Теоремы единственности и существования решений

Теоремы единственности и существования решений [c.182]

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ 183 [c.183]

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ [c.187]

Высказанные утверждения непосредственно вытекают из теоремы единственности и существования решения ). [c.470]

Доказательство теоремы единственности и существования уже было приведено выше. Там же было показано, что решение этой задачи представляется в виде [c.278]

Теоремы единственности и существования обнаруживают внутреннюю непротиворечивость построенной теории. Наличие этого свойства является необходимым атрибутом всякой правильно построенной для физической задачи математической теории. Нельзя, однако, недооценивать и прикладное значение этих теорем. Опираясь на них, легче искать практические приемы решения краевых задач. В ряде случаев метод интегральных уравнений можно использовать также в качестве практического способа построения приближенного решения задачи. [c.276]

Значение принципов соответствия в теории ползучести состоит не только в том, что они дают возможность конструктивно построить решения для широкого класса задач в формах, удобных для приложений, но и в том, что ряд общих результатов (проблемы существования, единственности и ограниченности решения, теоремы взаимности и т. д.) является прямым следствием зтих принципов, На принципе соответствия основаны весьма аффективные, методы фактической реализации решений задач теории ползучести. [c.277]

В каждом из этих случаев теорема единственности гарантирует однозначность решения, так как разностное поле должно на границе удовлетворять условию и = 0 или ди/дЫ = О, т. е. условию, обеспечивающему отсутствие притока энергии в эту область. Разумеется, однозначность требует выполнения также и всех остальных условий, обеспечивающих отсутствие других скрытых токов и существование в поле каких-либо потерь энергии. [c.41]

Замечание 2. При исследовании системы (15) мы опирались не только на теорему единственности решения, но также на менее элементарную теорему существования, доказанную в 79. Легко, однако, обойтись без применения теоремы существования, ограничившись теоремой единственности, и получить таким образом элементарное доказательство теоремы существования для интересующего нас здесь частного случая, когда ы ( — полином. [c.324]

Купрадзе показал, что в случае сингулярных интегральных уравнений теории упругости классическая теория Фредгольма остается в силе. В уже цитированной книге он дал доказательство теоремы единственности и теоремы существования решения как для внутренней, так и для внешней задачи. [c.617]

Билинейная форма от и, хи), стоящая в левой части этого равенства (обозначим ее через а(и, да)), удовлетворяет условиям теоремы 1.3 при Я=Я (Й ) с постоянными С, не зависящими от 8. Это следует из неравенства Корна (4.26). Поэтому существование, единственность и оценка решений задачи (5.10) доказываются, исходя из (5.12), точно так же, как теоремы 3.5, 3 8. Таким образом, справедлива [c.48]

Существование, единственность и оценки решений задачи (3 1) при соответствующих условиях на /, Ф, Ф установлены в 6.3 гл. I (теорема 6 5). [c.129]

Возможности решения уравнений обобщенной модели ЭМП определяются основными положениями теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности гарантируют однозначное решение на некотором интервале времени при условии непрерывной дифференцируемости переменных и непрерывности коэффициентов уравнений в зависимости от времени. Получаемые при этом решения, в свою очередь, являются непрерывными функциями времени. [c.62]

Из теоремы II. 1 приложения II следует существование и единственность решения задачи (2.463) — (2.464) в Ю Q,), из теоремы И.2 —ее эквивалентность задаче минимизации функционала (2.461) на V = /7 (Q), из теоремы 11.3 —задаче решения вариационного уравнения (2.462) на Н 0.). [c.118]

Как и в предыдущем параграфе, докажем теоремы единственности решений указанных здесь задач, не останавливаясь на доказательствах теорем существования. [c.86]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

Промежуток времени I в формулировке основной теоремы существования в общем случае не является наибольшим промежутком, в котором существует решение, проходящее через точку (ai, 2, , ml т). Обычно этот промежуток можно расширить влево и вправо и получить решение, определенное на максимальном открытом интервале а < i < Ь, называемом естественным интервалом определения решения. При этом числа а и Ъ зависят от выбора точки ( ь г,. . ., а О и выбранной ветви решения, если оно не единственно. В рассмотренном примере а может равняться — оо, а Ъ может равняться так что имеются четыре типа естественного интервала определения решения. [c.358]

