Граничные условия в задачах третьего рода

Заметим, что при решении задач о распространении тепла в условиях стационарного режима (глава X) нами были использованы граничные условия первого и третьего рода. [c.310]

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе 2 ([—1, 1]). Полагая, что система т является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса Во, если на его поверхности о задана температура как функция сферического угла 9. На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности 8о задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты Сп, содержащиеся в т , и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью 2 -польного теплового источника. [c.267]

На первой стадии распределение температуры в топливе находится из решения классической задачи нестационарной теплопроводности для полуограниченного твердого тела при граничном условии второго или третьего рода. При граничном условии второю рода для осредненной во времени величины теплового потока q распределение температуры в заряде выражается формулой [c.282]

В монографии излагается приближенный метод расчета процессов теплопроводности, основанный на предварительном исключении из соответствующих дифференциальных уравнений теплового баланса одной или нескольких независимых переменных (например, пространственных координат). Этим методом решены задачи с граничными условиями первого, второго, третьего и четвертого рода, т. е. все основные задачи теории теплопроводности (в том числе рассмотрены процессы распространения теплоты в телах сложной конфигурации, а также в телах, где имеет место изменение агрегатного состояния вещества). Особенностью метода является его исключительная простота (при решении задач приходится использовать лишь хорошо известные табличные интегралы). [c.2]

Основное внимание в настоящей главе уделим третьей краевой задаче, так как реализация граничных условий I и II рода, точно так же, как и в случае задачи стационарной теплопроводности, ничем не отличается от реализации их при моделировании линейных задач. Решению же задач теплопроводности с граничными условиями [c.127]

В результате задача сводится к интегрированию уравнения для эквивалентной пластины с переменными коэффициентами и функцией распределенного источника теплоты, а также с заданием граничных условий на ее противоположных поверхностях. Граничные условия в общем случае формулируются как функции времени и для каждой стороны пластины могут быть первого, второго или третьего рода, т. е. задано изменение либо температуры поверхности, либо плотности теплового потока, либо температуры окружающей среды (теплоносителя) и коэффициента теплоотдачи во времени. [c.191]

Граничные условия для задачи теплопроводности определяются следующим образом. На части границы L, задается тепловой поток, на границе La— условия теплообмена третьего рода (температура среды Too (L) и коэффициенты теплообмена а (L)). На части границы L , где может быть внедрение штампа, коэффициент теплообмена задается зависящим от контактного давления с помощью кусочно-линейной зависимости. Причем в случае отсутствия контактных давлений коэффициент теплообмена может резко изменяться. [c.89]

Применяя для данной задачи третий род граничных условий и имея в виду, что = — tp, согласно уравнению (1.7) [c.38]

Исследованию задач управления упругими колебаниями посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий. В предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и третьего рода, а также смешанных краевых условий, т. е. когда на границе заданы краевые условия разных родов. [c.3]

Условие (2.29) иногда называют граничным условием третьего рода или импедансным граничным условием. Для задачи об отражении плоской волны переход от двух граничных условий к одному не имеет особой важности, так как формула (2.15), подученная довольно простым способом, справедлива и без ограничения постоянства 2 . В более сложных дифракционных задачах, когда граница или фронт волны не плоские, переход к импедансному усло-пю иногда может сильно упростить задачу. [c.13]

Следует отметить, что в настоящее время большинство задач по определению температурного поля в конструкции при конвективном теплообмене решается при граничных условиях третьего рода, т. е. с использованием коэс[к )ициента теплоотдачи а. При строгой постановке такой метод (использование а) возможен при стационарном (постоянном по времени) тепловом потоке с поверхности тела, температура которого не зависит от пространственных координат. Использование метода в условиях, отличных от указанных, приводит к ошибкам. Установлены пределы применимости метода (а) определения температурного поля в конструкции, взаимодействующей с потоком теплоносителя. Решение сопряженных задач связано с большими математическими трудностями. Поэтому выбор метода решения (с использованием граничных условий третьего или четвертого рода) зависит от содержания конкретной задачи. [c.298]

Охлаждение (нагревание) шара. Граничные условия третьего рода. Математическая формулировка задачи охлаждения шара радиусом г состоит в следующем. Дифференциальное уравнение теплопроводности шара в сферических координатах запишется [c.152]

