Теорема единственности вторая

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует Цг=0. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения щ различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [c.86]

Если область 5 бесконечна, то в случае первой основной задачи должны быть заданы напряжения на бесконечности, т. е. Re Г и Г в случае же второй основной задачи и основной смешанной задачи— величины Vi, Vi, Г, Г. Допуская, что решение указанных задач существует, его единственность для конечной области можно доказать аналогично доказательству, приведенному в случае соответствующих пространственных задач на доказательстве теоремы единственности для бесконечной области мы не останавливаемся при надобности читатель сможет ознакомиться с ним в монографии Н. И. Мусхелишвили Некоторые основные задачи математической теории упругости . [c.130]

Соотношение (3.50 представляет собой однородное краевое условие второй основной задачи для области 0 . Из теоремы единственности следует, что функции Ф г ) = 1аг и V г ) = = —Р, где а — действительная, а р — комплексная постоянные. Поскольку эти функции представимы интегралами типа Коши, [c.379]

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Функция Ь и), как и Ь и), четна, имеет два полюса Релея и = 1 и обладает таким же качественным поведением на различных отрезках вещественной оси. При этом она точно улавливает поведение в нуле и на бесконечности. Кроме того, она везде имеет истинный знак мнимой части, что важно для выполнения теоремы единственности. Выражение М+(м) имеет нуль в верхней полуплоскости, который должен быть погашен нулем знаменателя и = -г. Заметим, что точка и = является его вторым нулем. [c.280]

Будем анализировать только теорему, отвечающую на второй вопрос — теорему единственности. Теорема существования— в простейшей формулировке — состоит в том, что прн тех же условиях, которые сформулированы в теореме единственности, решение действительно существует, так что эти условия необходимы и достаточны для существования решения, притом единственного. [c.35]

Замечание 3.1. При /3 = О и а = О получаем доказательство теоремы единственности решения второй краевой задачи, для = О получаем доказательство теоремы единственности решения смешанной краевой задачи (2,3), а при о = О — доказательство соответствующей теоремы для смешанной краевой задачи (3,2). [c.77]

По теореме эквивалентности, ввиду того, что выполнено (5.45), о ( ) будет решением второй однородной гранично-контактной задачи и, следовательно, по теореме единственности и, (х) есть % (х), где % (х) — вектор жесткого смеш.ения. Представим это решение в виде [c.491]

Ниже, в 42, теоремы единственности для первой и второй основных задач будут доказаны при несколько иных, чем в настоящем параграфе, предположениях. [c.137]

Легко доказать теоремы единственности для первой и второй основных задач в предположении, что рассматриваемые решения регулярны ). При доказательстве мы будем считать, что рассматриваемая область 8 конечна, так как распространение доказательства на случай бесконечной области никаких затруднений не представляет. [c.150]

Функции ф (г) == о, я (г) = 2/яс, очевидно, решают вторую основную задачу для при граничном условии (26) самое же общее решение на основании теоремы единственности мы получим, прибавив к ф (г) любую постоянную с , а к -ф (г) — постоянную хсй (см. 34, формула (13) и сказанное после нее). [c.379]

Таким образом, обобщенные аналитические функции решают вторую основную задачу для областей к = -- 0, 1,. . ., п) при значении упругой постоянной Xi=l. Теорема единственности справедлива и в этом случае (см. конец п. 1 33). Решение граничной задачи (38.17) определено с точностью до слагаемых (33.7) и имеет вид [c.363]

Это соотношение является краевым условием для второй основной задачи теории упругости (внешняя задача). По теореме единственности получаем

[c.33]

Но отсюда по теореме единственности для второй задачи вытекает, что внутри В, [c.434]

Вывод о существовании энтропии 5 и абсолютной температуры Т как термодинамических функций состояния любых тел составляет основное содержание второго начала термодинамики (по терминологии Н. И. Белоконя — второго начала термостатики). Математическое выражение в форме равенства 6Q= 8Q +6Q = TdS распространяется на любые процессы — обратимые и необратимые. В качестве постулата для вывода этого закона может быть использовано утверждение, что температура есть единственная функция состояния, определяющая направление самопроизвольного теплообмена между телами, т. е. между телами и элементами тел, не находящимися в тепловом равновесии, невозможен одновременный и самопроизвольный (по балансу) переход теплоты в противоположных направлениях — от тел более нагретых к телам менее нагретым и обратно [7]. Из этого постулата вытекает ряд важных следствий о невозможности одновременного осуществления полных превращений теплоты в работу и работы в теплоту (следствие 1), о несовместимости адиабаты и изотермы (следствие 2), теорема о тепловом равновесии тел (следствие 3) [7]. [c.57]

На основании теоремы существования и единственности интеграла дифференциального уравнения второго порядка решение s=s будет единственным решением уравнения (2 ), для которого начальными условиями будут 5 = So и s = 0. Отсюда следует, что при сделанных предположениях материальная точка остается в равновесии в начальном положении. [c.30]

