Линеаризация геометрическая

Линеаризация геометрически нелинейных уравнений основана на пренебрежении удлинениями, сдвигами и углами поворота по сравнению с единицей. [c.38]

В том случае, когда повороты элементарных объемов тела намного превышают величины удлинений и сдвигов, линеаризация геометрических зависимостей оказывается невозможной и соответствующая задача механики является существенно нелинейной. Тонкостенные конструкции, обладающие таким свойством, относятся к категории гибких тел. [c.99]

Проведем линеаризацию геометрических соотношений (2.7.1) в окрестности начального состояния (2.8.1). Ненулевые скорости деформаций 1 t = to согласно соотношениям (2.7.1), (2.7.2) примут вид [c.51]

Для оценки температурных полей в геометрически сложных областях в последнее время часто применяется метод конечных элементов /1-5/. Можно отметить два подхода к решению нелинейной задачи теплопроводности. Первый из них заключается в предварительной линеаризации нелинейного уравнения теплопроводности с помощью метода оптимальной линеаризации /57 или метода Ньютона - Рафсона,я к линейному уравнению применяется процедура метода конечных элементов (МКЭ). Второй подход заключается в построении решения с использованием МКЭ дня нелинейной задачи в случае "слабой" нелинейности /зу или использовании итераций дня учета нелинейности /5,4/. [c.133]

Заметим, что линеаризация уравнения (или системы уравнений) предусматривает то, что механическая система, которой отвечает уравнение (система уравнений), геометрически неизменяема. При этом условии смещения, в частности, узлов и деформации (удлинения или укорочения) элементов системы имеют один порядок величины. При таком условии потенциальная энергия деформации, возникающая вследствие смещений, отлична от нуля. Если же деформации элементов имеют более высокий порядок малости, чем смещения, или вовсе равны нулю, то система является соответственно особой (мгновенно изменяемой или мгновенно жесткой) или изменяемой. [c.307]

Существующие классификации нелинейных задач тесно связаны с характером геометрических допущений, принимаемых при формулировке приближенных нелинейных теорий оболочек. В зависимости от порядка величин деформаций и углов поворота, а также соотношения между ними, уравнения нелинейной теории могут допускать существенные упрощения, вплоть до их полной линеаризации. Различные варианты подобных упрощений при изучении деформаций гибких тел предложены В.В. Новожиловым [26]. [c.137]

Геометрически трещина представляет собой две невзаимодействующие поверхности, отстоящие одна от другой на величину упругих смещений. Последние возникают от внешней нагрузки, которая поддерживает трещину в раскрытом состоянии. При этом конфигурация трещины определяется формой обеих поверхностей трещины и областью, ограниченной линией их пересечения. В то же время для упрощения задачи считают, что взаимное расхождение противоположных сторон трещины достаточно мало для геометрической линеаризации, т. е. для того чтобы граничные условия с поверхности трещины отнести [c.24]

В работе [138] установлено, что возможность линеаризации первых двух групп формул определяется чисто геометрическими факторами относительной величиной удлинений, сдвигов и [c.281]

Возможность линеаризации кинематических формул определяется теми же условиями, которые приведены выше, т. е. чисто геометрическими факторами. По последовательность упрощений нелинейных формул для слоя другая, чем в теории оболочек. Здесь поперечные сдвиги и повороты одного порядка и обычно существенно больше удлинений. [c.281]

Возможность линеаризации уравнений равновесия зависит не только от деформаций и поворотов, но и от механических свойств материала — отношения модулей сдвига и объемного сжатия. Изотропный материал при деформации проявляет ярко выраженные анизотропные свойства. Дополнительным к геометрическим факторам условием линеаризации является относительное приращение объема и первый инвариант тензора деформаций должны быть малы по сравнению с отношением обобщенных модулей сдвига и объемного сжатия. [c.282]

Выражение (2.84) используется не только для линеаризации истинных ИСТОЧНИКОВЫХ членов, оно оказывается полезным при реализации областей нерегулярной геометрической формы. Это нестандартное использование источникового члена будет описано ниже (см. 7.6). [c.53]

Линеаризация соотнощений (4.37), (4.44) приводит к следующим зависимостям, содержащим накопленные величины геометрических параметров, компонент тензора напряжений, толщины и их приращения [c.152]

Вследствие линеаризации электрооптического эффекта зависимость Fx/a от геометрических размеров кристалла [c.93]

