Уравнение движения сплошной среды в напряжениях

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В НАПРЯЖЕНИЯХ [c.564]

Соотношения (152.13) или (152.14) называют уравнениями движения сплошных сред в напряжениях. Эти уравнения записаны в переменных Эйлера. [c.237]

Условие (9 ) выполняется для произвольного объема, поэтому подынтегральное выражение обращайся в нуль в каждой точке этого объема. Приравнивая его нулю, получаем следующее уравнение движения сплошной среды в напряжениях в векторной форме, если слагаемое (—ар) перенести в другую часть уравнения [c.548]

После этого уравнения движения сплошной среды в напряжениях для вязкой несжимаемой жидкости вместе с уравнением неразрывности приводят к следующей системе уравнений [c.558]

В 1 уже получены уравнения движения сплошной среды в напряжениях, в предположении малости деформаций [c.226]

Уравнение для касательного напряжения т, полученное из уравнения движения сплошной среды в напряжениях (или равновесия сил при движении слоев жидкости), имеет вид [c.241]

Слева в уравнениях (5.6 ) стоит оператор полной производной. Уравнение (5.6) или эквивалентную ему систему уравнений (5.6 ) обычно называют уравнениями движения сплошной среды в напряжениях. [c.55]

Это уравнение называется уравнением движения сплошной среды в напряжениях. Поскольку при его выводе мы не делали никаких предположений о характере тензора П, то уравнение (15 ) справедливо для любой сплошной среды. [c.628]

Так как объем V был выбран произвольным, то из последнего выражения (6) получаем уравнение движения сплошной среды в напряжениях в векторной форме [c.21]

Эти уравнения носят название уравнений движения сплошных сред в напряжениях. В уравнениях (3.3.5 ) время 1 и координаты х, у, г являются независимыми переменными. Это значит, что время и место наблюдения движения точек сплошной среды произвольны. Выбор в качестве независимых переменных координат х., у, % пространства, заполненного сплошной средой, указывает, что эти уравнения написаны в переменных Эйлера. [c.41]

Обращаясь к уравнениям движения сплошных сред в напряжениях (3.3.5) и используя равенства (9.1.4), запишем уравнение движения вязкой изотропной жидкости в векторной форме [c.231]

Во втором томе нашего Курса теоретической механики , посвященном изложению динамики, основываясь на тех же представлениях, что и в настоящем параграфе, но обобщенных на случай движения сплошной среды, выведем уравнения динамики сплошной среды в напряжениях . [c.141]

В произвольной ортогональной системе координат уравнения движения сплошных сред в случае малых деформаций в напряжениях имеют вид [c.11]

Уравнение (11) определяет движение сплошной среды в напряжениях, формула (12) — уравнение неразрывности, формула (13) — обобщенный закон Ньютона, формула (14) — уравнение [c.20]

Уравнение (я) движения сплошной среды в напряжениях 55 [c.290]

Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим следующие дифференциальные уравнения движения сплошной среды в цилиндрических координатах в компонентах.напряжений [c.81]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

Употребляемый здесь термин деформация включает вырожденные изменения состояния, т. е. поступательный перенос и вращение тела как жесткого целого, без изменения формы. Форма тела определяется взаимными относительными смещениями всех пар частиц, составляющих тело. Термин деформация будет использоваться также в качестве меры формоизменения. В общем случае заданная деформация будет включать жесткое перемещение и собственно деформацию ). Чрезвычайно важно уметь разделить эти две стороны деформации, ибо уравнения движения сплошной среды, естественно, распадаются на две группы уравнения движения в напряжениях и реологические уравнения состояния. [c.33]

В предположении, что объемные и поверхностные распределения моментов отсутствуют, тензор напряжений а будет симметричным. Три уравнения движения сплошной среды имеют вид [c.12]

В написанных уравнениях функции F, П, е обычно известны. Искомые функции — р, v, т,к, М, я,, t. Таким образом, неизвестных больше, чем уравнений. Общих уравнений сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений, описывающей движение сплошной среды. В этих общих уравнениях нет информации о самой среде. Надо ввести модели сплошной среды, которые с некоторой точностью отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения. Во всех моделях, рассматриваемых в этой главе, тензор напряжений симметричен, в силу чего уравнение моментов количества движения приобретает вид (2.5) гл. IV. [c.70]