Наряду с теоремой, указанной в названии параграфа, имеется еще и теорема о существовании решения задачи теории упругости. Доказательство этой последней теоремы является далеко не простым в математическом отношении. Вместе с тем, если исходить из физических соображений, то факт существования решения задачи теории упругости является достаточно очевидным. Все уравнения теории упругости, приведенные выше, получены из принципов механики, не вызывающих сомнения, вследствие чего они, эти уравнения, не могут быть в противоречии с природой — сплошное тело (сохраняющее свою сплошность) определенным образом нагруженное и надлежащим способом закрепленное, должно иметь хотя бы одно положение равновесия. Поскольку теорема о существовании решения задачи теории упругости (в том числе и нелинейной), представляя большую математическую сложность, с точки зрения механики не вызывает сомнения в смысле ее справедливости, на доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся и будем исходить из предположения о существовании решения отмеченной выше задачи. Что касается теоремы о единственности решения линейной задачи теории упругости, то ее ниже докажем. [c.624]

Известно, что задача считается поставленной корректно, если доказано существование решения, его единственность и устойчивость. Если существование и единственность решения обратной задачи теплопроводности следует из физики этой задачи, а также подтверждается теоремой Ковалевской [230], то анализ третьего условия корректности (устойчивости решения) показывает математическую некорректность обратных задач теплопроводности. [c.167]

В теореме Кирхгоффа утверждается единственность решения, если оно существует. Доказательство существования решения первой и второй краевых задач рассматривается в пп. 4,2— 4.8 этой главы. [c.184]

К сожалению, теоремы о существовании решения, единственности его и корректности поставленных задач в отличие от одномерного случая в настоящее время неизвестны. Лишь формальные соображения (задано 8 функций k (р) — имеется произвол в 8 функций) и большой опыт расчетов сеток подтверждает гипотезу о суще ствовании таких теорем. [c.520]

Теорема единственности показывает, что для того, чтобы решение уравнений Максвелла было единственным, необходимо использовать условия 1—5. Однако этого недостаточно. Следует еще показать, что они не противоречивы и всегда существует (одно) решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее им, т. е. доказать теорему существования. Поэтому при построении решения различных задач дифракции обычно доказываются соответствующие теоремы существования решения задачи и дается эффективный алгоритм их отыскания [25, 50, 58, 63, 91, 93, 139, 198]. Детально ознакомиться с вопросами построения и реализации строгих математических моделей задач дифракции на решетках, электродинамические характеристики которых анализируются в данной книге, можно в работах [25, 58]. [c.16]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

Отметим, что U одинаковы в обоих уравнениях и оба решения А и суш ествуют и однозначно определяются в силу теоремы существования и единственности, доказанной в 3. Если положить [c.158]

Основное место занимают теоремы существования и единственности и качественный анализ решений уравнения Больцмана. [c.436]

Рассмотрим систему уравнений (6.4) для линий тока. Если в некоторой точке хотя бы одна из составляющих скорости не равна нулю, то в силу теоремы существования и единственности решения для системы (6.4) через такую точку проходит только одна линия тока. Если точка критическая, т. е. выполняется равенство (6.13), то эта точка является особой для системы уравнений (6.4), в ней мол<ет нарушаться теорема единственности. Через критическую точку может проходить несколько и даже бесконечно много линий тока. [c.17]

Попытка перейти от вариационного неравенства (75) к задаче минимизации функционала наталкивается на проблему обеспечения не только потенциальности части оператора А, связанной с упругим потенциалом, но и на проблему ограничения внешних воздействий классом, при котором второе и третье слагаемые в левой части неравенства (75) в целом будут потенциальными операторами над полем перемещений и. В общем случае нетривиальной является также задача проверки условий теоремы о существовании и единственности (или неединственности) решения. По указанным причинам методы решения геометрически нелинейных контактных задач развивались применительно к вариационному неравенству (75) решения конкретных задач даны в работах [8,21,22] и некоторых других [9]. [c.108]

При помощи этой теоремы можно доказать единственность решений уравнения X=FiX], предполагая единственность решения уравнения X=Fq[X] и замечая, что если уравнение Х = = Fo[X] имеет единственное решение и если условия теоремы выполняются для всех уравнений X = Fj, [X], 0<а <1, то число решений (которые являются изолированными и меняются непрерывно вместе с а) не зависит от а. В самом деле, число решений уравнения X=Fi[X] должно равняться числу решений уравнения X=Fo[X], т. е. единице. Аналогично существование решения уравнения X=Fi[X] можно вывести из предположения о существовании решения уравнения X = Fq[X]. [c.217]