При решении вопроса об устойчивости системы в условиях ползучести выделяется некоторый класс возмущенных решений, на основе исследования поведения которых судят об интервале устойчивости невозмущенного движения. В некото-шх работах вместо этого вопроса рассматривается другой 126, 129]. Возмущенное решение само рассматривается как основное движение и исследуется поведение некоторых возмущений уже по отношению к этому движению. Но следует иметь в виду, что из-за существенной физической, а в ряде случаев и геометрической нелинейности рассматриваемых задач и ограниченных возможностей линеаризаций такое исследование по отношению к основному исходному движению должно при правильной постановке вопроса сводиться к исследованию возмущенных решений, обусловленных более широким классом возмущений. [c.292]

Все три вычислительные приема применяют при расчете надежности конструкции. Однако удобство использования конкретного приема зависит от поставленной задачи. При проектировочных расчетах, связанных с подбором геометрических размеров деталей и материала для обеспечения заданной механической надежности, можно рекомендовать метод линеаризации. [c.318]

Излагаемый метод исследования вынужденных колебаний нелинейных автоматических систем отличается от метода гармонического баланса в принципе только тем, что вместо обычной применяется уточненная линеаризация. Этот метод является графоаналитическим и базируется на геометрической интерпретации, предложенной Р. В. Беляковым в работе [3]. [c.217]

Поскольку рассматривается форма равновесия, смежная с исходной (исследуемой на устойчивость), постольку решение основывается на предположении о сколь угодно малых величинах отклонений системы от исходной формы равновесия (геометрическая линеаризация задачи). [c.11]

Геометрически коэффициент к есть крутизна кривой в точке О (тангенс угла ее наклона по отношению к оси х). Иногда вместо касательной применяют при линеаризации секущую с определенной постоянной крутизной к. Этот метод невозможно использовать для функций, имеющих разрыв в точке О, налример для функции Р. (5х), описываемой формулой (И 1.47). Поэтому разрывные функции при использовании линейной теории регулирования приходится просто отбрасывать. Даже применительно к непрерывным функциям этот метод часто дает большую погрешность при значительных отклонениях аргумента от точки 0. [c.63]

Таким образом, в теории упругости можно говорить о нелинейностях двух типов — геометрической и физической. Их можно считать не связанными друг с другом, поскольку, как это неоднократно подчеркивалось в главе I, малость удлинений и сдвигов не влечет за собою малости углов поворота и наоборот. Поэтому может оказаться, что, несмотря на достаточную малость удлинений и сдвигов, линеаризировать уравнения равновесия и формулы для компонентов деформации будет нельзя ввиду значительности углов поворота. Может также оказаться, что несмотря на достаточную малость, по сравнению с единицей, удлинений, сдвигов и углов поворота будет возможна только линеаризация формул для деформаций и уравнений равновесия и нельзя будет линеаризировать соотношения между напряжениями и деформациями, так как деформации превосходят предел пропорциональности. [c.156]

Анализ конкретных задач о трещинах в реальном нелинейно-упругом теле, напряженное состояние которого зависит лишь от его деформации (не зависит от поворотов), провести аналитическими средствами довольно трудно. (Решена плоская задача при условии сильного начального растяжения тела [119].) Однако выводы о концентрации деформаций (см. 3.3), о связи между раскрытием трещины и напряжениями на ее продолжении, а также о потоке энергии (см. 3.4) можно сделать, основываясь на геометрически точных соотношениях и не привлекая конкретных уравнений состояния. Достаточным является введение довольно естественных предположений общего характера, например об устойчивости материала. Оказывается, что неограниченность деформаций у края трещины не является следствием линеаризации. Она сохраняется и при точной постановке задачи. Характер особенности может измениться, но поток энергии сохраняется - линейная теория определяет его правильно. [c.69]

В. В. Новожилов (1948, 1958) высказал ряд критических замечаний о квадратичной теории. Вкратце они сводятся к следующему. Возможность полной или частичной линеаризации геометрических и статических (динамических) соотношений нелинейной теории упругости определяется чисто геометрическими факторами величиной удлинений, сдвигов и углов поворота как по сравнению с единицей, так и между собой. Поэтому используемый в квадратичной теории недифференцированный (указанным выше образом) подход к упрощению статико-геометрических соотношений носит формальный характер. Далее, для упрощения соотношений, связывающих напряжения и деформации, недостаточна малость компонент деформации по сравнению с единицей. Требуется сравнивать их с физическими константами материала (пределами пропорциональности) — величинами, как правило, весьма малыми по сравнению с единицей. К тому же для квадратичной теории характерно сохранение в выражении для потенциала напряжений, наряду с квадратичными, и кубических членов (пятиконстантная теория Фойхта — Мурнагаца). Для большинства же реальных материалов отклонение от закона Гука обусловливается четными степенями компонент деформации. [c.75]