Граничное условие третьего рода щироко используется на практике. В задачах теплопроводности при условии аД оо, соответствующем условию Bi = (а/)Д -> со, граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода. При теплообмене большой интен- [c.179]

Рассмотрим аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности на примере охлаждения (нагревания) неограниченной стенки (пластины) при граничных условиях третьего рода (рис. 14.2). В начальный момент времени (т == 0) температура в пластине распределена равномерно и равна t . Заданная температура окружающей среды < /д, теплообмен на обеих сторонах пластины происходит при постоянном заданном коэффициенте а. Известны также постоянные физические параметры пластины с и р. Полагаем, что размеры пластины вдоль осей Оу и Ог настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. [c.178]

Решение поставленной задачи состоит в последовательном вычислении коэффициентов прогонки ( и с ], ] по , Р с определением неизвестных температур по уравнению (2.39) в обратном порядке. Например, если необходимо определить температурное поле в неограниченной плоской стенке, состоящей из слоя изоляции ( ) и тонкого металлического слоя (5 ), при переменных граничных условиях третьего рода (рис. 2.3), то систему неявных конечноразностных уравнений можно представить в виде [c.90]

Для аналитического определения температурного поля в стенке трубы при ее охлаждении водой необходимо решить уравнение нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода Наиболее часто при расчетном определении нестационарных температурных полей в телах применяется решение задачи теплопроводности в виде бесконечных рядов Фурье. При быстром изменении температуры металла и высоких тепловых потоках, как это имеет место в стенке трубы в цикле водной очистки, для получения необходимой точности решения уравнений теплопроводности приходится учитывать большое количество членов указанного ряда. Расчеты затруднены и тем, что в справочниках обычно приводится не более шести первых корней характеристического уравнения теплопроводности. [c.205]

Параметр — величина, сохраняющая постоянное значение лишь в условиях данной задачи, в других же случаях могущая иметь различные значения. В число таких параметров непременно входят характерные размеры тела, его коэффициент температуропроводности и значения температур в начальный момент времени и на границах тела. При задании граничных условий третьего рода параметрами искомой функции являются также коэффициент теплоотдачи и коэффициент теплопроводности. Наконец, если процесс имеет периодический характер, то параметром решения должно служить еще некоторое характерное время, например длительность одного периода. [c.45]

В заключение отметим, что задачи при граничном условии третьего рода для цилиндрических и шаровых тел решаются совершенно таким же о бразом, как и для плиты. Необходимые расчетные формулы легко могут быть получены с помощью изложенных выше рецептов. [c.126]

Для проектировочных расчетов теплоизоляции в нестационарных условиях физическая модель процесса может быть еще упрощена. Если учесть, что теплопроводность и температуропроводность первого слоя значительно выше, чем второго, то рассматриваемая задача может быть сведена к задаче теплопередачи в однослойной стенке. Действительно, вследствие высоких теплопроводящих свойств материала первого слоя градиенты температуры в нем будут малыми и распределение температуры можно не учитывать, а принять ее равной температуре раздела слоев. В этом случае физическая модель состоит из одного второго слоя, а наличие первого слоя следует учесть в граничных условиях третьего рода. Математическое описание процесса теплопередачи в данном случае имеет вид [c.33]

Задача по определению нестационарного пространственного температурного поля в различных твердых телах относится к числу сложных в связи с тем,что известный математический аппарат не дает возможности получить решение уравнения теплопроводности при произвольных начальных и несимметричных граничных условиях третьего рода. В практике обычно задача усложняется тем, что и температура окружающей среды, и коэффициенты теплоотдачи между средой и телом в процессе передачи тепла изменяются, причем эти изменения зачастую происходят по сложным закономерностям. Кроме того, теплофизические параметры теплопроводящей среды также изменяются в процессе теплового воздействия, а среда является анизотропной. [c.296]

Решение конкретных задач сводится к перемещению счетно-решающего элемента по точкам пространственно-временной области [Л, 7]. С помощью нуль-индикатора напряжение, получаемое в его узле, переносится на измерительный потенциометр. Результат одновременно записывают на бумагу. Когда счетно-решающий элемент находится на границе области, то в случае граничных условий первого рода с помощью делителя к граничной точке подводится известное напряжение, пропорциональное температуре поверхности. В случае граничных условий третьего рода напряжение к граничной точке подводится через дополнительное сопротивление. [c.344]