Чтобы вывести уравнение движения сплошной среды, воспользуемся снова принципом Даламбера. Для этого выделим некоторую массу жидкости, заключенную в конечном объеме т. Пусть S — поверхность, ограничивающая этот объем, W — ускорение жидких частиц, q — плотность среды, F — вектор напряженности массовых сил, р — напряжение поверхностных сил. Применяя принцип Даламбера для выделенной материальной системы, получаем следующее уравнение [c.628]

Движение элемента среды в виде бесконечно малого параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям, определяется приложенными к нему силами. К их числу относятся напряжения—компоненты тензора (1.1), а также массовые силы с компонентами X, У, и инерционные силы от ускорений гюх, хЮу, Подсчитав эти силы и приравняв нулю суммы их проекций на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения сплошной среды [c.11]

В этой же работе [76] Б. Сен-Венаном была записана система уравнений плоского течения пластической среды, состоящая из динамических уравнений движения сплошной среды, уравнения неразрывности, введенного им условия пластичности для плоской деформации, и условия пропорциональности максимального касательного напряжения и максимальной скорости деформации сдвига. Эта система уравнений не претерпела никаких изменений до настоящего времени и используется для решения плоских задач пластической деформации. Б. Сен-Венаном были сформулированы и условия сопряжения на границе раздела упругой и пластической областей [75. [c.9]

В работах [19, 20] 1997-2000 гг. авторами были получены общие уравнения движения сред, для которых зависимость между компонентами напряжения и компонентами скоростей деформации выражалась произведением некоторой функции, зависящей от интенсивности скоростей деформации, на соответствующую компоненту скорости деформации. При записи данной системы уравнений была взята за основу форма записи уравнений движения пластических сред М. Леви [54]. Предлагаемая система уравнений состоит из динамических уравнений движения сплошной среды уравнения неразрывности для несжимаемой среды основного реологического уравнения данной среды, записанного через компоненты напряжения и проекции скорости четырех независимых уравнений, вытекающих из условия пропорциональности касательных напряжений соответствующим скоростям деформации сдвига и разности нормальных напряжений соответствующей разности объемных скоростей деформации. [c.13]

Следовательно, второе необходимое уравнение движения сплошной среды указывает, что тензор напряжений, рассмотренный в предыдущем параграфе, является симметричным. Уравнение сплошной среды в векторной форме на основании (3.3.2) будет иметь вид [c.41]

Предполагается, что в каждой точке тела в любой момент времени напряжения aij и моментальные напряжения /1 - полностью определяются заданием деформаций 7 - и Разложив напряжения в ряд Маклорена в точке 7 = О, Хгз = О и оставив члены не выше первой степени (в силу малости деформаций), подставим их в уравнения движения сплошной среды гзк зк + l ji,з где J — динамическая характеристика, представляющая собой усредненный момент инерции микрообъема. [c.52]

Таким образом составляющие напряжений и скоростей деформации выражаются через три неизвестные функции и, tp и р. Эти функции определяют по уравнениям движения сплошной среды, которые, если пренебречь инерционными и массовыми силами, могут быть представлены в следующем виде [c.136]

Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только в конечном счете . Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения [c.80]

В 1 введены в рассмотрение массовые и поверхностные силы, пояснено понятие о силовом тензоре (1.16). В 2—3 в рассмотрение введен тензор напряжений и приведены уравнения движения сплошной среды. Уточненное изложение содержания 1—3 см. в книге [5], [c.497]

Пользуясь теоремой об изменении количества движения, можно вывести и общее уравнение динамики сплошной среды — так называемое уравнение в напряжениях . Уравнение это служит обобщением аналогичного уравнения статики сплошной среды, которое было выведено в 38. Приводимый далее вывод уравнения в напряжениях предполагает знакомство читателя с содержанием этого параграфа. [c.147]

Это уравнение часто использовалось для расчета давления в течениях в пористых материалах. Нужно отметить, что хотя уравнение (8.5.8) в формальном отношении подобно по своему виду соотношению, приложимому и к вязкой несжимаемой жидкости как сплошной среде, в данном случае оно относится к движению в пористом теле. Ассоциированное поле скорости, описываемое уравнением (8.5.6), в этом случае не будет таким же, как для движения сплошной среды между твердыми стенками, описываемого уравнениями медленного движения. Если пористая среда не изотропна, К может зависеть от направления движения, и уравнение (8.5.8) не будет применимо. В равной степени его нельзя, конечно, использовать и для описания давления, передаваемого самими частицами слоя, или для анализа гидродинамических напряжений, действующих на обтекаемые тела и отличных от сил, направленных нормально к их поверхностям. [c.465]