В связи с этим м. Рейнер отмечает четыре недостатка классической теории. Два из них связаны с геометрической линеаризацией. Такую линеаризацию нельзя производить, во-первых, если в теле большой гибкости, имеюш,ей место вследствие его геометрической формы, наблюдаются значительные повороты перемещения, связанные с поворотами, в таких телах могут быть очень большими (см. табл. 1.4) во-вторых, линеаризацию нельзя производить, если обнаруживается существенн-ая разница между условной и истинной деформациями. [c.519]

Наиболее очевидный путь заключается в линеаризации исходных уравнений, которая в настоящее время идет по двум направлениям. Первое является физической линеаризацией, лежащей в основе обобщенного закона Гука, что приводит к физически линейным и геометрически нелинейным задачам, подробно рассмотренным в монографии В. В. Новожилова 103]. Второе направление заключается в геометрической линеаризации, обоснование которой дано в книге Г. Каудерера [43] (см. также [198]). [c.11]

Недостатки метода были устранены путем линеаризации криволинейной зависимости при помощи тарировки зонда, предназначенного для измерения температуры указанным методом, по температуре, измеренной по такому методу, показания которого можно принять за образцовые. В качестве термоприемников использовались три термопары типа ПР-30/6 с различными диаметрами спаев, сваренные по обычной технологии из проволоки диаметром 0,2 0,4 0,5 мм при этом отклонения корольков термопар от геометрической формы автоматически учитывались при тарировке зонда. Провода термопар помещались в алундовые соломки, которые крепились в водоохлаждаемом чехле (рис. 1). Тарировка производилась в камере печи в потоке продуктов полного сгорания природного газа (с равномерным полем параметров, не считая пристеночных слоев) при этом температуры стен и газа были различными. В качестве образцового прибора служила отсасывающая термопара из того же материала. Результаты тарировки обрабатывали в виде условных размеров. Всего проведено около 120 тарировочных опытов при различных температурах газового потока и окружающих поверхностей. Среднеквадратичная относительная погрешность определения температуры 1%. В нее входит также погрешность, вызванная колебаниями температуры газового потока вслед--. ТБие колебания расходов газа и воздуха, и приборная почетность. Тем не менее полученная точность вполне удовле- рительная для подобных измерений, [c.207]

Предложенный в 3.1 метод нелинейного статического расчета прост в реализации и может использоваться на практике при исследовании напряженно-деформированного состояния пространственных тонкостенных конструкций со слабо выраженной геометрической нелинейностью. В этом случае ошибки, обусловленные использованием линеаризованных уравнений равновесия, сравнительно малы и не оказывают существенного влияния на результаты расчета. Для существенно геометрически нелинейных конструкций применение линеаризованных уравнений становится неоправданным ни с точки зрения точности результатов, так как возникающая вследствие линеаризации невязка не поддается контролю, ни с точки зрения вычислительной эффективности, так как для достижения заданной точности может потребоваться очень большое количество шагов. Ниже описывается шагово-интерационный метод расчета, основанный на использовании нелинейных уравнений (1.71). [c.95]

Линеаризованные физически нелинейные задачи для гладких и ребристых оболочек. Учет приобретенной анизотропии на примере линеарнзапни физически нелинейных задач теории малых упруго-пластических деформаций при использовании метода переменных параметров упругости рассмотрен в [П. 3]. В этом случае связь между компонентами усилий и деформаций для гладких и ребристых оболочек можно представить в форме (I 20) гл. 4 Д.ЧЯ неоднородных анизотропных оболочек. В этих уравнениях коэффициенты упругости являются функциями напряженно-деформированного состояния. Прн решении данной нелинейной задачи методом переменных параметров упругости физические соотношения на каждом шаге линеаризации сохраняют форму (1.20) с постоянными коэффициентами упругости. Часть коэффициентов в эти.х соотношениях обращается в нуль, а вид других зависит от интегральных физических характеристик сечения (например, [П. 6]). Уравнения равновесия и геометрические завнснмостн, естественно, остаются одинаковыми для теории малых упруго-пластических деформаций н линейной теории неоднородных анизотропных оболочек. [c.219]