Так, в рассмотренной выше задаче о тепловых потерях трубопровода, заложенного в грунт, нет возможности просто суммировать термическое сопротивление грунта, вычисленное по формуле (7.114), с термическим сопротивлением воздуха над грунтом. Действительно, при конечном значении а меняется термическое сопротивление собственно грунта, так как его поверхность перестает быть изотермической. Кроме того, неясно, как вычислить собственно внешнее термическое сопротивление, когда поверхность грунта бесконечно велика. В то же время точное решение уравнения теплопроводности с граничным условием третьего рода существенно сложнее, чем в рассмотренном случае задания граничного условия постоянной температуры контура. В подобных случаях оказывается возможным удовлетворительно учесть конечную величину а путем введения в расчетную формулу, полученную для случая а = оо, линейного размера системы, увеличенного на толщину дополнительной стенки б. [c.98]

Вообще говоря, граничные условия первого рода являются частным случаем более общих граничных условий третьего рода. Если значения коэффициентов теплообмена и массообмена или соответствующие им критерии Био стремятся к бесконечности, последние превращаются в граничные условия первого рода. Однако имеется ряд задач, связанных с переносом тепла и вещества, для которых характерны только граничные условия первого рода, например тепло- и массоперенос в изолированном теле.. В этом случае на тепло-и массоперенос накладывается дополнительное условие — постоянство значения интегрального потенциала массопереноса, а для влажных тел — постоянство среднего массосодержания. Для одномерных классических тел это условие можно записать в следующем виде [c.115]

В этом параграфе мы рассмотрим ряд решений системы уравнений тепло- и массопереноса для неограниченной пластины (Г=0) при различных видах граничных условий третьего рода. Безразмерный поток вещества на поверхности тела во всех задачах будем считать неявной функцией времени. Начальные условия примем функциями координат Т Х, 0) =р1(Х) и 0(Х, 0) =р2(Х). Последнее приводит к необходимости записи безразмерных потенциалов переноса в виде [c.246]

Распространение метода линеаризации на модели, выполненные из электропроводной бумаги, позволяет решать нелинейные задачи теплопроводности для сложных конструктивных элементов на простых, широко распространенных и доступных интеграторах типа ЭГДА. Исследование теплового состояния охлаждаемой лопатки газовой турбины позволило проверить методику в довольно сложных условиях, когда модель представляла собой многосвязную область с нелинейными граничными условиями третьего рода. [c.99]

Прокофьев В. Е. Исследование и разработка методов и аппаратуры автоматизации процесса решения на электрических моделях задач теплопроводности с переменными граничными условиями третьего рода. Канд. дис., Харьков, 1968. 196 с. [c.244]

В задаче (4.13), (4.14) используются и начальные, и граничные условия. Такие задачи называют начально-краевыми или смешанными (их называют также нестационарными, поскольку искомая величина и есть функция времени). При этом, если в начальнокраевой задаче используется краевое условие I (П или П1) рода, то ее называют первой (второй или третьей) начально-краевой задачей. [c.126]

При решении неизотермических задач в их математической постановке наряду с уравнетием (1.4.61) рассматриваются температурные кра ые условия. В зависимости от типа решаемой задачи это могут быть граничные условия первого, второго, третьего или четвертого рода, рассматриваемые для нестационарных задач вместе с начальными температурными условиями. Последние, как и ранее, означают распределение рассматриваемого параметра, в данном случае - температуры, в начальный момент времени [c.134]

Учет краевого условия второго и третьего рода осуществляется дополнительными слагаемыми непосредственно в билинейной форме и функционале (см. п. 1.1.4) и здесь не возникает вопроса о наложении дополнительных условий на базисные функции. Поэтому при использовании изопара-метрической аппроксимации области алгоритмическое отличие от главного краевого условия состоит в применении квадратурных или кубатурных формул для вычисления граничных интегралов. Участки границы Г заменяются на аппроксимирующие их многообразия из Г ,. Теоретическое обоснование точности снова з тывает изменение области, погрешность численного интегрирования и опирается на теорему 3.9. В итоге оно, в принципе, мало отличается от приводимого для первой краевой задачи и дает аналогичный результат, описывающий точность получаемого приближенного решения А именно, при изопараметрической аппроксимации области выбор на Гй квадратурных формул подходящей степени приводит к такому же порядку точности приближенного решения м , как и при точном интегрировании по Г. [c.115]

