Теорема существования и единственности

Возможности решения уравнений обобщенной модели ЭМП определяются основными положениями теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности гарантируют однозначное решение на некотором интервале времени при условии непрерывной дифференцируемости переменных и непрерывности коэффициентов уравнений в зависимости от времени. Получаемые при этом решения, в свою очередь, являются непрерывными функциями времени. [c.62]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

В силу теоремы существования и единственности решения уравнений (6.1) интегральные кривые не мог ут пересекаться и, следовательно, все другие решения находятся внутри полос, образуемых решениями х х , л = [c.215]

При достаточно малом шаге градиентные методы сходятся к решению при выполнении тех же предложений, что и в теореме существования и единственности. [c.341]

Данный метод называется методом точечной релаксации. Он является сходящимся при выполнении ограничения (11.128), предположения о непрерывной дифференцируемости функции J и условий теоремы существования и единственности. [c.341]

На основании теоремы существования и единственности решения задач теории упругости можем сделать заключение, что совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений (7.68), [c.195]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. [c.132]

На основании теоремы существования и единственности интеграла дифференциального уравнения второго порядка решение s=s будет единственным решением уравнения (2 ), для которого начальными условиями будут 5 = So и s = 0. Отсюда следует, что при сделанных предположениях материальная точка остается в равновесии в начальном положении. [c.30]

Далее, легко видеть, что в моменты t я —t, равно отстоящие от t = 0, движущаяся точка занимает одно и то же положение, но имеет равные по абсолютной величине и противоположные по знаку скорости. Это обстоятельство также непосредственно вытекает из теоремы существования и единственности интеграла, если принять во внимание, что уравнение (2 ) не изменится при замене t на —t. Действительно, отсюда выводится, что если функция s t) есть решение уравнения (2 ), принимающее при / = 0 значение время как ее производная обращается в нуль, то функция s —t) также будет решением уравнения (2 ), удовлетворяющим тем же начальным условиям. Отсюда получаем тождество [c.33]

Такое изучение предполагает, что интеграл, соответствующий заданным начальным з словиям, существует и является вполне определенным, по крайней мере внутри известного множества значений независимой переменной и неизвестных функций. Известно, что для систем дифференциальных уравнений нормального типа теорема существования и единственности интеграла имеет место, вообще говоря, только внутри тех множеств значений независимого переменного и неизвестных функций, в которых правые части остаются правильными ) функциями. [c.101]

Предположим, что это начальное положение движущейся точки выбирается в некоторой л-мерной области, в которой осуществляются условия, требуемые теоремой существования и единственности интегралов системы (36) предположим, кроме того, что промежуток изменения t выбран так, что указанные только что условия продолжают выполняться. [c.290]

По теореме существования и единственности, условия которой выполнены, через каждую точку полосы (6.3) проходит и притом единственная интегральная кривая ш= ш t) уравнения (6.1) движения ротора, выражающая определенный закон изменения его угловой скорости в зависимости от времени t. [c.207]

На основании теоремы существования и единственности решений системы уравнений движения машинного агрегата (независимо от формы записи), учитывая выражение (19.6), можно записать [c.132]

Теорема существования и единственности для решений рассматриваемой системы уравнений заключается в следующем система дифференциальных уравнений (8.12) имеет решение у (), непрерывное вместе с первой производной по при I j, единственным образом определяемое допустимым набором величин уо, [c.232]

Будем, как и ранее при рассмотрении трехмерного пограничного слоя на торцовой стенке, предполагать, что для обоих написанных уравнений (281) и функции (283) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши тогда одна и та же интегральная поверхность, описывающая [c.233]

Указанные необходимые условия являются также и достаточными для всех случаев, для которых доказана теорема существования и единственности решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. [c.21]

Навье-Стокса имеет единственное решение для плоского потока. Для трехмерного случая теорема существования и единственности имеет ряд ограничений. [c.45]

Аналитическое решение его найти не удается, и требуется использовать численные методы, в частности, метод установления для решения соответствующих краевых задач 7]. В [8] установлена теорема существования и единственности решения краевых задач для широких классов функций ш (х). [c.516]

Легко убедиться непосредственной проверкой, что число Я, = О является собственным значением краевой задачи, а соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных действительных постоянных (при этом используется теорема существования и единственности в классических теориях плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном сечении 5. Получается классическое решение Сен-Венана (растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конечной длины. [c.69]

Отметим, что U одинаковы в обоих уравнениях и оба решения А и суш ествуют и однозначно определяются в силу теоремы существования и единственности, доказанной в 3. Если положить [c.158]

В седьмой главе излагаются приближенные методы решения задач, в которых средняя длина свободного пробега сравнима с некоторой характерной длиной, фигурирующей в задаче (переходный режим) в частности, подробно обсуждаются течения разреженного газа мел<ду параллельными пластинами и коаксиальными цилиндрами, структура ударной волны, задача о передней кромке, истечение газа в вакуум при этом обращается внимание на сравнение теории с экспериментом. Восьмая — и последняя — глава содерл<ит обзор математически наиболее развитой части теории, связанной с теоремами существования и единственности. [c.8]

Теоремы существования и единственности [c.436]

Основное место занимают теоремы существования и единственности и качественный анализ решений уравнения Больцмана. [c.436]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Теорема существования и единственности. Если границы односвязных областей D и Л состоят более чем из одной точки, то существует и притом одна функция w = w (г), конформно отображающая область D на область Д так, чтош (го) = Wo, w (Zy) = wr, где zo, Wo, Zy, Wr — заданные числа (точки), причем Zq D, wq A, Zy 7, Wr 6 Г, где v. Г — границы областей D, A. [c.186]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

Если вектор-функция / (/) является ограниченной и кусочнонепрерывной, то в соответствии с теоремой существования и единственности решение системы дифференциальных уравнений (7.2) существует на любом конечном интервале изменения независимого переменного t и единственным образом определяется начальными данными [c.193]

Задача решена с применением метода интегральных соотношений. С. Л. Каменомостская [15, 16] рассмотрела теоремы существования и единственности для таких задач. [c.213]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Из теоремы существования и единственности, доказанной в 4 (теорема 1), следует, что решение существует при любом (ненулевом) числе Кнудсена, построенном по хорде максимальной длины. Доказательство теоремы конструктивно, поскольку она позволяет в принципе выписать решение в виде ряда. Однако с практической точки зрения сложный вид операторов II ж Н делает этот метод бесперспективным (если только число Кнудсена не слишком велико). При нахождении решения приходится использовать модельные уравнения, в которых оператор столкновений Ь заменен таким более простым приближенным оператором что эти [c.157]

Самая простая из всех задач, связанных с уравнением Больцмана, это задача для безграничного газа с начальными данными, не зависящими от координат (пространственно-однород-ная задача). Первая теорема существования и единственности была получена Карлеманом [1, 2] для модели молекул в виде твердых сфер. Он получил достаточно сильный нелинейный результат в большом при довольно слабых предположениях от- [c.436]

Внешняя задача приводит к некоторым трудностям, как явствует из результатов разд. 13 гл. VI. Риголо-Турба удалось обойти эти трудности для одномерного случая и доказать теоремы существования и единственности для некоторых стационарных и нестационарных, линейных и слабо нелинейных задач [38—40]. [c.448]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...