Задачи в которых допустима линеаризация соотношений деформации — перемещения и моото пользоваться формулами (1.2.4), будем называть геометрически линей ными зидачами механики сплошных сред. [c.20]

Для момента сопротивления, имеющего характеристику с петлей гистерезиса, коэффициенты гармонической линеаризации о( а, Йо) (5-15), ( (0а, о) (5-16) и Q o) (5-17) целесоо бразно аходи/гь, попользуй геометрические формы составляющих момента сопротивления Мс.т( ) (5-3), приведенные на рис. 5-2. Коэффициент o(S2a, fio) постоянного смещения для зависимости Л1с.т( 2) в делом равен [c.346]

Для оценки способности системы демпфирования уменьшать исходную нутацию в условиях отсутствия моментов внешних сил была проведена линеаризация уравнений (5)—(6) при Lj = = Lg = L3 = О при этом мы следовали методике Хазелтина [11. Угловую скорость основного тела в его вращении вокруг геометрической оси можно выразить при помощи соотношения 0)2 = + [c.64]

Оценивая в целом постановку задач устойчивости в условиях ползучести, основанную на постулировании условных критериев устойчивости, приходится признать, что на этом пути в приложении к поведению реальных конструкций не было получено обнадеживающих результатов. Некоторые критерии, предлагавшиеся в исследованиях С. А. Шестери-кова [169] и Г. В. Иванова [57, 58], также по существу принадлежат к условным. Развитие этого направления, с другой стороны, имело значение в связи с тем, что на основе идеи Ю. Н. Работнова о возможности линеаризации уравнения состояния была разработана техника решения задач для исследования возмущенных движений при нелинейной ползучести стержней, пластин и оболочек, в том числе с учетом геометрической нелинейности [139, 83, 173, 87, 8]. [c.262]

Мы будем рассматривать такие упругие состояния оболочки, которые отличаются весьма значительными изменениями первоначальной формы. В этих рассмотрениях принципиально недопустима линеаризация задачи, а также применение безмоментной теории. Однако, как мы сейчас покажем, именно предположение о значительнйх изменениях формы оболочки при ее деформации делает возможным новый подход к решению задачи, основанный на простых геометрических соображениях. [c.6]

Предыдущий метод часто сочетается с геометрическим представлением процессов с помощью фазовых траекторий и общим анализом расположения этих траекторий. При этом существенной частью анализа является исследование зависимостей между координатами точек входа фазовых траекторий в каждую из областей фазового пространства и координатами точек выхода их из этой области. Этот метод, называемый методом точечных преобразований, был создан и применен к ряду задач А. А. Андроновым и его школой [4. 5], Для исследования устойчивости и нахождения автоколебательных режимов систем с любыми нелинейностями удобным приближенным приемом является метод эквивалентной линеаризации, впервые примененный к одной из задач регулирования скорости А. И. Лурье [59 ] и подробно разработанный Л. С. Гольдфарбом [28 ]. Тот же метод был применен несколько ранее В. А. Котельниковым [52] к задаче об автоколебаниях самолета с автопилотом. Связь этого метода с общими исследованиями нелинейных уравнений, произведенными А. Пуанкаре [124], была установлена Б. В. Булгаковым [10, 11], [c.154]

Важным этапом изучения теории колебаний в курсе теоретической механики является овладение одним из простейших приемов линеаризации на примерах геометрически нелинейных механических систем с сосредоточенными параметрами, т.е. таких, выражения для деформации линейных упругих звеньев которых содержат члены более высокого порядка малости" относительно обобщшных координат чем первый. Линейность обобщенных восстанавливающих сил обеспечивается сохранением членов до порядка включительно в выражении потенциальной энергии каждого линейного упругого элемента [c.37]

Невыполнение упомянутых выше упрощающих условий приводит к громоздким выражениям [3], обязательно содержащим радикал, разложение которого в степенной ряд лишь для некоторых систем специального вида завершается получением стандартных формул, решающих задачу линеаризации [ 4, с. 568-571 5, с. 219-221]. Обычно жечлены ряда специфичны для каждой задачи [6, задачи 32. 22, 54.9, 54.17]. Большие затраты времени на формальные математические манипуляции практически исключили такие задачи из числа решаемых в часы учебных занятий в аудитории. В связи с этим представляется полезным унифицировать процедуру вычисления для широкого круга задач заменой непосредственного разложения в степенной ряд простым геометрически наглядным способом. Ниже рассматривается прием формирования приближенного выражения для деформации X как функции второго порядка относительно модуля перемешения MqM = и (рис. 2) подвижного конца пружины. [c.38]