Здесь В определяется из того же выражения (5.24), что и в задаче при граничных условиях третьего рода. Собственные значения Мл =п-п, п = 1,2,3,..., являются корнями характеристического уравнения sinp= О, [c.104]

При решении сопряженных задач механики реагирующих газов приходится преодолевать многочисленные математические трудности. В частности, уравнения описывающие состояние газовой и конденсированной фаз, имеют различную структуру, а иногда применяется и другой тип уравнений. Например, уравнения пограничного слоя имеют параболический тип, а уравнения теплопроводности г твердом теле для стационарного случая — эллиптический тип. Поэтому при решении задач конвективного теплоебмена часто используют понятие коэффициента теплообмена а и граничные условия третьего рода. При этом используют следующую схему решения задач конвективного теплообмена [c.214]

В работах А. В. Лыкова (см. [25]) показано, что в ряде случаев применение граничных условий третьего рода для задач конвективного теплообмена инертных тел с инертными газовыми потоками приводит к отрицательности коэффициента а, что противоречит физическому смыслу этой величины. Иными словами, в этих случаях задачу конвективного теплообмена недопустимо решать в раздельной простановке, так как это приводит к парадоксальным результатам. Аналогичный вывод на основании анализа ряда задач механики реагирующих газов содержится в книгах [4, 26, 27]. Поэтому любую задачу механики реагирующих газов целесообразно первоначально ставить как сопряженную. [c.215]

Перейдем к методике составления программ численного решения одномерных нестационарных задач. Рассмотрим в качестве примера программу для решения по неявной схеме нестационарного уравнения (3.49) для стержня с боковым теплообменом при av = = onst с граничными условиями третьего рода (3.2) и начальным условием (3.3) при То = onst (рис. 3.8). [c.99]

Если экспериментально (или теоретически из решения трехмерных задач) будут шйдены эмпирические зависимости (1.102), (1.105) или (1.104), (1.107), то применение одномерного подхода для проведения инженерных расчетов нестационарных тепловых процессов будет таким же эффективным, как и для стационарных процессов. В этом случае решение нестационарной задачи теплопроводности (1.63) с граничными условиями третьего рода [c.42]

Сказанное иллюстрируется, например, в связи с выражениями (3-10). В задачах теплопроводности число Bi = aL/>. всегда представляет собой критерий подобия, так как оно выражает граничные условия (если последние относятся к третьему роду). Число qvUj Kba служит критерием подобия, если по условию задаются две температуры, и это же число становится просто зависимой переменной, если по условию задается только одна температура. Что касается числа Ро, то применительно к апериодическим случаям оно представляет собой текущее время, т. е. к категории критериев подобия не относится. Однако в периодических процессах теплопроводности, когда существует естественный масштаб времени — длительность одного периода, — число Фурье представляется в виде Fo = flir,ep/j и оказывается критерием подобия, текущее же время выражается отношением с/тп .р. Впрочем, ничто не мешает приводить текущее время к виду В таком случае [c.71]

Условия нагрева тела, которые могут быть охарактеризованы уравнениехМ (244), встречаются на практике наиболее часто. Именно в такой форме оценивается интенсивно сть теплообмена при нагреве и охлаждении элементов различных энергетических устройств, трубопроводов, сооружений и т.п. Поэтому решение задач для граничного условия третьего рода представляет особенно большой интерес. [c.106]

Постановка задачи. Рассмотрим процесс затвердевания плоского тела. Для шростоты предположим, что начальная температура тела равна В этих условиях толщина тела роли не играет, так как за пределами глубины g затвердевшего слоя температура тела имеет неизменное значение (тепловые потоки в этой зоне отсутствуют вследствие равенства нулю температурного градиента). Итак, плоское тело толщиной 2Хо подвергается омаждению с коэффициентом теплообмена а температура окружающей среды равна (граничное условие третьего рода). Требуется найти температурное поле тела и количество передан- ной теплоты для любого момента времени. [c.136]

Постановка задачи. Даны термофизические коэффициенты и размеры цилиндрического тела (радиус цилиндра равен о). Известно , что в момент т = То толщина затвердевшей корки Затвердевание рассматривается как процесс, происходящий при постянной температуре окружа1Ющей среды С коэффициентом теплообмен а а (граничное условие третьего рода). [c.152]

