Уравнение Липпмана-Швингера

Данный результат содержит весьма ограниченную информацию о том, что делается при больших Im X. Однако функция Иоста может быть также найдена с помощью уравнения Липпмана — Швингера для парциальных волн (см. приложение III) [c.122]

Этот метод исходит из уравнения Липпмана — Швингера для полной трехмерной амплитуды Т к к/, кг), заданной вне энергетической поверхности, [c.171]

Обсудим подробно формальные свойства уравнения Липпмана — Швингера для парциальных волн. Определим в соответствии с [18] для вещественных к, к амплитуду вне энергетической поверхности [c.234]

Выведем теперь уравнения Липпмана — Швингера для T(X,k, k). Из уравнения (III.2) с помощью интегрального представления [c.239]

Соотношения (П1.13) эквивалентны интегральным уравнениям Липпмана — Швингера. Легко убедиться, что детерминанты Фредгольма для уравнений (И1.13) совпадают с рассмотренными ранее детерминантами, т. е. с Р К,ц к). Действительно, детерминант Фредгольма инвариантен относительно преобразования эквивалентности, переводящего (П1.2) в (1П.13). [c.240]

Это уравнение (его обычно называют уравнением Липпмана — Швингера) имеет ядро, интегрируемое с квадратом, если потенциал удовлетворяет условию [c.257]

Ядро [] — Иа V уравнения Липпмана — Швингера не сводится к ядру Гильберта — Шмидта даже тогда, когда двухчастичное взаимодействие достаточно хорощее. [c.258]

Таким образом, уравнение Липпмана — Швингера для задачи рассеяния с участием трех и более частиц существенно сингулярно. Вейнбергу [1] удалось найти эффективный способ изучения этого сингулярного уравнения. Он свел его к некоторой системе линейных интегральных уравнений с хорошими ядрами. Мы будем называть ее системой уравнений Вейнберга. [c.258]

Как уже говорилось выше, Вейнберг переформировал уравнение Липпмана — Швингера для для многочастичной задачи, так что к заменяющим его линейным интегральным уравнениям Вейнберга можно применить обычные математические методы теории интегральных уравнений. [c.262]

Ф иг. 2. Диаграммное изображение уравнения Липпмана — Швингера для трехчастичной задачи. [c.263]

Уравнение Липпмана — Швингера для многочастичной задачи легко интерпретировать с помощью диаграмм. Так, например, для трехчастичной задачи (фиг. 2) ядро К уравнения Липпмана — Швингера является суммой диаграмм, изображенных на фиг. 3, [c.263]

Трудности с уравнением Липпмана — Швингера для многочастичной задачи легко понять из диаграмм. Они заключаются в том, что диаграммы для К ) топологически несвязные. Связная диаграмма имеет только одну 6-функцию сохранения полного импульса несвязная диаграмма имеет дополнительные б-функции, гарантирующие сохранение импульса в каждой несвязной части. Так, все три диаграммы для ядра К на фиг. 3 двухсвязные. [c.264]

Можно ли переписать уравнение Липпмана — Швингера в виде системы интегральных уравнений с ядрами, диаграммы для которых только связные Оказывается, можно. [c.264]

Суть проведенной перестройки уравнения Липпмана — Швингера в систему уравнений Вейнберга состоит в том, что теперь ядро 1 ) является хорошим ядром, а именно ядром Гильберта — Шмидта с интегрируемым квадратом. [c.267]

Уравнения (7.11) обычно называют уравнениями Липпмана—Швингера [541]. [c.173]

Уравнения (7.15) и (7.15а) тоже называют уравнениями Липпмана — Швингера. [c.174]

Оно относится также к уравнению Липпмана — Швингера, если при фиксированной энергии положить [c.190]

Подставим теперь уравнение Липпмана —Швингера (7.15) в (8.1) и используем разложение функции Грина (7.24) [c.206]

Для целей настоящего изложения удобно ввести некоторый параметр у, на который умножается оператор взаимодействия Н. Параметр у соответственно имеет смысл интенсивности взаимодействия или константы связи. При этом уравнение Липпмана — Швингера принимает вид [c.223]

Произведем теперь преобразование Фурье уравнений, зависящих от времени, и перейдем к уравнениям Липпмана — Швингера (7.15) и (7.15а). Ситуация здесь является несколько иной, поскольку энергия фиксирована. Связанные состояния оператора Н, вызывающие некоторые затруднения, могут иметь энергии, не совпадающие со значениями энергии, при которых требуется решать уравнение. Поскольку рассматривается случай, когда одна частица рассеивается на неподвижной мишени или во внешнем поле сил, то спектр, соответствующий состояниям рассеяния, или непрерывный спектр, четко отделен от дискретного спектра, или спектра связанных состояний. Нас интересует решение уравнения (7.15) при > О, в то время как связанные состояния лежат в области -< 0. Поэтому не возникает никаких серьезных затруднений в вопросе о существовании и единственности решений уравнения (7.15) [или уравнения (7.11) для функции Грина] либо уравнения (7.47) для оператора Т. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже. [c.253]