Напряжения, скорости и плотность по обе стороны поверхности разрыва связаны между собой условиями, которые должны удовлетворять основным уравнениям механики сплошной среды и уравнениям состояния выбранной реологической модели. Основные уравнения механики сплошной среды лучше использовать в интегральном виде, так как для разрывных процессов интегральная формулировка физических законов по сравнению с дифференциальной обладает большей общностью. Для непрерывных же процессов интегральная и дифференциальная формулировки полностью эквивалентны [например, закон сохранения массы в интегральной форме (V.8) и дифференциальное уравнение неразрывности (V.10), закон сохранения импульса в интегральной форме (V.14) и дифференциальные уравнения движения (V.18)l. Используя закон сохранения массы (V.8) и закон сохранения импульса [c.247]

Вернемся к выведенным еще в гл. II уравнениям динамики сплошной среды (29), которые именовались уравнениями в напряжениях , и заменим в них напряжения гю формулам (12) настоящей главы. Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа [c.475]

При малых объемных моментах рМэ тензор напряжений симметричен. Уравнения движения и сохранения массы сплошной среды в эйлеровых координатах (10.16) [c.268]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Рассмотрим теперь случай течения неньютоновской жидкости в зазоре между соосными конусами. Так же, как и в случае коак-сиально-цилиндрических вискозиметров, здесь возникает задача об определении функции течения для вискозиметров с большими зазорами. Рассмотрим сначала обший путь установления такого рода зависимости для приборов с достаточно произвольным профилем измерительных поверхностей. Будем рассматривать одномерный случай установившегося течения неньютоновской жидкости. Тогда распределение касательных напряжений в зазоре между измерительными поверхностями легко может быть найдено из уравнений движения сплошной среды в напряжениях [c.211]

Необходимо заметить, что, исходя в своих обоснованиях всюду из молекулярной модели Иуассон вводил в последующие рассуждения по существу континуальные представления. Так, в его мемуаре мы находим дифференциальные уравнения Коши движения сплошной среды в напряжениях и линейную зависимость компонент напряжения от скоростей деформаций. Однако Отсутствие чисто континуальной трактовки этих соотношений сильно осложняло рассуждения Пуассона. [c.68]

Формальная теория вязко-упругого поведения была предложена в работе Д. Олдройда [26], посвященной изложению инвариантного описания движения сплошной среды при наличии конечных упругих деформаций. Им было показано, что инвариантная процедура формальных обобщений простых реологических зависимостей на случай произвольных деформаций упруго-вязкдй сплошной среды является отнюдь не однозначной. В качестве простого примера справедливости этого положения им была рассмотрена простая задача о движении жидкости с одним временем релаксации и одним временем запаздывания в зазоре коаксиально-цилиндрического вискозиметра при различных обобщениях реологического уравнения, построенного для случая малых деформаций. Оказалось, что в зависимости от обобщения этой модели эффект нормальных напряжений существенно изменяется. [c.31]

При изучении механики сплошных сред задача состоит в исследовании движения сплошной среды под действием заданных сил. Таким образом, в уравнениях (3.3.5) компоненты массовой силы Р рассматриваются как величины заданные. Остальные величины, а именно плотность р, компоненты напряжения р у , Руу] р /, р у, Рухч Рхх и компоненты ускорения а , ау, (либо компоненты векторов скорости или смещения, через которые а выражается), являются величинами, подлежащими определению. Уравнения (3.3.5) представляют систему трех уравнений относительно 10 неизвестных. Следовательно, уравнения (3.3.5 ) являются, как очевидно, уравнениями необходимыми, но недостаточными. Недостающие уравнения для описания движения сплошных сред принципиально не могут быть найдены методами классической механики. Их можно получить, только рассматривая основные физические характеристики тех или иных сплошных сред и строя на основании их гипотезы [c.41]

Поскольку классическая теория деформаций, напряжений и уравнений движения Коши—Навье—Пуассона, а также эйлерово и лагранжево представления движения сплошной среды сохраняются в основах МСС и в наше время и в будущем, в гл. I учебника приводится статистическое физическое обоснование П0НЯТ41Я материального континуума п функции поля в нем, причем на наиболее далекой от непрерывной сплошной среды статистической механической системе материальных точек. Излагаемые позже в гл. II и III основы МСС аксиоматические понятия скорости движения, плотностей массы и энергии, энтропии и количества тепла в гл. I возникают как статистические понятия, получают естественную статистическую трактовку. Этот результат служит еще одним основанием для применения методов МСС к весьма сложным системам тел. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...