Постановка задачи. Дан полый цилиндр конечных размеров с внутренним радиусом п, наружным Гг и длиной L с известным начальным распределением температуры / (г, ф, z). В начальный момент времени в цилиндр подается горячая среда с тем-ператзфой Гг, которая может быть постоянной или изменяться во времени, наружная и одна торцевая поверхности цилиндра охлаждаются средой с температу-рамн Гп и Тв.т соответственно. При этом Тг>Тв и Тг>Тв.т, а также Т в Т в.т- Другая торцевая поверхность цилиндра теплоизолирована. Теплообмен стенки цилнндра со средами происходит согласно граничным условиям третьего рода. При этом имеет место несимметричный теплообмен как в радиальном, так и в осевом направлениях, коэффициенты теплоотдачи стенки с горячей ар и холодной Ов и Ов.т средами различны т. е. аг=г=авФо.в.т. Кроме того, они в общем случае могут изменяться в процессе теплопередачи. [c.40]

Рассмотренная сетка для численного интегрирования уравнения (2-9-9) удобна, когда задача решается при граничных условиях первого рода в этом случае граничные прямые х = 0 и х=Ь принадлежат самой сетке. Если уравнение решается при гра1ничных условиях третьего рода (т. е. задано значение потенциала среды), практика вычислений и теоретические исследования показывают, что для повышения точности определения потенциала на границах следует В Водить дополнительные узловые точки, лежащие вне изучаемой области. Например, решая уравнение (2-9-9) при граничных условиях [c.88]

Переработаны и дополнены разделы Теплопроводность и Конвективный перенос . При решении задач конвективного teплooбмeнa автор вместо граничных условий третьего рода применяет граничные условия четвертого рода. Теплоперенос в жидкости во всех случаях рассматривается во взаимосвязи с переносом теплоты в стенке твердого тела. [c.3]

Устройство (рис. 46, а) состоит из функциональных формирователей ФФ1 и ФФ2, БУмн и двух стабилизаторов тока СТ1 и СТ2. При решении задачи на универсальной сеточной модели УСМ-1 УЗПГУ может быть собрано на базе имеющихся на УСМ-1 блоков ФФ и ГУ-11 с добавлением БУмн. Такой подход к реализации граничных условий рационален еще и потому, что обычно при решении третьей краевой задачи каналы ГУ-11 на УСМ не используются, а применяемая схема задания граничных условий III рода на УСМ-1, когда термическое сопротивление моделируется электрическим сопротивлением Ra, не позволяет непрерывно учитывать изменение < =/(т)- К тому же использование в качестве Ra сопротивлений сетки уменьшает полезную площадь модели. [c.138]

ВОЗМОЖНОСТЬ решать нелинейную задачу (см. параграф 3 гл. XIII). Во-вторых, в качестве пассивной модели вместо R- er-ки используется С-сетка, что позволяет решать задачу нестационарной теплопроводности. В-третьих, для осуш,ествления на модели переменных во времени граничных условий, а также для задания изменяющейся во времени функции 0, с которой сравниваются потенциалы, полу-чаюш,иеся в узловых точках модели, вместо ПДН используются ФФ и блоки граничных условий I рода ГУ-1. Эти блоки обычно входят в комплект / С-сетки (см., например, [223]). Решение задачи происходит аналогично тому, как это описано в параграфе 3 данной главы. Только на индикаторе С-сетки регистрируются изменения коэффициента теплообмена во времени. [c.176]

В большинстве методов опыт начинается при равномерном начальном распределении температуры внутри образца. Основные задачи этой группы рассмотрены А. В. Лыковым [25. В частности, им подробно изучены закономерности разогрева (охлаждения) пластины, цилиндра и шара при простейших граничных условиях первого, второго и третьего рода (см. 2, 3, 4 в гл. 5 и 1, 2, 3 в гл. 7 монографии А. В. Лыкова Теория теплопроводности , 1967 г.). Указанные аналитические соотношения дают возможность рассчитать перепад температуры внутри тела на любой стадии разогрева и по степени отклонения этого перепада (R, т) от квазистационарного (R, оо) = рдг (R) анализировать длительность Трег начальной стадии теплового процесса. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...