В теореме Кирхгоффа утверждается единственность решения, если оно существует. Доказательство существования решения первой и второй краевых задач рассматривается в пп. 4,2— 4.8 этой главы. [c.184]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Справедлива следующая теорема о полярном разложений. Любой неособый тензор второго ранга Y можно единственном [c.15]

Поскольку сделанное утверждение основано на единственном примере, у нас, естественно, нет оснований считать это утверждение общим. Более того, мы пока еще не можем найти доказательства его справедливости в общем случае систем с наложенными связями. В дальнейшем мы сформулируем это утверждение в более общем виде закона устойчивого равновесия. Значение такого общего утверждения обусловлено тем обстоятельством, что из него мы получим возможность логически вывести все теоремы классической термодинамики равновесных процессов, включая так называемые первый и второй законы. Однако до этого нам необходимо продолжить предварительное рассмотрение нескольких весьма простых систем, чтобы познакомиться с часто повторяющимися в данном курсе терминами и понятиями. [c.30]

Попытка перейти от вариационного неравенства (75) к задаче минимизации функционала наталкивается на проблему обеспечения не только потенциальности части оператора А, связанной с упругим потенциалом, но и на проблему ограничения внешних воздействий классом, при котором второе и третье слагаемые в левой части неравенства (75) в целом будут потенциальными операторами над полем перемещений и. В общем случае нетривиальной является также задача проверки условий теоремы о существовании и единственности (или неединственности) решения. По указанным причинам методы решения геометрически нелинейных контактных задач развивались применительно к вариационному неравенству (75) решения конкретных задач даны в работах [8,21,22] и некоторых других [9]. [c.108]

Теорема 3.15. Единственное решение класса L2 Ql т) второй краевой задачи с нулевыми начальными условиями для произвольных функций 1 1) и и Ь) класса ( Я ) [0,Т] имеет вид (3.127). Черта под функциями 1 и V в формуле (3.127) означает, что соответствующие первообразные как функции класса Ь2 равны нулю при отрицательных аргументах. [c.111]

Теорема 3.16. Единственное решение класса L2 Ql т) второй краевой задачи с нулевыми финальными условиями для произвольных функций 1 1) и 1> 1) класса ( Нд)> [0,Г] имеет вид (3.129). Черта над функциями 1 и у в формуле (3.129) означает, что соответствующие первообразные как функции класса 2 равны нулю при аргументах, больших 1/а. [c.111]

Второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно нри у = 0, Z = 0. Из теоремы существования единственности решения задачи Коши можно утверждать, что другого решения нет. Т.е., если начальная скорость направлена по прямой, следовательно, и сила сопротивления направлена но прямой. [c.75]

Теорема. Вторая гранично-контактная задача установившихся колебаний имеет единственное решение. [c.472]

Вторая теорема о непрерывности. Если функции Х-1 имеют в К непрерывные и ограниченные первые частные производные и эти частные производные сами удовлетворяют условию Липшица, то составляющие x t) единственного решения уравнений (1), обращающегося в при I = 0 имеют непрерывные первые частные производные по всем ж и по Ь — Ьо. [c.20]

Таким образом, вся задача сводится к интегрированию одного-единственного линейного уравнения, определяющего зная которое мы найдем и простыми квадратурами. Решение линейного уравнения второго порядка с неизвестной рИ может быть написано сразу, в явном виде, опять-таки при помощи использования теоремы Пуанкаре. [c.639]

Теоремы единственности играют особо важную роль для математического изучения задач физики и механики без исследования единственности (или неединственности) решения математической задачи нельзя утверждать, что полученное решение действительно описывает исследуемое физическое состояние. Кроме того, мы увидим, что интересующие нас задачи классической теории упругости, микрополярной упругости и термоупругости приводят к определенным системам линейных сингулярных интегральных уравнений и для этих систем остается в силе классическая теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Благодаря этому, из теорем единственности мы получим также теоремы существования. [c.120]

Теорема. Решение второй основной задачи термоупругости для внешней среды D yuie meyem, единственно и представляется суммой [c.395]

В своей диссертации Л. Варгас показал, что МАИ является методом измерения. Во-первых, он сформулировал набор аксиом, которые характеризуют существование гомоморфизма между множеством альтернатив и множеством положительных действительных чисел (теорема представления). Во-вторых, показал, что гомоморфизм единственен с точностью до преобразования подобия (теорема единственности), т. е. множество допустимых преобразований гомоморфизма является множеством преобразований подобия. Таким образом, тройка, состоящая из множества альтерна- [c.240]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

Следует отметить, что приведение основной системы ургв-нений к безразмерному виду — не единственный способ г о-лучения безразмерных критериев. Вторым способом получения безразмерных критериев является прием, основанный на применении я-теоремы Виши —Бэкингема—Фурье — Рябушинского—Релея, которая формулируется следующим образом [c.191]