Амплитуда рассеяния. Рассмотрим теперь интегральное уравнение Липпмана— Швингера (7.15) в координатном представлении [c.255]

Уравнение Липпмана —Швингера в импульсном представлении имеет вид (ksv р) = (к — Р) + [c.259]

Определитель Фредгольма ядра уравнения Липпмана—Швингера теперь равен [c.260]

Если рассмотреть физически реальный случай столкновения двух взаимодействующих друг с другом частиц (при отсутствии внешних сил) и попытаться применить метод, аналогичный изложенному в гл. 10, 1, п. 1 для рассеяния одной частицы во внешнем поле, то мы сразу столкнемся с трудностями, которые типичны для всех случаев, когда имеется не одна, а несколько взаимодействующих частиц. Если имеется связанное состояние с энергией Есв в системе отсчета, связанной с центром масс, то оно будет проявляться в любой системе отсчета при всех энергиях Е, превышающих св, поскольку разность — Есв может быть просто равна кинетической энергии связанной системы. Из этого следует, что в стационарной теории, фиксируя полную энергию таким образом, чтобы она отличалась от Есв, теперь более невозможно считать связанные состояния безвредными , как в случае рассеяния одной частицы. Для всех энергий Е > Есв однородное уравнение Липпмана — Швингера теперь имеет решение и, следовательно, решение неоднородного уравнения определено неоднозначно. [c.261]

Конечно, это утверждение соответствует лишь тому физическому факту, что при таком взаимодействии сохраняется полный импульс. Ядро, содержащее б-функцию, не может быть вполне непрерывным, и создается впечатление, что использование уравнения Липпмана — Швингера становится затруднительным. [c.261]

Обратимся к уравнению Липпмана — Швингера (10.10) и допустим, что взаимодействие описывается локальным потенциалом, не зависящим от спина [c.264]

К 2. Отмеченные здесь специфические трудности, с которыми встречаются при использовании уравнения Липпмана — Швингера для случая, когда изучают рассеяние [c.278]

Подставив все эти разложения в интегральное уравнение Липпмана — Швингера (10.58), воспользуемся ортогональностью сферических функций и инвариантностью потенциала V относительно пространственных вращений. Сравнивая почленно ряды, возникающие в левой и правой частях, для получаем линейное интегральное уравнение [c.281]

Оператор Т. С помощью той же методики уравнение Липпмана — Швингера (7.47) для оператора Т [c.300]

Тождество (12.43) позволяет получить другие представления для функции Поста, основанные на соответствующих представлениях для А, приведенных в гл. 9, 3. Запишем ядро уравнения Липпмана — Швингера (11.7) при / = О в явном виде [c.321]

Количество полюсов или нулей, конечно, не уменьшится, если у" заменить на —и. Число связанных состояний для потенциала —и равно числу т тех собственных значений а ядра К радиального уравнения Липпмана — Швингера (с потенциалом — 7), которые при Е О находятся вне единичного круга (гл. 9, 1, п. 1). Это обусловлено тем, что при уменьшении энергии, начиная с Е = О, полюсы должны двигаться влево вдоль действительной оси и при некоторой энергии пройти через точку а = 1. Каждое такое прохождение соответствует одному связанному состоянию. [c.333]

Виртуальные состояния. Если не требовать, чтобы потенциал удовлетворял более жестким условиям, чем (12.9) и (12.21), то мы ничего не сможем сказать о распределении нулей функции f в нижней полуплоскости к. Если потребовать, чтобы потенциал удовлетворял более сильному условию (12.20), то станет доступной полоса шириной а. Допустим, что потенциал убывает даже быстрее, чем любая экспонента, так что [ будет регулярной на всей /г-плоскости. Из представления (9.22) полной функции Грина через собственные значения а ядра К радиального уравнения Липпмана — Швингера можно немедленно получить информацию относительно виртуальных состояний. Используя представление функции Грина (9.22) и уравнение (9.18), получаем следующее решение интегрального уравнения (11.7) (здесь мы используем смешанные обозначения, рассматривая как абстрактные векторы состояний, так и радиальные волновые функции в координатном представлении) [c.334]

Рассуждения, подобные приведенным, можно использовать, чтобы определить, каким ограничениям должны удовлетворять собственные значения а = у ядра GF радиального уравнения Липпмана — Швингера. При положительной энергии в силу (12.120) имеем [c.343]