Будем анализировать только теорему, отвечающую на второй вопрос — теорему единственности. Теорема существования— в простейшей формулировке — состоит в том, что прн тех же условиях, которые сформулированы в теореме единственности, решение действительно существует, так что эти условия необходимы и достаточны для существования решения, притом единственного. [c.35]

Развитию методов решения дифференциальных уравнений, коэффициенты которых содержат обобщенные функции одного вида йодной переменной, например, в строительной механике скошенных тонкостенных систем, посвящены работы И. Ф. Образцова, Г. Г. Онанова [117, 118], а статике, динамике и устойчивости стержневых систем — работы В, А. Лазаряна, С. И. Конашенко [96]. Теоремы единственности и существования решения дифференциальных уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами доказаны А. А. Самарским [138]. [c.8]

Отметим, что задача о непрерывной зависимости решения от данных имеет смысл, если заранее доказаны теоремы единственности и существования решения, точнее, если доказано, что для любых /бСз, Ж и Ф6С4 поставленная задача имеет решение из класса С , и оно единственно. [c.276]

При аналитических начальных данных единственность и существование решения в до-, транс- и сверхзвуковой областях течения обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской, поскольку уравнения газовой динамики обладают аналитическими коэффициентами в эллиптической (дозвуковой), параболической (трансзвуковой) и гиперболической (сверхзвуковой) областях. С другой стороны, согласно теореме Веерштрасса любая непрерывная функция может быть со сколь угодно большой точностью аппроксимирована аналитическим полиномом, и в связи с этим в качестве данных Коши могут выбираться также и неаналитические данные. [c.34]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Теорема существования. Решение единственное) безмоментных статических уравнений, удовлетворяющих во всех точках края или краев) двум тангенциальным условиям для оболочки положительной кривизны, существует тогда и только тогда, когда внеилние поверхностные и краевые силы не совершают работы на перемещениях всех возможных изгибаний неподкрепленной срединной поверхности оболочки. [c.262]

В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для оболочки с одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев (если только они неасимптотические) и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в 18.36 надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ [16—19], в которых теорема доказана при любом числе краев. В 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях ( 15.21). Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания. [c.263]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

В гл. 4 говорилось о том, что одним из основных возражений против существования стохастических решений дифференциальных уравнепий в свое время была теорема единственности. Действительно, при постановке задачи Коши решение должно быть едипствепным, полностью определяемым начальными условиями и, следовательно, вполне предсказуемым. Как же может возникнуть непредсказуемость Оказывается, что при исследовании стохастических решений постановка задачи Коши неправомерна. Опа никогда не соответствует условиям экснеримента (натурного или численного), поскольку начальные условия принципиально пе могут быть заданы абсолютно точно. Поэтому имеет смысл формулировать задачу на статистическом языке. Пусть в начальный момент времени задано некоторое распределение вероятностей, близкое к б-образному. Если в последующие моменты зто распредблепие по крайней мере не уширяется, то можно с самого начала считать его б-функцией и рассматривать задачу Коши. Решение при этом будет регулярным и предсказуемым. В противном случае, когда первопачальпо заданное распределение вероятностей расплывается и приобретает конечную ширину даже при стремлении начального распределения к [c.217]

Из теоремы существования и единственности, доказанной в 4 (теорема 1), следует, что решение существует при любом (ненулевом) числе Кнудсена, построенном по хорде максимальной длины. Доказательство теоремы конструктивно, поскольку она позволяет в принципе выписать решение в виде ряда. Однако с практической точки зрения сложный вид операторов II ж Н делает этот метод бесперспективным (если только число Кнудсена не слишком велико). При нахождении решения приходится использовать модельные уравнения, в которых оператор столкновений Ь заменен таким более простым приближенным оператором что эти [c.157]

Классическая теорема суш,ествовапия и единственности не определяет решение в точках разрыва. Известен ряд способов доопределения такого решения [2, 5-9]. При одном из вариантов [5-8] разрывная правая часть исходной системы заменяется в малой окрестности разрыва другой, гладкой, удовлетворяющей требованиям теоремы существования и единственности решения. В качестве решения разрывной системы принимается решение доопределенной системы при стремлении к нулю указанной окрестности разрыва. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...