оболочки из коррозионно-стойкой аустенитной хромоникелевой сталей типа 18-10. Они подвергаются специфическому воздействию паровоздушной среды, насыщенной хлор-ионами и могут быть подвержены так же как и водоводы и газопроводы полю действия блуждающих токов, изменяющемуся по величине и знаку поляризационного потенциала. [c.37]

Рассматривая плоскость комплексного переменного T-ftt, проведем интегрирование вдоль действительной оси плоскости комплексного переменного. В области, где т = — k, обход особой точки сверху, а в области т = -]-/г —снизу. Обход выполняется по контуру малого радиуса (рис. П.4.1). В этом случае при числовом определении интеграла особенности исключаются и с помощью электронно-вычислительных машин можно вычислить потенциал поля точек пространства при тех или иных параметрах излучателя. Для области дальнего поля интеграл (П.4.14) может быть преобразован к более удобному виду. Используя асимптотическое выражение функции [c.236]

В годографе скорости струйного течения границам струй отвечает дуга окружности F F радиуса, равного Уз- Точка, отвечающая бесконечности за решеткой, лежит на этой дуге в конце вектора Уз. Чтобы установить характер особенности комплексного потенциала в этой точке, предположим, что вихресток с интенсивностью Г,2+/<Э2 стремится из области годографа к некоторой точке дуги Р р2- Тогда [c.125]

Интересно отметить, что благодаря счастливой особенности метода годографа скорости в данной задаче построения струйного течения, которое лучше соответствует действительным условиям обтекания, чем рассмотренное выше сплошное потенциальное течение, вычисления оказываются проще отсутствует область двулистности в окрестности второй критической точки вторая особенность комплексного потенциала располагается на контуре годографа, поэтому упрощается расчет потенциала скорости требуется удовлетворять только одному условию совпадения передней критической и нулевой точек наконец, все построенные решетки эквивалентны друг другу, так как они отображаются на одну и ту же каноническую область. [c.128]

Формула (7.1) содержит интегрируемую особенность типа логарифма. Чтобы устранить эту особенность, выразим формулой (7.1) комплексный потенциал равномерного потока со скоростью V = — V(z)= onst [c.49]

Комплексный потенциал W (С) в плоскости отображения С можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого течения, соответствующего обтеканию рещетки. Особенности аналитической функции W (С) располагаются в точках С=0 и i(= o. Чтобы установить характер этих особенностей, заметим, что комплексный потенциал может бь[ть представлен в виде [c.66]

Выбирая точку = О на контуре полученного годографа и располагая внутри него заданные особенности, можно построить соответствующую решетку, которая получается с бесконечно тонкой выходной кромкой профиля и, возможно, с небольшой областью двулистности течения в ее окрестности. Комплексный потенциал течения вычисляется в изображающем круге в плоскости С. В данном случае параметры формы годографа или расположение в нем особенностей следует выбирать так, чтобы выполнялось одно условие совпадения первой критической точки 5 и точки 1/ = 0. [c.123]

Краевые задачи (179) и (180) представляют собой классические задачи Дирихле для внешности разрезов, причем решение этих задач найдем в классе функций, ограниченных на бесконечности и имеющих особенность вида (182) в концах разрезов. Именно к такой математической задаче приводит гидродинамическая проблема обтекания решеток профилей потенциальным потоком идеальной несжимаемой невесомой жидкости [73]. При этом функциям F н G соответствует комплексный потенциал скорости потока жидкости. [c.51]

На рис. 44 приведены также образы рассматриваемого течения в плоскости да комплексного потенциала и плоскости годографа м. Отображение г- по гомео-морфно, а 2— ш имеет ряд особенностей зоны /, III и II2 поступательного движения переходят в точки, зоны 11 и //3 простой волны — в дуги, и лишь зона сложного потока //4, вообще говоря, преобразуется в область. [c.148]

Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была впервые правильно поставлена и решена Л. И. Седовым (1937). Им дан метод решения плоской задачи о глиссировании для любых чисел Фруда. Для больших значений числа Фруда получены асимптотические формулы для формы свободной поверхности и для гидродинамических сил, причем показано, что для больших чисел Фруда влияние весомости жидкости несущественно. Особенностью решения задач с тяжелой жидкостью является то обстоятельство, что в соответствии с граничным условием (5.2) в верхнюю полуплоскость можно путем зеркального отображения продолжить функцию Келдыша / (г). Комплексный потенциал ю (г) продолжается в верхнюю полуплоскость более сложным путем, и поэтому задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости больше не сводится к задаче о крыле. Числовые расчеты по методу Л. И. Седова были выполнены Ю. С. Чаплыгиным (1940). Методом Л. И. Седова был решен также частный пример о глиссировании дужки круга (М. И. Гуревич, 1937). В дальнейшем задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была решена методом Фурье Л. Н. Сретенским (1940) ) и методом решения интегрального уравнения путем разложения решения по малому параметру Н. Б. Ко-чипым (1938). Задачу о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины рассмотрел М. Д. Хаскинд (1943). [c.13]

В более сложном случае сплошного течения комплексный потенциал в концах векторов и Уг имеет логарифмические особенности (вихреисточник и в ихресток) с интенсивностями [c.128]

Основные результаты теории решеток в дозвуковом потоке газа были получены в приближенной постановке Чаплыгина при К = onst. Ю. В. Руднев в 1949 г. обобщил точный метод Чаплыгина на случай произвольной зависимости р = р (р) и таких течений, комплексный потенциал которых имеет особенности внутри области годографа, рассмотрев в качестве примера струйное обтекание решетки пластин. Г. А. Домбровский в 1950 г. разработал метод, основанный на аппроксимации более высокого порядка, вида К = th as (С , — произвольные постоянные), и решил этим методом большое число различных задач, в том числе струйного обтекания решетки пластин (1955, 1964). [c.130]

Каждая электродная реакция имеет свой стандартный потенциал (см. 2.3). Это Потенциал, которглй возникает в условиях, когда все вещества, участвующие в электродной реакции, имеют активности, равные 1. Если расположить электродные реакции в соответствии со значениями стандартных потенциалов, получим злектрохими-ческий ряд напряжений (табл. 2). Металл, которому соответствует относительно высокий стандартный потенциал, например медь, называется благородным металлом. Металл, которому соответствует низкий стандартный потенциал, например натрий или магний, называется неблагородным металлом. Необходимо отмешть, что ряд напряжений применим только для чистых (не окисленных) металлических поверхностей в растворах собственных ионов металла с такими их активностями (концентрациями), для которых действительны стандартные потенциалы. В действительности поверхности металлов часто бывают покрыты оксидом, а активности их ионов в растворе могут существенно отличаться от 1, особенно, когда ионы металла связаны с другими составляющими раствора в так называемые комплексные ионы. Эти обстоятельства могут привести к тому, что измеренное значение потенциала будет очень сильно отличаться от приведенного в ряду напряжений. Если металлы, погруженные в исследуемый электролит, например морскую воду, расположить в соответствии с измеренными электродными потенциалами. [c.15]

Интересные особенности ШЩ) появляются, когда ввиду симметрии из (1. 4) получаются вырожденные состояния. Это особенно актуально, в комплексных соединениях, где даже основные состояния в исходной конфигурации ядер В получаются вырожденными. Рассмотрению адиа-. батического потенциала в таких случаях посвящен целый ряд работ однако они все носят частный характер, т. е. рассматривается взаимодействие определенного вырожденного электронного состояния с конкретными колебаниями в молекуле, имеющей заданную симметричную конфигурацию ядер. Фактически многие из результатов можно получить в общем виде из соображений симметрии. Целью настоящей работы и является рассмотрение адиабатического потенциала на основе теоретиков групповых соображений. При этом рассмотрение будем проводить в два этапа. На первом этапе зададимся колебаниями определенной симметрии и установим принципиально возможные стабильные конфигурации ядер молекулы, а на втором рассмотрим, какие ограничения накладывает симметрия электронного уровня. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...