Движение полюсов функции равным образом можно рассматривать с точки зрения поведения собственных значений а ядра радиального уравнения Липпмана — Швингера. Уравнение [c.352]

Подобным же образом следует видоизменить неравенство (12.121). Л именно, при >0 все собственные значения а ядра уравнения Липпмана— Швингера должны подчиняться неравенству [c.353]

ТО НИ одна из траекторий а не может выйти за пределы единичного круга и, следовательно, борновский ряд для полной амплитуды рассеяния сходится это обусловлено тем, что спектр ядра полного трехмерного уравнения Липпмана — Швингера оказывается суммой спектров ядер радиальных уравнений Липпмана — Швингера. [c.363]

Пусть ядро К уравнения Липпмана — Швингера имеет конечное число не равных нулю собственных значений Каков характер взаимодействия [c.371]

В п. 2 этой статьи на простом примере вскрывается физическая природа сингулярностей и выясняется их структура. Оказывается, что за сингулярности ответственны слагаемые потенциала взаимодействия, связывающие неполное число частиц системы (явление свободного пролета ). Можно было бы поэтому думать, что сингулярности представляют собой столь же серьезную трудность для ЭКС-метода, как и имеющий то же происхождение нефредгольмовский характер ядра для метода, основанного на уравнении Липпмана-Швингера. Однако систематическое построение аппарата ЭКС-метода применительно к процессам общего вида, составляющее содержание пп. 3 и 4, показывает, что сингулярности не только не препятствуют формулировке последовательной схемы, но, напротив, служат фактором, ведущим к ее упрощению. Это проявляется, в частности, в том, что при описании неупругих переходов можно перейти от самих матричных элементов потенциала к их вычетам в точках сингулярности, прямо связанным с амплитудами переходов. При этом соответствующие дифференциальные по константе связи уравнения превращаются в алгебраические. Предлагаемая схема иллюстрируется в п. 5 на простом примере квазидвухчастичной системы, состоящей из частицы и связанного комплекса, обладающего несколькими уровнями возбуждения. [c.311]

В предыдущей главе было показано, как аналитические свойства амплитуды рассеяния могут быть получены из рассмотрения волнового уравнения в координатном пространстве. В основу всего рассмотрения можно также положить уравнение Липпмана — Швингера в импульсном пространстве, тогда окончательные результаты можно получить даже более просто. Уравнение Липпмана — Швингера для парциальных волн весьма эффективно при изучении асимптотического поведения вдоль мнимой оси Я (см. гл. 8). Возможно, что это вообще единственный путь получения такого рода информации. В настоящей главе будет рассматриваться главным образом уравнение Липпмана — Швингера для полной амплитуды . изучение этого уравнения служит первым шагом в доказательстве представления Мандельстама. [c.170]

Уравнение Липпмана — Швингера для Л -частич-ного рассеяния с существенно отличается [c.258]

Как мы только что видели, полюсы S-матрицы играют особую роль. Если на потенциал наложить достаточно сильные требования, чтобы все полюсы функции 5 на физическом листе определялись только нулями функции f, то эти полюсы обозначают связанные состояния. Полюсы на втором листе функции 5, если они расположены достаточно близко к положительной действительной полуоси, могут интерпретироваться как наблюдаемые резонансы. Оставшиеся полюсы функции 5 на втором листе, если они находятся на отрицательной действительной полуоси, иногда называют виртуальными, или же антисвязанными, состояниями. Согласно (12.74), каждому полюсу 5 на втором листе соответствует свой нуль функции S на первом листе. Поэтому, вообще говоря, лшжно ограничиться изучением функции S, заданной только на физическом листе, обращая при этом, конечно, внимание и на ее полюсы, и на нули. Допуская, что константа взаимодействия у может принимать комплексные значения, видим, что нули функции f являются характеристическими значениями ядра радиального уравнения Липпмана — Швингера и, следовательно, они определяют свойства сходимости борновского ряда для S. [c.332]

Траектории собственных значений а. Чтобы установить свойства сходимости борновского ряда для 5, при заданной энергии в функции от I, расслют-рим зависимость от I собственных значений а, ядра (12.149) радиального уравнения Липпмана — Швингера. С изменением I собственные значения а, движутся по некоторым траекториям в комплексной а-плоскости. При значениях I, для которых все собственные значения а находятся внутри единичного круга, борновский ряд для функции 5, сходится. Если при данной энергии ни одна из траекторий а не выходит за пределы единичного круга, то борновский ряд для любого 5 сходится. Предположим, что потенциал аналитичен (с индексом а = /оп) и подчиняется условию (12.118). Тогда, согласно неравенству (12.170), всегда существует конечный угловой момент [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...