Нужно отметить, что в окрестности концов трещин в твердых телах условия геометрической и физической линеаризации являются недопустимыми с точки зрения определения тонкой структуры. Поэтому вблизи кромки трещины всегда существует некоторая область, в которой решение (3.1) не описывает деталей явления. При этом упругое решение (3.1) реализуется на расстояниях, больпшх сравнительно с характерным размером указанной области, но малых по сравнению с характерным линейным размером тела или трещин. Следовательно, при более строгой постановке задачи решение (3.1) играет роль промежуточной асимптотики. Величина у равна необратимой работе внешних сил, затраченной на образование единицы площади поверхности трещины. [c.378]

При этом было установлено, что возможность линеаризации первых двух групп формул (соотношений между деформациями и перемещениями и уравнений равновесия объемного элемента) определяется чисто геометрическими факторами величиной удлинений, сдвигов и углов поворота по сравнению с единицей и по сравнению друг с другом. Что касается третьей группы формул, то возможность ее линеаризации определяется физическими свойствами материала тела, т. е. тем, следует ли он линейному закону Гука, или нет, в пределах тех значений деформаций,, которые представляют интерес для рассматриваемой задачи. Хотя область, в которой закон Гука справедлив, ограничивается, как и в предыдущем случае, степенью малости деформаций, однако сравнивать их надо не с единицей, а с некоторыми характерными для каждого конкретного материала физическими константами, именуемыми пределами пропорциональности, которые, как правило, сами весьма малы по сравлению с единицей. [c.155]

Для численных расчетов чувсгвительности нужно проварьировать интересующие нас параметры (например, длину канала) в окрестности их номинальных значений и затем продифференцировать результаты (например, пороговое напряжение). Естественно, эта вариация параметров должна выполняться в небольщих пределах, чтобы гарантировать справедливость линеаризации, на которой основана вся методика. С другой стороны, диапазон изменения параметров должен быть достаточно большим для исключения ошибок округления при численном дифференцировании. Подобная вариация параметров даже в небольшом диапазоне, вообще говоря, не может быть выполнена экспериментально. Ничтожное изменение технологического параметра может повлечь за собой колоссальные производственные проблемы и связанные с этим финансовые затраты. Однако с помощью быстродействующей программы по описанной методике можно легко вычислить частные производные любой электрической характеристики по любым технологическим или геометрическим параметрам. Таким образом, численные исследования - единственный способ анализа чувствительности характеристик прибора к технологическим параметрам. [c.427]

Из изложенного следует, что анализ нелинейных систем подрессоривания гусеничных машин сводится прежде всего к анализу их совмещенных характеристик. Геометрическая интерпретация формул гармонической линеаризации обеспечивает наглядность при качественном исследовании нелинейных систем прдрессорива-ния гусеничных машин и значительно сокращает объем вычислительной работы. [c.62]

Геометрический смысл проведенной линеаризации функции (3.108) роиллюстрирован на рис. 3.19. Уравнение АЬ] - О линейно относитель о фазовых координат и времени, поэтому оно является уравнением нперплоскости, касательной к гиперповерхности концевого условия Ь = 0. На рнс. 3.19 эта плоскость изображена в виде отрезка прямой. 1з рисунка В1ЩК0, что максимальное значение методической ошибки 2 пределяется размерами трубки возмущенных траекторий движения акеты. [c.317]

Для пачки слоев с двумя вариантами упругих свойств это означает, что усредненные упругие константы как функции скачков АС33 и Ас на границах слоев с разными упругими свойствами должны быть независимы от знака скачков и, следовательно, не могут содержать линейных членов - а нелинейные при линеаризации считаются пренебрежимыми. Заметной квазианизотроггии в этих условиях не создается вообще. Последний вывод может быть проиллюстрирован на примере коэффициента у для изотропных чередующихся слоев (в каждом из вариантов упругих свойств Ас = бб) квазианизотропия пачки в целом пропорциональна разности 44) -(1/с44) . Легко проверить, что эта разность арифметического и геометрического средних усредненных вели- [c.99]

Метод гармонической линеаризации создан и развит российскими учеными. Идея метода принадлежит Н.М. Крылову и H.H. Боголюбову [7]. Существенный вклад в развитие метода внес Л.С. Гольдфарб (11], давший геометрическую интерпретацию метода. Необходимо отметить также работы [c.235]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...