Система (96 ), (96"), как мы видим, представляет собой все еще нормальную систему второго порядка относительно п неизвестных функций t, q ,, q - независимого переменного q . Поэтому на основании обычной теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений можно утверждать, что для системы (96 ), (96") существует решение и притом единственное, для которого в соответствии с заданным значением независимой переменной остальные п—1 переменных q и соответствующие им производные q вместе с и принимают наперед заданные произвольные значения. Условие того, что кривая в пространстве Г проходит через заданную точку в заданном направлении, выражается тем обстоятельством, что при указанном значении координаты q остальные (п—1) координат и их производные q принимают заданные значения. Отсюда можно заключить, что через каждую точку пространства Г в каждом из возможных направлений проходит по крайней мере одна траектория. Так как точек в пространстве Г будет оо" и из каждой из них выходит оо"" направлений, а на К35КДОЙ кривой существует оо точек и в каждой из них, за вычетом лишь исключительных (особых точек), однозначно определяется направление касательной, то можно поэтому сказать, что траектории дифференциальной системы второго порядка (96) с п неизвестными функциями образуют множество, состоящее по крайней мере из элементов. [c.339]

Схема решения. Намечаем произвольно с неопределенной вертикальной составляющей крест 5 , входящий в группу ортов (1, 2, 3, 4)—это будет первое звено цепи. Вертикальную составляющую первого звена и второе звено 5J2 определяем единственным образом из условий, чтобы было + 5i2 = = и чтобы Sjj входило в группу ортов (5, 6, 7, 8) — крест S 2, очевидно, должен быть взаимен с двучленной группой, взаимной с ортами (5, 6, 7, 8). Третье звено Sjq вполне определяется условием 521+ 20= 2- при этом третье звено не войдет в группу ортов (9, 10, 11, 12). Поэтому цепь Sqj, Sjji 20 есть ложная цепь. С помощью ложной цепи на основании доказанной теоремы мы построим истинную, т. е. искомую цепь. [c.219]

Система уравнений (1.4) нелинейна, а теоремы существования и единственности решения задачи с начальными данными на линии параболичности, являющейся характеристикой, известны только для некоторых линейных систем как в гиперболическом, так и в эллиптическом случаях. Целью дальнейшего являются получение в рамках сделанных предположений приближенных представлений для функций Ф и г, получение упрощенного уравнения для X и исследование задач с начальными данными для этого уравнения. При помощи полученного уравнения прежде всего можно, решив его, найти приближенно функцию X. Кроме того, оно будет модельным при решении рассматриваемых задач для системы (1.4). В гиперболическом случае для него удается доказать существование решения. Тип системы (1.4) в окрестности г = О совпадает с типом уравнения для X, так как коэффициенты при вторых производных во всех уравнениях (1.4) одинаковы. [c.116]

Теорема. Если данные задачи принадлежат указанным классам и, кроме того, выполнены условия согласования (2.4), то суи ествует классическое peuieHue второй основной задачи динамики это решение единственно и представляется интегралом Лапласа [c.335]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

Существование и единственность решения задач и 1К ). Достаточно проверить, что Я, = 1 не является собственным числом однородноге уравнения П ) (значит, и союзного с ним уравнения 1 )), — доказывается, что предположение о существовании решения П( ), отличного от тривиального а М) Ф 0), несовместимо с требованием положительности удельной потенциальной энергии деформации. Согласно теореме Фредгольма отсюда следует существование и единственность решений неоднородных уравнений ТК ") и при произвольном задании Q в первом и V (( о) во втором. [c.15]

Но по второму закону термодинамики, за счет одних только внутренних процессов, без отбора тепла наружу, энтропия вещества не может уменьшаться. Отсюда следует невозможность распространения волны разрежения в виде разрыва, и из двух режимов, существование которых допускается законами сохранения массы, импульса и энергии, требование возрастания энтропии выбирает только один — ударную волну сжатия. Это положение носит совершенно общий характер и известно под названием теоремы Цемплена. В следующем параграфе будет показано, что в волнах слабой интенсивности при условии положительности второй производной (д р/дУ )з > О совокупности неравенств (1.86) или (1.87) выполняются одновременно, совершенно независимо от конкретных термодинамических свойств вещества. Это положение можно доказать и для волн не малой амплитуды и произвольного вещества. Единственное условие, которое накладывается на свойства вещества,— это чтобы ударная адиабата во всех точках была обращена выпуклостью вниз д р/дУ )ц > О, подобно тому как это имеет место для идеального газа с постоянной теплоемкостью. Подавляющее большинство реальных веществ обладает именно такими свойствами, так что утверждение о невозможности существования ударных волн разрежения имеет весьма общий характер (о некоторых исключениях речь пойдет ниже). [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...